人民教育出版社九年级数学上册 第二十四章 24.1.2垂直于弦的直径(共18张PPT)
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径检测(含解析)新人教版(2
九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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24.1.2 垂直于弦的直径测试时间：30分钟一、选择题1.一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是( )A。
① B.②C。
③D。
④2。
(2017贵州黔西南州中考)如图，在☉O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5,则CD的长是( )A.3 B。
2。
5 C.2 D.13.在某岛A的正东方向有台风,且台风中心B距离该岛40 km，台风中心正以30 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心50 km以内（包括边界)都受影响，则该岛受到台风影响的时间为（)A.不受影响B。
1 h C.2 h D.3 h二、填空题4.(2017湖南长沙中考)如图,AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.5。
(2017四川雅安中考)☉O的直径为10，弦AB=6,P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是.三、解答题6。
如图,AB为☉O的弦，☉O的半径为5,OC⊥AB于点D，交☉O于点C,且CD=1.(1)求线段OD的长；(2)求弦AB的长.7.(2018福建龙岩新罗期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之,深一寸，锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题：“如果CD为☉O 的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸，那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.24。
24.1.2垂直于弦的直径
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB， ． O 垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是 正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴 中心 圆心
24.1.2垂直于弦的直径
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一 条直径对折，重复几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？
弧： BC, BD AC AD
C
·
O E A D B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， C ， D A A 分别与 B C 、 B D 重合．
C
A AE＝BE， D B D
， C BC A 即直径CD平分弦AB，并且平分 B 及 C B A A
C
37 . 4 18 . 7 ,
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A R O
D
B
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．
我们就得到下面的定理：
·
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
我们还可以得到结论：
E
A D
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用 这个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题？ 在图中 AB=37.4，CD=7.2，
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径课件新版新人教版
知识要点基础练
知识点1 圆的轴对称性
1.下列轴对称图形中,对称轴的条数最多的图形是 ( A )
A.圆 B.正六边形
C.正方形
D.等边三角形
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明 ( B )
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直弦的直径平分弦所对的弧
知识要点基础练
知识点3 垂径定理的推论 5.下列说法正确的是 ( D ) A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于直径的弦平分这条直径 D.弦的垂直平分线经过圆心
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。
这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。
但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。
2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。
2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。
2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。
4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。
5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。
八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。
主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。
人教版九年级数学上册第二十四章24.1.2 垂直于弦的直径(共21张PPT)
C
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
3、如图，弓形ABC中，弦AC的长为8厘米， 弦的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，求 圆的半径。
B
2
4
A
D
C
x
x-2
·O
4、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是
60°, 那么弦AB的弦心距是 5 3cm .
圆的圆心到圆上弦的
距离叫做弦心距。
O
A
B
P
3≤OP≤5
2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是
正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
∵AC=AB
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:45:1209:45:1209:458/12/2021 9:45:12 AM
•
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.1209:45:1309:45Aug-2112-Aug-21
于弦,并且平分弦所对的两条弧.
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.1221.8.12Thursday, August 12, 2021
九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质(第2课时)垂直于弦的直径
Image
12/12/2021
第十九页，共十九页。
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
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第二页，共十九页。
【知识链接，复习(fùxí)准备】
1.在下图中，弦有__________________；
直径(zhíjìng)是_______,半径是__________； 其中，弦AB所对的弧是_____________； 在图中作出
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拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
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第十二页，共十九页。
【典例精析，经典(jīngdiǎn)同行】
C
A
D
B
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O
第十三页，共十九页。
【反思(fǎn sī)总结 ，归纳方法】
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
_________
变式2：已知⊙O的半径为5cm，圆心 O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
______cm.
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第九页，共十九页。
【利用(lìyòng)新知，解决问题】
学案(xuéàn)题组一第4题
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直(chuízhí)且相等的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形 ADOE是正方形．
学案(xuéàn)题组一第5 题
5.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆(dàyuán)弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O
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是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
分析
C
O
A
E
D
条件
结论
｝｛ CD为直径，
CD平分弦 AB
点C平分弧ACB
CD⊥AB
点D平分弧ADB
｝｛ （1）过圆心
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（B 2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
注意书写格式.
例1.如图,弦AB的长为 8 cm,圆心O到 AB 的距 离为 3 cm,求⊙O的半径.
⌒⌒ AD = BD
·O
E
A
B
D
总结
3、图形语言
A
O
C
E
B
垂径定理
1、文字语言
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。
2、符号语言
因为AB⊥CD于E, AB为⊙O的直径
∴ CE=DE,
D
AC=AB,
BC=BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
O
A
E
B
D
B
O A
O
E
B
D
是
不是
垂直于弦的直径
复习与回顾
1.圆是轴对称图形吗? 2.如果是，它的对称轴是什么? 3.你能找到多少条对称轴? 4.讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
归纳:圆是轴对称图形，其对称轴是任 意一条过圆心的直线
2020/5/14
驶向胜利 的彼岸
问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ (结果保留小数点后一位）
A
O.
E C
B
问题：左图中AB为圆O的直 径，CD为圆O的弦。相交于 点E，当弦CD在圆上运动的
过程中有没有特殊情况？
D
直径AB和弦CD互相垂直
特殊情况
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂 足为E．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
线段： AE=BE 弧: A⌒C = B⌒C
相信自己是最棒的!
D
小结
１.圆的轴对称性
２.垂径定理的推式 直径平分弦
（1）直径垂直于弦=>｛ 直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦 （2）直径平分弧=>｛
直径垂直于弧所对的弦 注：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，
可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
作业布置课本第88页7Fra bibliotek8题说出你这节课的收获和体 验让大家与你分享吗？
O.
A
E C
DB
∴ＣＥ＝ＥＤ ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ
即ＡＣ＝ＢＤ
C
O
A
A
E
B
D
O
A
D
B
C
O
C
B
知“二”推“三”
如图,在下列五个条件中:
①⑤A过⌒D圆=B心⌒D的. 只直要线具②备C其D中⊥两AB个, 条③件A,M就=可BM推,出④其A余⌒C三=B个⌒C结, 论.
C
A M└ ●O
B 你可以写出相应的命题吗?
你能求出赵州桥主桥拱的 半径吗？
C
D
A
B
R
O
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB
上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__.最大 值为______5______.
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。
证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ
∵ＯＥ⊥ＡＢ ∴ＡＥ＝ＥＢ ∵ＯＥ⊥ＣＤ
变1.在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB的
A
E
B 长为 8 cm, 求圆心O到AB的距离.
变2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心O到
O
AB的距离为 3 cm,求弦AB的长.
设⊙O的半径是r，圆心到弦的 距离d，弦长a，
三者关系如何？
O
r2 =d2+( a2)2
rd
a
2
问题 ：它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长) 为37m,拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.23m，