2018年安庆市重点中学高三模拟考试(理科数学)
2018安庆二模含答案。安徽省安庆市2018届高三二模考试数学(理)试题
2018安庆二模含答案。
安徽省安庆市2018届高三二模考试数学(理)试题2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题1.【解析】因为B={x|x<1}，所以A∩B={x|x<1}，故选D。
2.【解析】(2+i)z=1-i，所以z的共轭复数为2-i。
故选B。
3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得cos2A>cos2B ⟺ 1-2sinA>1-2sinB ⟺ sin2A>sin2B ⟺ sinA>sinB ⟺ a>b。
故选C。
4.【解析】根据条件可知，E={(x,y)|0<x<2,0<y<1/x}，所以阴影部分的面积为∫1/2 1 (2-x)dx = 3-2ln2.所以，豆子落在阴影部分的概率为3-2ln2.故选A。
5.【解析】x=2^t-k，所以k=log2(x+1)。
当x=1时，k=0；当x=2时，k=8；当x=16时，k=6.故选B。
6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为2×2×2+2×(1/2)×2×2×2=16（cm³）。
故选B。
7.【解析】f(x)=loga|x|={-loga(-x)。
x0}，故选C。
8.【解析】由函数y=f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知其周期为π，所以ω=π/2.又f(x)=sin(2x+φ)，将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位后，得到函数y=sin(2x-π/6)的图象。
因为得到的图象关于y轴对称，所以2(π/2)-φ=kπ，k∈Z，即φ=-π/3.又φ<π，所以φ=-π/3.故选A。
9.【解析】因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD=tBC=tAC-AB。
因为M是线段AD的中点，所以BD=1/2AC。
所以1/2AC=tAC-AB，即AB=AC/2t-1.故选D。
10.【解析】设三角形的三个内角分别为α、β、γ，则α+β+γ=π。
2018年安庆二模数学(理)试题卷及答案
（Ⅱ）当 a 2 时，若存在 x1 、 x2 (x1 x2 ) ，使得曲线 y f (x) 在 x x1 与 x x2 处的切线互相平行，求证： x1 x2 8 .
19．（本题满分 13 分）
如图， E 是以 AB 为直径的半圆O 上异于 A 、 B 的
A. x y
B. x y
第 4题
C. x y
D. x 和 y 之间的大小关系无法确定
5. 右图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体
ABCDE 的体积为
数学试题(理科)第 1 页（共 4 页）
A. 2
B.
2 3
6. 在极坐标系中，圆C :
C.
4 3
2 2 sin(
数为
A. 1
B. 2
D.
8 3
me1 ne2
错误；由 a //b 得 b a( R) ,所以 s
m2 n2 2mn cos ，∵
2 ，所以②
m,t n ，所以 mt ns 0 ，故③正确；∵
a b (me1 ne2 ) (se1 te2 ) ms nt (mt rr
夹角公式 a b a b cos a,b ，又 a b
ur ur
.
13. 在如图所示的程序框图中，若输出的 n 6 ，则输入的T 的
最大值为
14. 已知函数 f (x)
.
1
x2
m x 有三个零点，则实数 m 的取
值范围为
.
15. 如图，设 (0, ) ，且 2 .当 xoy 时，定义平
面坐标系 xoy 为 -仿射坐标系，在 -仿射坐标系中,任意
一点 P 的斜坐标这样定义： e1, e2 分别为与 x 轴、 y 轴正
安徽省安庆市高三二模考试理科数学试题
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=xx B ，则=B A （ ） A ．∅ B ．}1|{<x x C ．}10|{<<x x D ．}0|{<x x 2．已知复数z 满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．i 5351- B ．i 5351+ C ．i -31 D ．i +31 3．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2co s 2co s <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ） A ．42ln 23- B ．42ln 21+ C ．42ln 25- D ．42ln 21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A ．0B ．1C ．16D ．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．16C ．332D ．24 7．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ） A. 关于点)0,12(π对称 B. 关于点)0,12(π-对称C. 关于直线12π=x 对称D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21 B ．21- 2 C ．2 D ．2- 10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则ACAB的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(C ．)3,2(D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）A ．52 B ．92 C ．136 D ．2112．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O是坐标原点）是定值；④PH PG ⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．如果nxx )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是 . 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i =求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为.三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ； （2）当2=ADAB时，求二面角B AC D --的余弦值. 19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N n ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足+=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=. （1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点)6,2(πA ，)32,32(πB ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M .（1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+.2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为{}1101B xx x x x ⎧⎫=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<.故选D. 2．【解析】. (2i)1i z +=-1i (1i)(2i)2i 5z ---==+13i 55=-，所以z 的共轭复数为13i 55+.故选B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos 2cos 212sin 12sin A B A B <⇔-<-22sin sin sin sin A B A B ⇔>⇔>a b ⇔>.故选C.4.【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()2211221112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln 23-.故选A. 5.【解析】0110x t k ===，，；228x tk ===，，；1636x t k ===，，；144x t k ===，，.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（3cm ）.故选B.7.【解析】()()log 11()log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x --<-⎧⎪+==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C. 8.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以第6题图第4题图第9题图2π2πω==， 所以()()sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到函数数学试题（理）参考答案（共11页）第1页πsin 23y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象.因为得到的图象关于y 轴对称，所以ππ2π32k ϕ⨯+=+，z k ∈，即ππ6k ϕ=-，z k ∈. 又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象关于点π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称. 故选A.9. 【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-.因为M 是线段AD 的中点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++ 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 故选B.10.【解析】 sinB )3sin(sin sin B B C AC AB -==π2sin 33-4sin sinBBB ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩，，，得ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)ACABB =-∈，.故选D. 11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.1yx +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ⎛⎫⎪⎝⎭，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.第11题图当直线()1y k x =+与曲线y =12k =，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间.因此根据图形可知，1y x +的最大值为12.故选C.数学试题（理）参考答案（共11页）第2页拓展：思考：如何求2122y x y x ++++的取值范围呢？答案：134[,]205更一般地，当直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=的交点不在可行域内时，111222a xb yc m ax by c ++=++的取值范围均能求出。
