二次根式及计算
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一项重要的内容，掌握好它们的运算规则和技巧，可以帮助我们更好地解决与二次根式相关的问题。
本文将介绍二次根式的加减乘除运算，以及求解二次根式的近似值的方法。
一、二次根式的加减运算1. 相同根式的加减运算当两个二次根式具有相同的根号部分时，可以直接对根号内的数进行加减运算，并保持根号部分不变。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 02. 不同根式的加减运算当两个二次根式具有不同的根号部分时，无法直接进行加减运算。
此时，我们需要进行有理化处理，将二次根式化为同类项后再进行运算。
有理化的方法包括乘以其共轭形式、分子有理化等。
下面以乘以共轭形式为例进行说明。
例如：（√2 + √3）- (√2 - √3)= √2 + √3 - √2 + √3（将括号内的式子加上负号，改为减法）= √2 - √2 + √3 + √3（合并同类项）= 2√3二、二次根式的乘除运算1. 乘法法则当计算两个二次根式的乘积时，我们可以直接将根号内的数相乘，并将根号部分合并为一个根号。
例如：√2 × √3 = √62. 除法法则当计算两个二次根式的商时，我们可以直接将根号内的数相除，并将根号部分合并为一个根号。
例如：√6 ÷ √2 = √3三、二次根式的近似值求解在一些实际问题中，我们往往需要求解二次根式的近似值。
这时，我们可以利用计算器或者近似计算的方法得到结果。
例如：求解√5的近似值，我们可以使用计算器进行计算，得到约等于2.236。
四、总结通过本文的介绍，我们了解到了二次根式的运算方法。
在进行加减运算时，相同根式直接加减，不同根式需要进行有理化处理；在进行乘除运算时，直接进行乘除运算并合并根号部分。
另外，在求解二次根式的近似值时，可以利用计算器或者近似计算的方法获得结果。
掌握好这些运算方法，可以帮助我们更好地解决与二次根式相关的问题。
二次根式及其运算
(2)原式＝( 10－3)2016×( 10＋3)2016×( 10－3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2016×( 10－3) ＝[( 10)2－32]2016×( 10－3) ＝(10－9)2016×( 10－3)＝1×( 10－3) ＝ 10－3.
★名师指津 最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次 根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和 x2－y2，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因 式．应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数， 因式和项有区别．
易错点3
二次根式的性质
＝|a|
1 1 1 2 【典例 3】 化简并求值：a＋ a ＋ 2－2，其中 a＝ . a 5 12 a － 1 1 1 【错解】 原式＝ ＋ a ＝ ＋a－ ＝a. a a a 1 1 当 a＝ 时，原式＝a＝ . 5 5 12 a － 1 【析错】 化简 a2＋ 2－2＝ 根据 a2＝|a|， a 时， a 可知结果一定是非负数． 12 1 a－ a－ 1 1 1 ∵当 a＝ 时，a－ <0，∴ a ＝ a ＝ －a， 5 a a 1 而不是 a－ . a
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x≤ 9
x－ 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y＝ 中， 自变量 x x－ 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x＞1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】 根据二次根式有意义的条件，得 x－1≥0，由 分式有意义的条件，得 x－2≠0， ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2．(2016· 自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们常被用于解决各种数学问题。
在本文中，我们将讨论如何化简和计算二次根式。
一、二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式，即约分到根号下的数不能再存在平方因子。