安徽省安庆市2018届高三模拟考试(二模)数学(理)试卷(含答案)
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|{<=x x A ，集合}11|{<=x x B ，则=B A （ ）A ．∅B ．}1|{<x xC ．}10|{<<x xD ．}0|{<x x 2．已知复数满足：i z i -=+1)2(，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）A ．i 5351-B ．i 5351+C ．i -31D ．i +313．ABC ∆三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,则“b a >”是“B A 2cos 2cos <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件4．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1=xy ，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A ．42ln 23-B ．42ln 21+C ．42ln 25-D ．42ln 21+-5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A ．0B ．1C ．16D ．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．16C ．332D ．247．函数||log |1|1)(x x x x f a ++=（10<<a ）的图象的大致形状是（ ）8．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω<>）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数)(x f y =的图象（ ）A. 关于点)0,12(π对称B. 关于点)0,12(π-对称C. 关于直线12π=x 对称 D. 关于直线12π-=x 对称9．在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21B ．21-2 C ．2 D ．2- 10．在锐角ABC ∆中，B A 2=，则AC AB的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(C ．)3,2(D ．)2,1(11．已知实数y x ,满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--≥≤x y x y x y 32)1(32，则1+x y 的最大值为（ ）A ．52B ．92C ．136D ．2112．已知函数)0(4)(>+=x x x x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④⋅是定值.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如果nx x )13(-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是 . 14．设抛物线y x 42=的焦点为F ，点B A ,在抛物线上，且满足λ=，若23||=，则λ的值为 .15．已知由样本数据点集合}.,2,1|),{(n i y x i i =求得的回归直线方程为5.05.1ˆ+=x y ，且3=x .现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，那么，当2=x 时，y 的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222=-b y ax )0,0(>>b a 与直线0=x ，0=y 和b y =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，nS 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .18．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面⊥ACD 平面BCD ；（2）当2=AD AB时，求二面角B AC D --的余弦值.19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*N n ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.20．已知直线1l ：x y 33=，2l ：x y 33-=，动点B A ,分别在直线1l ，2l 上移动，32||=AB ，M 是线段AB 的中点.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 交轨迹E 于点Q P ,，点R 满足OQ OP OR +=，若点R 在轨迹E 上，求四边形OPRQ 的面积.21．已知函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为x y 2=. （1）求a 和b 实数的值；（2）设)()()(2R m mx x x f x F ∈+-=，)0(,2121x x x x <<分别是函数)(x F 的两个零点，求证0)('21<x x F .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点)6,2(πA ，)32,32(πB ，C 是线段AB 的中点，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是⎩⎨⎧+-==θθsin 22cos 2y x （θ为参数）.（1）求点C 的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；（2）设直线l 过点C 交曲线Ω于Q P ,两点，求⋅的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知|12|)(++-=x x x f ，不等式2)(<x f 的解集是M . （1）求集合M ；（2）设M b a ∈,，证明：||||1||2b a ab +>+. 2018年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（理）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 DBCABBCABDCC1．【解析】因为{}1101B x x x x x ⎧⎫=<=<>⎨⎬⎩⎭或，所{}0A B x x =<.故选D.2．【解析】. (2i)1iz +=-1i (1i)(2i)2i 5z ---==+13i 55=-，所以z 的共轭复数为13i 55+.故选B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos 2cos 212sin 12sin A B A B <⇔-<-22sin sin sin sin A B A B ⇔>⇔>a b ⇔>.故选C.4.【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为()2211221112d 2ln 22ln 2ln 32ln 222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln 23-.故选A.5.【解析】0110x t k ===，，；228x t k ===，，；1636x t k ===，，；144x t k ===，，.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12222222162⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（3cm ）.故选B.7.【解析】()()log 11()log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x --<-⎧⎪+==--<<⎨+⎪>⎩，，，，， 故选C.8.【解析】由函数()y f x =图象相邻两条对称轴之间的距离为π2可知其周期为π，所以2π2πω==， 所以()()sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移π3个单位后，得到函数第4题图第6题图第9题图数学试题（理）参考答案（共11页）第1页πsin 23y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象.因为得到的图象关于y 轴对称，所以ππ2π32k ϕ⨯+=+，z k ∈，即ππ6k ϕ=-，z k ∈.又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象关于点π012⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称. 故选A. 9. 【解析】因为点D 在边BC 上，所以存在R t ∈，使得()BD tBC t AC AB==-.因为M 是线段AD 的中点，所以()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12λμ+=-. 故选B.10.【解析】 sinB )3sin(sin sin B B C AC AB -==π2sin 33-4sin sinB BB==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以()π02π022π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩，，， 得ππ64B <<211sin ()42B ⇒∈，.所以234sin (12)AC ABB =-∈，.故选D.11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.1yx +表示可行域内的点()x y ，与点()10-，连线的斜率. 易知1142A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，9342C ⎛⎫⎪⎝⎭，.第11题图当直线()1y k x =+与曲线y =12k =，切点为()11，，所以切点位于点A 、C 之间.因此根据图形可知，1y x +的最大值为12.故选C.数学试题（理）参考答案（共11页）第2页拓展：思考：如何求2122y x y x ++++的取值范围呢？答案：134[,]205更一般地，当直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=的交点不在可行域内时，111222a x b y c m ax by c ++=++的取值范围均能求出。
安徽省高三数学二模考试试题理