下面是几种常见的二次根式化简方法：1. 取出公因数法当二次根式的根号下部分含有多个因子时，我们可以尝试通过取出公因数的方式进行化简。
例如，对于√18，我们可以将其分解为√(9*2)，进一步化简为3√2。
2. 平方因式分解法当二次根式的根号下部分可以进行平方因式分解时，我们可以利用这个特性进行化简。
例如，对于√75，我们可以将其分解为√(25*3)，进一步化简为5√3。
3. 有理化分母法当二次根式的根号下部分含有分母时，我们可以通过有理化分母的方式进行化简。
具体来说，我们需要将根号下的分母用有理数表示，并将分子乘以相应的因子，以消除根号下的分母。
例如，对于(2/√3)，我们可以用有理数的形式表示为(2*√3/3)，从而实现了化简。
二、二次根式的计算计算二次根式主要指的是进行加减乘除等数学运算。
下面是几种常见的二次根式计算方法：1. 加减运算进行二次根式的加减运算时，我们需要首先化简每个二次根式，然后按照相同根号下的内容进行合并，并化简结果。
例如，计算√3 + 2√3，我们首先化简两个根号下的3，然后合并系数得到3√3。
2. 乘法运算进行二次根式的乘法运算时，我们需要将每个二次根式展开，并按照指数规则进行计算。
具体来说，对于√a * √b，我们可以将其化简为√(a*b)。
例如，计算√2 * √3，我们可以化简为√6。
3. 除法运算进行二次根式的除法运算时，我们需要利用有理化分母的方法，将除数有理化，并利用分数的除法规则进行计算。
例如，计算(2√3) / √2，我们可以有理化分母，化简为(2√3 * √2) / (√2 * √2)，进一步计算得到(2√6) / 2，最终化简为√6。
综上所述，二次根式的化简与计算是解决数学问题中常见的基本技巧。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式及其运算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
4．(2013·常德)计算 4．(2013·常德)计算 2×
2×8＋38＋－327－的2结7的果结为果(为B(
)
)
A．－1
B．1
C．4－3 3
D．7
A．－1
B．1
C．4－3 3
D．7
解析 本题考查的是实数的运算，在进行实数运算
首
页
时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3．(2013·泰州)下列计算正确的是
()
A．4 3－3 3＝1
B. 2＋ 3＝ 5
首
C．2 12＝ 2
D．3＋2 2＝5 2
页
解析 根据二次根式的化简及同类二次根式的
合并，分别进行各选项的判断即可．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
3．(2013·泰州)下列计算正确的是
2．二次根式的性质：
(1)( a)2＝_a_(_a_≥__0_)_．
首 页
(2)
a2＝|a|＝
a(a>0) ； 0(a＝0) ；
－a(a<0) .
(3) ab＝__a_·____b(_a_≥__0_，__b_≥_．0) (4) ab＝____ba_(_a_≥__0_，_b_>_0_)__．
第5课 二次根式及其运算
(5)巧用倒数．
第5课 二次根式及其运算
基础自测
1．(2013·鞍山)要使式子 2－x有意义，则 x 的取值
范围是
(D )
A．x＞0
B．x≥－2
首
C．x≥2
D．x≤2
页
解析 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
二次根式及其运算
2没有根号，不是二次根式。 没有根号，不是二次根式。 没有根号
例题1 当a为实数时，下列各式中哪些是二 例题1 为实数时， 次根式？ 次根式？ a+10 ， a 2＋1 ， 分析 ∵ a ∴ a ， a 2 ， a 2－1 ， (a－1) 2. (a－
2
(a－ ≥0 , a2 ≥0 , a2＋1>0 , (a－1) a ， a2 ， a2＋1 ， (a－1) (a－
3 3 2 ) = 5 5 3 )2 = 22 × ( = 4×3 × = 12 3 )2
4 是4的算术平方根，则有： 4 ）2 =4 （ 的算术平方根， 的算术平方根 则有： 的算术平方根， 的算术平方根 则有： ： 2 是4的算术平方根，则有（ 2 ）2 =2
一般地，我们有： 一般地，我们有： （ a ）2 =a
例题2 x 是怎样的实数时，式子 x-3 在实数 例题 是怎样的实数时， 范围内有意义？ 范围内有意义？ 解：由x-3≥0,得 , x≥3 当x≥3 时，式子 x-3 在实数范围 内有意义。 内有意义。
例题3 计算： 例题 计算： (1) ( 3 2 ) ; 5 (2) ( 2 3 )2 .