2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为（）A． B． C． D．3．三内角的对边分别为,则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件4．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的值为（）A．0 B．1 C．16 D．326．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．16 C． D．247．函数（）的图象的大致形状是（）8．已知函数（）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9．在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（）A． B． 2 C．2 D．10．在锐角中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．12．已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 .14．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .15．已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为 1.2，那么，当时，的估计值为 .16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线与直线，和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.18．如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.20．已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，，是线段的中点.（1）求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求和实数的值；（2）设，分别是函数的两个零点，求证.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.23．选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集是.（1）求集合；（2）设，证明：.2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B C A B B C A B D C C1．【解析】因为，所.故选 D. 2．【解析】. ，所以的共轭复数为.故选 B.3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得.故选 C.4.【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选A.5.【解析】；；；.故选B.6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为（）.故选B.第6题图7.【解析】故选 C.8.【解析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为可知其周期为，所以，所以.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数数学试题（理）参考答案（共11页）第1页图象.因为得到的图象关于轴对称，所以，，即，.又，所以，所以，其图象关于点对称.故选A.9. 【解析】因为点在边上，所以存在，使得.因为是线段的中点，所以又，所以，，所以. 故选B.10.【解析】.第9题图因为是锐角三角形，所以得.所以.故选D.11. 【解析】作可行域，如图阴影部分所示.表示可行域内的点与点连线的斜率. 易知，，.当直线与曲线相切时，，切点为第11题图，所以切点位于点、之间.因此根据图形可知，的最大值为.故选C.拓展：思考：如何求的取值范围呢？答案：更一般地，当直线，的交点不在可行域内时，的取值范围均能求出。
最新-2018学年高三理科数学高考模拟考试试题及答案【安徽省宿州二中】 精品
安徽省宿州二中2018—2018学年度高三模拟考试数学试题（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分，测试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用HB 或者2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12个小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．22．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x +y=5下方的概率为 （ ）A ．61B ．41 C ．121 D ．91 3．若⎰⎰⎰===220232,sin ,,则xdx c dx x b dx x a a 、b 、c 大小关系是 （ ） A ．a <c <b B ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b4．如图所示给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i5．如右图，一个空间几何体的主视图和侧视图（左视图）都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的侧面积 （ ）A ．4πB ．π42C ．π22 D ．π216．已知函数]3,3[sin ππω-=在x y 上是减函数，则实数的ω的取值范围是 （ ）A ．]23,(--∞B ．)0,23[-C ．]23,0(D ．),23[+∞7．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是 （ ）A ．10海里/小时B ．103海里/小时C ．5海里/小时D ．53海里/小时 8．函数|2|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）9．已知直线x +y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 （ ）A ．2B ．±2C ．－2D ．2±10．已知L 、M 、N 是平面α内的三点，点P 在平面α外，有三个命题①若PL ⊥α，LN ⊥MN ，则PN ⊥MN ②若PL ⊥α，PN ⊥MN ，则LN ⊥MN ③若LN ⊥MN ，PN ⊥MN ，则PL ⊥α 对这三个命题的正确评价是 （ ） A ．仅①是真命题 B ．仅②是假命题 C ．仅③是假命题 D ．全是真命题11．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）A ．4112221=+e e B ．2112221=+e e C ．42221=+e eD ．22221=+e e12．设函数)(x f 在定义域为D ，如果对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使C x f x f =+2)()(21（C 为常数）成立，则称函数)(x f 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①y=x 3；②y=4sin x ；③y=lg x ；④y=2x ，则满足在其定义域上的均值为2的所有函数是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分， 13．观察下列式子： ,474131211,3531211,2321122222<+++<++<+，则可以猜想：当2≥n 时，有 . 14．若二项式6)sin (x x-θ展开式中的常数项为20，则θ的值为 . 15．在两个实数间定义一种运算“#”，规定⎩⎨⎧≥-<=)(1)(1#b a b a b a ，则方程12|#21|=-x 的解集是 .16．给出下列四个结论：①函数)10(log )10(≠>=≠>=a a a y a a a y x a x 且与函数且在其各自定义域上具备相同单调性； ②函数k k y k (3⋅=为非零常数）的图象可由函数y=3x 的图象经过平移得到；③函数)0)(21131()0(12121≠+-=≠-+=x x y x y x x 是奇函数且函数是偶函数； ④函数y=cos|x |是周期函数.其中正确结论的序号是 .（填写你认为正确的所有结论序号）三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请 17．（12分）已知△ABC 的面积S 满足.,6,333θ的夹角为与且S =⋅≤≤（I ）求θ的取值范围； （2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin)(+⋅+=f 的最大值.18．（12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E 、F 分别是AB ，PB 的中点. （I ）求证：EF ⊥CD ；（II ）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值； （III ）在平面PAD 内是否存在一点G ，使G 在平面PCB 上的射影为△PCB 的外心，若存在，试确定点G 的位置；若不存在，说明理由.19．（12分） 某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人），选3人参加学校的义务劳动. （I ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ；（II ）求男生甲或女生乙被选中的概率；（III ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20．（12分）已知在曲线点项和为的前数列))(1,(,}{,14)(*12N n a a P S n a xx f n n n n n ∈+=+.0,1,)(1>==n a a x f y 且上（I ）求数列{n a }的通项公式n a ；（II ）数列{n b }的首项b 1=1，前n 项和为T n ，且381622121--+=++n n a T a T n n n n ，求数列{n b }的通项公式b n .21．（12分） 设M 是由满足下列两个条件的函数)(x f 构成的集合：①议程0)(=-x x f 有实根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足0<)(x f '<1.（I ）若4sin 2)(xx x f +=，判断方程0)(=-x x f 的根的个数； （II ）判断（I ）中的函数)(x f 是否为集合M 的元素；（III ）对于M 中的任意函数)(x f ，设x 1是方程0)(=-x x f 的实根，求证：对于)(x f 定义域中任意的x 2，x 3，当| x 2－x 1|<1，且| x 3－x 1|<1时，有.2|)()(|23<-x f x f22．（14分）过点T （2，0）的直线2:+=my x l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点.（I ）若直线l 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（II ）设A 、B 在直线n x g =:上的射影为D 、E ，连结AE 、BD 相交于一点N ，则当m变化时，点N 为定点的充要条件是n =－2.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1—5CADAD 6—10BACBC 11—12BD二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13．n n n 12131211222-<++++14．)(22Z k k ∈-ππ 15．),41(+∞ 16．③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θ……………………1分θθθθtan cos ||||21sin ||||21)sin(||||21x S ==-=.tan 3tan 621ϑθ=⨯=………………………………………………………6分.3tan 1.33tan 33,333≤≤∴≤≤≤≤θθ即S].3,4[],,0[ππθπθ∈∴∈ 又………………………………………………8分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………………………10分].1211,43[42],3,4[πππθππθ∈+∈)(,4,4342θπθππθf 时即当==+∴最大，其最大值为3.………………12分18．（本小题满分12分）解：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. 设AD =a ，则D （0，0，0），A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），E （a ，2a，0），P （0，0，a ），F （2a ，2a ，2a）.………………2分 （I ）,0)0,,0()2,0,2(=⋅-=⋅a aa.DC EF ⊥∴…………………………………………4分（II ）设平面DEF 的法向量为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=0),,,(z y x n 由得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅.02,0)(2,0)0,2,(),,(,0)2,2,2(),,(y a ax z y x aa a z y x a a a z y x 即取x =1，则y=－2，z=1.).1,2,1(-=∴………………………………………………6分.6362||||,cos =⋅=⋅>=<∴a a n BD设DB 与平面DEF 所成角为.63sin ,=θθ则……………………………………8分 （III ）假设存在点G 满足题意因为).,0,(,z x G PAD G 点坐标为可设平面∈.0,0)2(2),,0()2,2,2(.2,0)2()0,0,()2,2,2()2,2,2(10.)2,2,2(,,.,0),,0()0,0,(2==-+=-⋅---=⋅==-=⋅---=⋅---=∆∴∆⊥∴=-⋅=⋅z ax a a a a a z a a x CP FG ax a x a a a z a a x ax a a x PBC Rt aa a F PB F PBC Rt PC BC a a a 得由得由分的外心为中点为中在∴存在点G ，其坐标为（2a，0，0），即G 点为AD 的中点.……………………12分19．（本小题满分12分） 解：（I ）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得： ;51)2(;53)1(;51)0(3622143612243634=========C C C P C c C P C C P ξξξ…………3分 ∴ξ的分布列为∴E ξ=0×5+1×5+2×5=1.…………………………………………4分（II ）设“甲、乙都不被选中”的事件为C ，则.51204)(3634===C C C P ……6分∴所求概率为.54511)(1)(=-=-=C P C P …………………………………8分 （III ）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，.51)(;212010)(36143625==⋂===C C A B P C C A P ………………………………10分)52104)|(.(52)()()|(2514=====C C A B P A P BA P A B P 或直接得……………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）由题意知.141.14122121nn n n a a a a +=∴+=++}1{,4112221nn n a a a 即=-∴+是等差数列.…………………………………………2分.34441)1(411212-=-+=-+=∴n n n a a n.341,0.3412-=∴>-=∴n a a n a n n n 又………………………………5分（II ）由题设知).34)(14()14()34(1-+++=-+n n T n T n n n.1,34.1341411=-=-=--+∴++n n n n n n c c c n Tn T n T 则上式变为设}{n c ∴是等差数列.…………………………………………………………8分.1111111n n b n T n c c n =-+=-+=-+=∴.34)34(.342n n n n T n n T n n-=-==-∴即………………………………10分∴当n =1时，11==T b n ；当.78)1(3)1(434,2221-=-+---=-=≥-n n n n n T T b n n n n 时经验证n=1时也适合上式. ).(78*N n n b n ∈-=∴…………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（I ）令.24sin )(,)()(xx x F x x f x F -=-=即 则.0)(,1cos 1.214cos )(≤'∴≤≤--='x F x x x F x x f x F -=∴)()(是单调递减函数.……………………………………2分又取).)((02)(,,02)(,为奇函数或说明取x F F x F x <-==>=--=ππππππ0)(=-∴x x f 方程在其定义域上有唯一实根.……………………………4分（II ）由（I ）知方程0)(=-x x f 有实根（或者由0)(=-x x f ，易知x =0就是方程的一个根），)(x f 满足条件①.………………………………………………5分 .43)(41,1cos 1,4cos 21)(≤'≤≤≤-+='x f x x x f 得由又)(x f ∴满足条件②.故)(x f 是集合M 中的元素.……………………………7分（III ）不妨设)(,1)(0,32x f x f x x 知由<'<<在其定义域上是增函数. ).()(32x f x f <∴………………………………………………………………8分 x x f x f -∴<-')(,01)(又是其定义域上的减函数.23233322)()(0,)()(x x x f x f x x f x x f -<-<->-∴即.………………10分 |)()(||||)()(|12132323x x x x x x x f x f ---=-<-∴.211||||1213<+<---≤x x x x …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解：（I ）设),(),,(2211y x B y x A由.0844222=--⎩⎨⎧=+=my y xy my x 得.8,42121-==+∴y y m y y ………………………………………………2分又),,2()2,(,),2,0(111111y x my x AT MA n M --=+=-λλ即.21,211111my y m y --=-=+∴λλ得同理，由.21,222my --==λλ得………………………………4分.1882)(22)11(2221212121-=+-=+--=+--=+∴mmy my y y y y m λλ…………6分 （II ）方法一：当m =0时，A （2，22），B （2，－2），D （n ，22），E （n ，－22）.∵ABED 为矩形，∴直线AE 、BD 的交点N 的坐标为（).0,22+n ………………8分当),,22(),,22(),,(),,(,021121y n y x n y n E y n D m -=--+=≠ 时(*))2(28)2(2)(2222)222(22)22(2112121121n m m n m y m y y y n y n y m y n y n y x n +=+-=-+-=-+--+=-+-+则同理，对BN 、ND 进行类似计算也得（*）式.………………………………12分 即n =－2时，N 为定点（0，0）.反之，当N 为定点，则由（*）式等于0，得n =－2.…………………………14分方法二：首先n =－2时，则D （－2，y 1），A （),,2(),,2(),,222211y my B y E y my +-+)2(4:2121++-=-x my y y y y l DB ①)2(4:1212++-=-x my y y y y l EA ②…………………………………………8分①－②得,).4141)()(2(12121212y y my my y y x y y ≠+++-+=-.04884241411222121212=+-=++=-+++=∴my m m my y my y y m my my x.)0,0(为定点N ∴…………………………………………………………10分反之，若N 为定点N （0，0），设此时),,(),,(21y n E y n D 则).,2(),,(221y my y n +==由D 、N 、B 三点共线，.022121=-+∴ny y y my ③同理E 、N 、A 三点共线，.021221=-+∴ny y y my ④………………12分 ③+④得,0)()(22212121=+-++y y n y y y my即－16m +8m －4m =0，m (n +2)=0.故对任意的m 都有n =－2.……………………………………………………14分。
2018年安庆二模数学(理)试题卷及答案
2018年市高三模拟考试（二模）数学试题(理科)命题：市高考命题研究课题组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 已知i 为虚数单位，复数i z +=1，z 为其共轭复数，则22z z z-等于A. i --1B. i -1C. i +-1D. i +12. 已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中 阴影部分所表示的集合为 A. }1,1{-B.}3{C.}3,2{D. }3,2,1{3. 已知等差数列{}n a 中，86543=+-+a a a a ，则=7S A.8 B.21 C.28D.354. 在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎 叶图如图所示，但其中在∆处数据丢失.按照规则，甲、乙 各去掉一个最高分和一个最低分，用x 和y 分别表示甲、 乙两位选手获得的平均分，则 A. x y > B. x y <C. x y =D. x 和y 之间的大小关系无法确定 5. 右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为A. 2B.32 C.34D.38第2题图第4题图 第5题图6. 在极坐标系中，圆C :)4πρθ=+上到直线l ：2cos =θρ距离为1的点的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知离心率为e 的双曲线和离心率为2的椭圆有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，若123F PF π∠=，则e 等于A.2B.25 C.2D.38. 数列{}n a 共有5项，其中01=a ，25=a ，且11=-+i i a a ，4,3,2,1=i ，则满足条件的不同数列的个数为 A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知点)1,2(A 、)3,1(B ，直线01=+-by ax ),(+∈R b a 与线段AB 相交，则()221b a +-的最小值为A.510 B.52 C.552 D.54 10. 设12x <<，则ln x x 、2ln x x ⎛⎫⎪⎝⎭、22ln x x 的大小关系是A. 222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. 222ln ln ln x xx x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D. 222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭第Ⅱ卷 （非选择题 满分100分）二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）11. 如果52))(1(a x x x -++（a 为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含4x 项的系数为 .12. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若b c a 322=-，且C A B sin cos 8sin =,则边b 等于 .13. 在如图所示的程序框图中，若输出的6=n ，则输入的T 的最大值为 . 14. 已知函数x m x x f -+=21)(有三个零点，则实数m 的取 值围为 .15. 如图，设),0(πα∈，且2πα≠.当α=∠xoy 时，定义平面坐标系xoy 为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中,任意 一点P 的斜坐标这样定义：21,e e 分别为与x 轴、y 轴正 向相同的单位向量，若21e y e x OP +=，则记为),(y x OP =， 那么在以下的结论中，正确的有 . （填上所有正确结论的序号）①设),(n m a =、),(t s b =，若b a =，则t n s m ==,； ②设),(n m a =，则22n m a +=；③设),(n m a =、),t s b ，若b a //，则0=-ns mt ； ④设),(n m a =、),(t s b =，若b a ⊥，则0=+nt ms ；⑤设)2,1(=a 、)1,2(=b ，若a 与b 的夹角3π，则32πα=.三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本题满分12分）已知向量))4cos(3),4(sin(ππ+-+=x x m ，))4cos(),4(sin(ππ-+=x x n ，函数n m x f ⋅=)(，R x ∈.（Ⅰ）求函数)(x f y =的图像的对称中心坐标； （Ⅱ）将函数)(x f y =图像向下平移21个单位，再向左平移3π个单位得函数)(x g y =的图像，试写出)(x g y =的解析式并作出它在5[,]66ππ-上的图像.第12题图第15题图第16题图17．（本题满分12分）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A 、B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分. 其规则是：按先A 后B 再A 的顺序投 篮.教师甲在A 和B 点投中的概率分别是1123和，且在A 、B 两点投中与否相互独立. （Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若教师乙与甲在A 、B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.18.（本题满分12分）已知函数x xax x f ln )(++=，（R a ∈）. （Ⅰ）若)(x f 有最值，数a 的取值围；（Ⅱ）当2≥a 时，若存在1x 、2x 12()x x ≠，使得曲线)(x f y =在1x x =与2x x =处的切线互相平行，求证：821>+x x .19．（本题满分13分）如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且22AB AD a ==.（Ⅰ）求证：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.20.（本题满分13分）已知椭圆E 的方程为11tan tan 222=++ααy x ,其中)2,0(πα∈. （Ⅰ）求椭圆E 形状最圆时的方程；（Ⅱ）若椭圆E 最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点P ，证明：点P 在一个定圆上.21．（本题满分13分）已知数列{}n a 满足a a =1，nn n a a a λ+=+21，(R a ∈λ,)（Ⅰ）若2-=λ，数列}{n a 单调递增，数a 的取值围；（Ⅱ）若2=a ，试写出2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件，并证明你的结论.第19题图2014年市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只1. 解析：i z -=1，i i i i i zz z --=--=-+-+=-1121)1(2)1(222，选A. 2. 解析：}1{<∈=x R x B ,则AB =}1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.3. 解析：由86543=+-+a a a a 得853=+a a ，所以871=+a a ，282)(7717=+⨯=a a S ，选C.4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为b a ,，则16805a x +=+，26805y =+，∵0 9a ≤≤，∴1625808055a x y +=++<≤,选B. 5. 解析：多面体ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其 体积38344=-=V ，选D. 6. 解析：直线的方程为2=x ，圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=，圆心到直线的距离为1，故圆C 上有2个点到l 距离为1，选B.7. 解析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，1PF m=，2PF n =，且不妨设m n >，由 12m n a +=，22m n a -=得12m a a =+，12n a a =-.又123F PF π∠=，∴222221243c m n mn a a =+-=+，∴22122234a a c c+=234e =，解得e =，选C.8. 解析：设i i i a a b -=+1，1,2,3,4i =，则i b 等于1或-1，由554433221()()()()a a a a a a a a a =-+-+-+-1234b b b b +++=， 知i b )4,3,2,1(=i 共有3个1，1个-1.这种组合共有414=C 个，选B.9. 解析：由已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+-≥+-00013012b a b a b a ，作出可行域，令()221b a d +-=，则d 的最小值为点)0,1(到直线013=+-b a 的距离，此时510min =d ， 所以()221b a +-的最小值为52，选B. 10. 解析：令()ln (12)f x x x x =-<<，则11()10x f x x x-'=-=>， 所以函数()(12)y f x x =<<为增函数，∴()(1)10f x f >=>，∴ln 0x x >>⇒ln 01x x <<，∴2ln ln x xx x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.又2222ln ln 2ln ln (2)ln 0x x x x x x xx x x x---==>， ∴222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，选A . 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11. 解析：∵ 52))(1(a x x x -++的展开式所有项的系数和为0)1)(111(52=-++a ， ∴ 1a =，∴52))(1(a x x x -++4434352)1()1()1)(1()1)(1(---=--=-++=x x x x x x x x ，其展开式中含4x 项的系数为330044C (1)C (1)5---=-.第9题图12. 解析：由C A B sin cos 8sin =及正、余弦定理知：bca cbc b 28222-+⨯=，整理得22243c b a +=，由b c a 322=-联立解得：4=b .13. 解析：当输出的6=n 时，512263S =+++=，设输入的T 值为0T ,003(125)45T T T =-+++=-, 且T S ≥,解得0108T ≤.T 最大值为108.14. 解析：函数()f x 有三个零点等价于方程12m x x =+有且仅有三个实根. ∵11(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数(2)y x x =+的图像，如图所示，由图像可知m 应满足：101m<<，故1m >. 15. 解析：显然①正确；αcos 22221mn n m e n e m a ++=+=，∵2πα≠，所以②错误；由b a //得()b a R λλ=∈,所以,s m t n λλ==，所以0=-ns mt ，故③正确；∵1212()()()cos a b me ne se te ms nt mt ns ms nt α⋅=+⋅+=+++≠+，所以④错误；根据夹角公式><=⋅b a b a b a ,cos ，又1254a b e e ==+⋅，1245a b e e ⋅=+⋅ 得121245(54)cos 3e e e e π+⋅=+⋅，故1212e e ⋅=-，即1cos 2α=- 23πα∴=，⑤正确 所以正确的是①、③、⑤.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）解析：（Ⅰ）n m x f ⋅=)()4cos()4cos(3)4(sin 2πππ-+-+=x x x21)32sin(2cos 23)2sin 1(21+-=-+=πx x x …………4分 由于0)32sin(=-πx 得：Z k k x ∈=-,32ππ，所以Z k k x ∈+=,621ππ.-115π67π12π3π12-π62π3π2ππ20f (x)x2x +π3所以)(x f 的图像的对称中心坐标为Z k k ∈+),21,621(ππ …………6分 （Ⅱ）)(x g =)32sin(π+x ，列表：描点、连线得函数()y g x =在5[,]66ππ-上的图象如图所示：17．（本题满分12分）解答：设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . （Ⅰ）根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,761)311()211()()0(2=-⨯-=⋅⋅==A B A P X P ，31)211()311(21)()2(12=-⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅== C A B A A B A P X P 121)211(31)211()()3(=-⨯⨯-=⋅⋅==A B A P X P6121)311(21)()4(=⨯-⨯=⋅⋅==A B A P X P6131)211(21)()5(12=⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅==C A B A A B A P X P…………12分()g x121213121)()7(=⨯⨯=⋅⋅==A B A P X P …………6分 所以X 的分布列是：312176156141213312610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………8分（Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P 为：1111111111111111()()()(1)361263663126631261212P =⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯-571914448==…………12分 18.（本题满分12分）解析：（Ⅰ） 22211)(x ax x x x a x f -+=+-='，),0(+∞∈x由a 41+=∆知， ①当41-≤a 时，0)(≥'x f ，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值； ②当041≤<-a 时，02=-+a x x 的两根均非正，因此，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值；③当0>a 时，02=-+a x x 有一正根2411a x ++-=，)(x f 在)2411,0(a++-上递减，在),2411(+∞++-a上递增；此时，)(x f 有最小值；所以，实数a 的围为0>a . …………7分 （Ⅱ）证明：依题意：1)11(111121222121=+⇒+-=+-x x a x x a x x a ， 由于0,021>>x x ，且21x x ≠，则有22121212121)2()(22x x x x x x x x x x a +<⋅≤+⇒≥+⋅=22121)2()(2x x x x +<+∴821>+⇒x x . …………12分19.（本题满分13分）解答：（Ⅰ）∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊆平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，∴EA ⊥平面EBC ,∴EA EC ⊥.…………6分(Ⅱ) 如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=， ∴3BOE π∠=，∴31(,,0)22E a a ，由题设可知(0,,)C a a ，(0,,)D a a -，∴33(,,)22DE a a a =-，31(,,)2CE a a a =--.设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =， 由0DE p ⋅=，0CE p ⋅=得003z x =，00y =，取02x =，得03z =. ∴(2,0,3)p =.又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =，∴21cos ,7p q <>=. 平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值217. …………13分 （其他解法可参考给分）第19题图20.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）根据已知条件有0tan >α，且ααtan 1tan 2>+，故椭圆E 的长轴在y 轴上.2e ==≥=，当且仅当4πα=时取等号. 由于椭圆E 的离心率e 最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ）设交点P ),(00y x ，过交点P 的直线l 与椭圆2212y x +=相切. (1)当斜率不存在或等于零时，易得P 点的坐标为P (1,±. …………6分(2)当斜率存在且非零时，则01x ≠±设斜率为k ，则直线l ：00)(y x x k y +-=，与椭圆方程联立消y ，得：2220000(2)2()()20k x k y kx x y kx ++-+--=.由相切，2220000[2()]4(2)[()2]0k y kx k kx y ∆=--+--=， 化简整理得2220000(1)220x k x y k y -++-=. ①因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故121-=k k ，而21,k k 为方程①的两根，故202211y x -=--，整理得：22003x y +=.又(1,±也满足上式，故P 点的轨迹方程为223x y +=，即P 点在定圆223x y +=上. ………13分21.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）若2-=λ，则nn n a a a 221-=+， 由21122000n n n n n n n na a a a a a a a ++->⇔->⇔->⇔>，得2>n a 或02<<-n a ，所以只需21>a 或021<<-a .所以实数a 的取值围为(∪)+∞. …………6分(Ⅱ) 2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件为4-≥λ.必要性：由22≥a ，解出4-≥λ； （另解：假设221≥+=+n n n a a a λ，得n n a a 222+-≥λ，令21)21(2)(2+--=n a n f ， 2≥n a ，可得：4)(max -=n f ，即有4-≥λ.） …………8分充分性：数学归纳法证明：4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.证明：（1）显然1=n 时，结论成立；（2）假设)1(≥=k k n 时结论成立，即2≥k a ，当1+=k n 时，kk k a a a λ+=+21.考察函数xx x f λ+=2)(，),2[+∞∈x ，① 若 04≤≤-λ，由02)('2>-=x x f λ，知)(x f 在区间),2[+∞上单调递增.由假设得kk k a a a λ+=+2124λ+≥2≥.② 若0>λ，对),2[+∞∈x 总有242)(>>+=xx x f λ，则由假设得221>+=+kk k a a a λ.所以，1+=k n 时，结论成立，综上可知：当4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.故2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件是4-≥λ. (13)。
安徽省安庆市2017-2018学年高三第三次模拟考试理数试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若复数z 与复数012z i =-在复平面上对应的点关于实轴对称，则0z z ⋅=( )A ．5B ．3-C ．14i +D ．14i -2．已知集合{(){}2,ln 2M y y N x y x x ====-，则( )A ．M N ⊂B ．N M ⊂C ．MN =∅ D ．M N R ≠3．在20-到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A ．200B ．100C ．90D ．704．我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率p 的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率p 的估算值是( ) A ．n mB ．2n mC ．3n mD ．2mn5．已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个不同的交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞6．若“2,10x R x px ∃∈++<是( ) A ．4B ．4-C ．2pD ．2p -7．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且2536f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的一个可能值是( ) A ．12B ．35C ．34D ．328．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3+B ．3+C ．3+D ．+9．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若12,c o s 3a A ==，则ABC∆面积的最大值为( )A ．2BC ．12D 10．设函数()()()1,ln 1xf x eg x x =+=-．若点P 、Q 分别是()f x 和()g x 图象上的点，则PQ 的最小值为( )A ．2BC ．2D ．11．执行如图所示的程序框图，其中符号“[]x ”表示不超过x 的最大整数，则输出的n =( ) A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是( )A ．[]2,2-B ．[][)2,24,-+∞C．2,2⎡-+⎣D．[)2,24,⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分．13．已知5x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项为20，其中0a >，则a =______．14．实数,x y 满足2421y x y x y ⎧⎪≥⎨⎪+≤--⎩≤，则22x y xy +的取值范围是______．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______． 16．已知圆22:1O x y +=．若对于点(),M x y ，在圆O 上总存在点N ，使6OMN π∠=，则全体M 点组成的集合D 的面积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且()*21log ,2n n n T n N -=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()*1n n b a n N λ=-∈，数列{}n b 的前n 项之和为n S ．若对任意的*n N ∈，总有1n n S S +>，求实数λ的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知空间四边形ABCD 在平面α上的射影是梯形FBCE ，,BC EF BC FC ⊥，224BC EF AF DE ===．又平面ABC 与平面α所成的二面角的大小为45︒．（Ⅰ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅱ）设直线BD 交平面AFC 于点O ，求比值BOOD．19．（本小题满分12分）某校高三文科有四个班，一次联考后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示，其中120130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人． （Ⅰ）问各班被抽取的学生人数各为多少人？（Ⅱ）若以各小组的中值作为该组的估计值，频率作为概率的估计值，求数学得分的期望EX 和方差DX ；（Ⅲ）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．20．（本小题满分12分）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点，作平行四边形OCED ，点E 恰在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若平行四边形OCED 的面积为21．（本小题满分12分） 设函数()()()2123ln 2f x x m x x m R =+-+∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）若对任意的()1,2x ∈，总有()2f x <-，求m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点P ，作圆的切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为弦AB 上一点，过M 作直线分别交PA 、PB 于点C 、D ．（Ⅰ）若2,3,4BD AC MC ===，求线段MD 的长； （Ⅱ）若MO CD ⊥，求证：MD MC =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：3cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），P 是C 上任意一点，以x 轴的北负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，求P 到直线l 的最大距离．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式23422x x x --<+的解集为{}x a x b <<．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若(),1,1m n ∈-，且()22,131a a bmn S b m n ==+--，求S 的最大值．安徽省安庆市2016届高三第三次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1．A 【解析】因为012z i =-，所以12z i =+，故05z z ⋅=． 2．C 【解析】{}{02,0M x x N x x =≤≤=<或}2x >，所以M N =∅．3．B 【解析】()1020401002S -+==．4．B 【解析】设圆的半径为r ，则)22m P n r π==，得2nmπ=．5．D 【解析】直线y =与C 有两个不同的公共点2be a⇒>>．2536f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得53,625ππωω>>．所以3354ω<≤． 8．A 【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为12433V Sh π+==⋅9．B 【解析】由2222cos a b c bc A =+-得2222442333b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以1113,sin 3222bc S bc A bc ≤==≤⨯= 10．D 【解析】()1xf x e =+与()()ln 1g x x =-的图象关于直线y x =对称，平移直线y x=使其分别与这两个函数的图象相切．由()1xf x e '==得，0x =．PQ 的最小值为11．C 【解析】1n =时，0S =；2n =时，[]10ln 2ln 12S ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦；3n =时，[]11ln 3ln 23S ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦；…；11n =时，[]19ln11ln 1011S ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦1010->-不成立，12n =．12．D 【解析】令()f m n =，则()()0ff m ≥就是()0f n ≥．画出函数()f x 的图象可知，11n -≤≤，或3n ≥，即()11f m -≤≤或()3f m ≥．由11x -=-得，2x =或2x =-．由2431,2x x x -+==．由2433x x -+=得，0x =或4x =．由再根据图象得到，[)2,24,m ⎡-+∞⎣∈+．二、填空题133652155rr rrr r r T C x xa C x --+=⋅⋅=． 由5360220r r r a C ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得444r a =⎧⎨=⎩．因为0a >，所以a = 14．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】22x y x y xy y x +=+．令y k x =，在k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率．由图形可知，113k ≤≤，根据函数1y k k =+的单调性得1023k ≤≤． 15．6π或56π【解析】因为t R ∈，所以()2222212cos 1cos 1cos 1cos 4t t t t θθθθ+=++=++-≥-=a b，得cos 6πθθ=⇒=或56π．16．4π【解析】sin 2sin 2sin sin sin ON OM ON ONMOM ONM OMN ONM OMN⋅∠=⇒==∠≤∠∠∠．所以集合D 的面积为4π． 三、解答题17．解：（Ⅰ）由()*21log ,2n n n T n N -=∈，得()122n n n T -=， 所以()()()12*212,2n n n T n N n ---=∈≥，所以()()()()()()111221*221212222,,22n n n n n n n n n n n n T a n N n T ---------====∈≥．又01121a T ===，所以1*2,n n a n N -=∈……………………………………………………………………6分（Ⅱ）由1121n n n b a λλ-=-=-，得()122112nn n S n n λλ-=⋅-=---， 所以()()()11121121212n n n n n nS S n n λλλλ++>⇔--+>--⇔>⇔>． 因为对任意的*11,22n n N ∈≤，故所求的l 取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）如图，以点F 为原点，,,FB FE FA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．因为AF ⊥平面FBCE ，BC BF ⊥，所以BC AB ⊥，所以ABF ∠就是平面ABC 与平面α所成的二面角的平面角，所以45ABF ∠=︒，从而AF BF =． 令DE a =，则2,4AF EF BF a BC a ====，()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,A a B a C a a D a a ，所以()()22,,co 2,0,22,2,,s2AB a a CD a a a AB CD ==-=-=--， 所以,135AB CD =︒．故异面直线AB 与CD 所成角的大小为45︒．……………………………………6分（Ⅱ）连接BE 、CF 交于点G ，再连接OG ． 因为DE AF ，所以DE 平面AFC ．又平面BDE 平面AFC OG =，所以DE OG ，所以BO BGOD GE=． 由EFG BCG ∆∆∽，得12EG EF BG BC ==，所以2BO BGOD GE==．…………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）由频率分布条形图知，抽取的学生总数为50.05100=人， 因为各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d ，由4226100d ⨯+=， 解得2d =．所以各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人．…………………………………………4分（Ⅱ）()750.05850.20950.351050.251150.101250.05E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0.05758549571055115212598=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=()222222230.05130.2030.3570.25170.10270.05141D Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………9分（Ⅲ）在抽取的学生中，任取一名学生， 则分数不小于90分的概率为0.350.250.10.050.75+++=． (2)20．解：（Ⅰ）∵焦点为(),0F c ，AB 的斜率为b a ，故直线CD 的方程为()by x c a=-． 与椭圆方程联立后消去y 得到，22220x cx b --=．………………………………………………………2分∵CD 的中点为,22c bc G a ⎛⎫-⎪⎝⎭，点,bc E c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得222c a =，∴离心率2c e a ==．…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b bc a ==，则直线CD 的方程为)y x c =-，与椭圆方程联立消去y 得到，22220x cx c --=． ∵平行四边形OCED 的面积为2C D S c y y =-====所以2,2,c b a ===……9分 故椭圆方程为22184x y +=．…………………………………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()()223110,,23x m x f x x m x x+-+'+∞=+-+=．令()22310x m x +-+=，则()()()22342125m m m ∆=--=--．（1）当1522m ≤≤时，0∆≤，所以()22310x m x +-+≥，从而()0f x '≥； （2）当52m >时，因为0x >，所以()22252312312102x m x x x x x ⎛⎫+-+>+⨯-+=++> ⎪⎝⎭，所以()0f x '>；（3）当12m <时，0∆>，方程()22310x m x +-+=有两个不相等的实数根12,x x （不妨设12x x <）．因为12121323220,102x x m x x +=->-⨯=>=>，所以120,0x x >>， 所以当12x x x <<时，()22310x m x +-+<，从而()0f x '<；当10x x <<或2x x >时，()22310x m x +-+>，从而()0f x '>．综上可知，当12m ≥时，函数()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；当12m <时，函数()f x 在区间()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，其中12x x ==……………5分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，当12m ≥时，函数()f x 在区间()1,2上单调递增， 所以()()11131232322222f x f m >=+-≥+⨯-=->-，故()2f x <-不成立．……………………7分当12m <时，函数()f x 在区间()1,1x 上单调递减，在区间()10,x 和()2,x +∞上单调递增．由12120,0,1x x x x >>=，知1201x x <<<，所以在区间[]1,2上，()()(){}max max 1,2f x f f =．……9分因为()()()151232,22223ln 244ln 222f m m f m m =+-=-=+-+=-+， 所以522244ln 22m m ⎧-≤-⎪⎨⎪-+≤-⎩，解得142ln 24m m ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 而12ln 2ln 210444---=<，所以14m ≤，故实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．…………………………2分 解法二：()2f x <-，即()2123ln 22x m x x +-+<-． 在区间()1,2上，()221ln 211ln 2223ln 22322x x x x m x x m x x x++++-+<-⇔-<-=--． 令()()1ln 2,1,22x g x x x x +=--∈，则()()2221ln 212ln 222x x x g x x x-+-++'=--=． 令()()22ln 2,1,2h x x x x =-++∈，则()()221220xh x x x x-'=-+=<，所以函数()h x 在区间()1,2上单调递减．因为()()110,22ln 220h h =>=-<， 所以存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =，且()01,x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>； 当时()0,2x x ∈，()0h x <，即()0g x '<．所以函数()g x 在区间()01,x 上单调递增，在区间()0,2x 上单调递减，因此在[]1,2上，()()(){}min min 1,2g x g g =．因为()()15ln 22ln 212,2122222g g +=--=-=--=--，所以()()1ln 21ln 2210222g g --=-=>，即()()21g g >． 故当()1,2x ∈时，()()1g x g >．因此5123,24m m -≤-≤．故实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．……………………………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）如图1，过点C 作CE PD 交AB 于点E ，则PBA CEA =∠∠，且MCE MDB ∆∆∽，所以MC ECMD BD=．因为PA 、PB 是圆的切线，所以PAB PBA =∠∠，所以PAB CEA ∠=∠，从而,MC AC AC EC MD BD ==，得MCMD BD AC=⋅． 由2,3,4BD AC MC ===，得83MC MD BD AC =⋅=．……………………………………………………5分 （Ⅱ）如图2，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则,OA PA OB PB ⊥⊥．因为MO CD ⊥，所以90OMD OBD OMC OAC =∠=∠==∠∠︒，故四点A 、C 、M 、O 共圆，四点B 、D 、O 、M 共圆，所以,OCM OAM ODM OBM ∠=∠∠=∠．又OA OB =，所以OAM OBM ∠=∠，故,OCM ODM OC OD ∠=∠=． 从而MD MC =．………………………………………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）由3cos ,22sin x t y t ==+，消去参数t ， 得曲线C 的直角坐标方程为()222194y x -+=．………………………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为y x =．设与直线l 平行的直线方程为y x m =+，代入()222194y x -+=，整理得()()22131829240x m x m ⎡⎤+-+--=⎣⎦．由()()221824139240m m ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯⨯--=⎣⎦⎣⎦，得()2213m -=，所以2m =当点P位于直线2y x =+C 的交点（切点）时，点P 到直线l的距离最大，为=．……………………………………………………………………………………10分或：设点()3cos ,22sin P t t +，则点P 到直线0x y -=的距离为=，其中cos ϕϕ==．=． 24．解：（Ⅰ）因为()()()210342214212642x x x x x x x x x +>⎧⎪--<+⇔+-<+⇔⇔<<⎨-<⎪⎩，所以2,6a b ==．（Ⅱ）因为2,6a b ==，所以22122,311mn S m n ==+--．22112611S m n ⎛⎫=-+≤-=-≤-- ⎪--⎝⎭当且仅当m m ==max 6S =-．………………………………………………………10分。
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2018年安庆市重点中学高三模拟考试
数学试题（理科） 2018.4.20
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题包括12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数i
i z 312+-=，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知集合{}
{}2|,054|A 2+<<=>--=a x a a B x x x ，若∅≠B A I ，则实数a 的取值范围为（ ）
A. [-1,3]
B.),3[]1,(+∞--∞Y
C.（-1，3）
D.),3()1,(+∞--∞Y
3. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
212cos )cos cos (=+•+b a B A b B a ，则∠C=（ ）
A. π61
B.π31
C.π32
D.π6
5 4. 已知下列数据满足线性回归直线y=bx+a ，则回归直线必过点（ ）
A. （16.6，3.3）
B.（16.6，3.2）
C.（16.5，3.3）
D.（16.5，3.2）
5. 已知等比数列{}n a 的前n'项和为n S ，若)(8
15184a a a a +=+，则=48S S （ ） A.9 B.89 C.17 D.16
17 6. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为645，则判断框中可以填（ ）
A. i>3?
B.i>4?
C.i>4?
D.i>5?
日需求量x （件） 14 15 16 18 20 频率y 2 2 3 4 5
7. 已知函数⎩⎨⎧≤>=+,0,4,
0|,ln |)(1x x x x g x 则方程02)(3)]([2
=+-x g x g 的根的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6
8. 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
A. 2
123
+π B.232123++π C.3212
3++
π D.23123++π
9. 已知不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥+≤,,1,12a y x y x 构成平面区域Ω，若Ω∈∀),(y x ，都有x-2y>-5,则实数a 的取
值不可能为（ ）
A. -3
B.-2
C.1
D.2
10. 已知函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<
<>>+=A x A x f 的最大值为2，相邻对称轴间的距离为2π，且)6()6(x f x f +=-ππ，且当],4
[∂-∈πx 时，f （x ）的值域为]2,3[-，则∂的取值范围为（ ）
A. ]127,6[ππ
B.]125,6[ππ
C.]127,6[ππ-
D.]12
5,6[ππ- 11. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆222a y x C =+：的切线l,点M 在直线l 上，且|MF 1|-|MF 2|=2a ，且∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. x y ±=
B.x y 2±=
C.x y 3±=
D.x y 2±=
12. 若存在),1(+∞∈x 使关于x 的不等式))(2(ln 1)1(Z m x x m x ∈+>+-能成立，则m 的最小值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13——21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 7
32312⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的展开式中，含x 1项的系数为_____________. 14. 已知边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 边上的中点，若,μλ+=则=+μλ__________________.
15. 已知三棱锥S-ABC 中，SA ⊥BC ，22
222=====AC BS SA BC AB ，则三棱锥S-ABC 外接球的体积为____________.
16. 过点),(00y x P 作圆042
2=-+Ωy y x ：的两条切线，分别与x 轴交于B ，C 两点，若
)4(40200>=y x y ，则△PBC 面积的最小值为_________________. 三、解答题
17. （12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a 4)1(2=+.
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若n
n n a b 4=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.（12分）年年岁岁有晚,岁岁年年景不同:2018年的狗年春晚，新气象扑面而来；在4个多小时的晚会中,各类接地气、有新意、动真情的作品精彩纷呈、高潮迭出，,渲染出全民大联欢、普天同庆的基色，将热烈喜庆的节日氛围和激动人心的新春景象一次又一次推至高潮.为了测试观众对本次春晚的喜爱程度,随机抽取600名观众参加春晚节目的问卷调查(满分150分),并将观众给出的给分
（I）求这600名观众对2018年晚节目问卷调查的平均分的估计值；
（II）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人的问卷进行分析,求其中得分超过90分的观众人数；
（III）在(II)中抽取的20名观众中,要随机选取2名参加元宵晚会的点评工作,记其中得分超过90分的观众人数为X,求X的分布列与数学期望.
19. （12分）已知四棱锥E-ABCD 中，∠ABC=∠BCD=∠DCE=90°，AB=CE=
21CD=2. （I ）证明：∠ABE=90°；
（II ）若∠BCE=120°，二面角E-AD-B 的余弦值为
8
63时，求BC 的大小.
20. （12分）已知椭圆)0(1:C 22
22>>=+b a b
y a x 的离心率为22，且过点（22，-）. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过点（2，0）的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若存在)0,(Q x Q ，使得∠MQO=∠NQO ，求Q x 的值（O 为坐标原点）.
21. （12分）已知函数x
e x x
f 2ln 2)(+=. （I ）求函数f(x)的单调区间； （II ）证明：当x>0时，都有2'22)1ln()(++<
+x x e
e x x f
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为022)4cos(=++θπ
ρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==t y t m x sin 2,cos （t 为参数，m>0），点A 是曲线C 上的一个动点.
（I ）求直线l 的普通方程；
（II ）当m=2时，求点A 到直线l 的距离的最小值.
23. （10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|2||22|)(m x x x f ++-=.
（I ）若m=3，求不等式分f （x ）>6的解集；
（II ）记函数|1|)()(--=x x f x g ，若g （x ）≥2恒成立，求实数m 的取值范围.。