解： (1) ( (2) ( 2
二次根式
1．什么叫平方根、算术平方根？ ．什么叫平方根、算术平方根？
2．说出下列各式的意义，并计算： ．说出下列各式的意义，并计算： 16 － ８ ０ 104
0.04
+
0.25
(－８)２ －
二次根式定义： 叫做二次根式 二次根式. 二次根式定义： 式子 a (a ≥0) 叫做二次根式 （1） －2 是二次根式吗？ 是二次根式吗？ ） 式子 a 只有在条件 只有在条件a≥0时才叫二次根式， 时才叫二次根式， 时才叫二次根式 所以它不是二次根式。 所以它不是二次根式。 （2） ） 4 是二次根式，而 是二次根式， 次根式吗？ 次根式吗？ 4 =2 ，2是二 是二
二次根式及其运算
次，又把积(商)再化简一次较为简单．
2.混合运算时，要根据实际情况，灵活确定运算顺序，可适当 改变运算的顺序，使运算简便．
失误与防范 1.求 a2时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 a2＝ |a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类 讨论． 2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力求 把根号去掉．在求算术平方根时，要先用含绝对值的式子表 示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义，然后再 根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号．
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
探究提高
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可. 2.注意到(x－ 1 )2＝(x＋ 1 )2－4，可得(x－ 1 )2＝5， x x x 1 x－ ＝± 5 . x
3．一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求思路
和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过 程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分，
都必须认真对待．
A．－2－ 3 C．－2＋ 3
B．－1－ 3 D．1＋ 3
解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和 3 ， ∴OA＝|－1|＝1，OB＝| 3 |＝ 3 ，AB＝1＋ 3 ＝AC， ∴OC＝AC＋OA＝(1＋ 3 )＋1＝2＋ 3 . ∴点C所表示的数为－(2＋ 3 )＝－2－ 3 ，选A.
题型三 二次根式混合运算
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a · b(a≥0，b≥0)，
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
二次根式及其运算
大小关系，何者正确
()
A．k＜m＝n
B．m＝n＜k
C．m＜n＜k
D．m＜k＜n
【思路分析】(1)根据被开方数大于等于0，分母
不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根
式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．
【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，
解得x≥－ 1 且x≠1.故选A. 2
类型三 二次根式的运算与求值
例3 (1)(2013·包头)计算：8 3 1 2 ＝
；
2
(2)(2013·泰安)化简：3( 2 3) 24 6 3＝ .
【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并
同类二次根式即可．(2)根据二次根式的乘法运算
法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简
作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正 △P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作 △P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形 中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标 是________．
【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角
形的边长的
1 ，第六个正三角形的边长是 2
5．(2013·泰州)下列计算正确的是
(C )
A．4 3 3 3 1
B. 2 3 5
C．2 1 2
D．3 2 2 5 2
2
6．(2014·台湾)算式( 6 10 15) 3 之值为( D )
A．2 42
B．12 5 C．12 13 D．18 2
7．(1)(计算)( 10－3)2016·( 10＋3)2015= 10 3 .
【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意： (1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平 方后才能从根号外移到根号内．
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初中数学二次根式及计算编稿老师董志臣一校安宁二校黄楠审核宋树庆考点考纲要求分值考向预测二次根式及计算1. 理解二次根式定义，理解最简二次根式、同类二次根式含义并能加以区分；2. 能够进行二次根式的有关加减乘除运算，以及化简求值；3. 掌握二次根式的特殊求值方法，能够运用二次根式的性质解决问题。
5～10分主要考查内容：二次根式有意义的条件；二次根式性质的运用；（a）2与2a的化简；二次根式的计算。
一、二次根式的基本概念：1. 定义a（a≥0）的代数式叫作二次根式。
“”称为二次根号。
（当a≥0a表示a的算术平方根）【要点诠释】（1）形如ab（a≥0）的式子也叫作二次根式；（2）二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a≥0。
2. 二次根式的性质①非负性，a表示a的算术平方根，因此a（a≥0）是一个非负数；②2)(a＝a(a≥0)；③2a a=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；④ab=a·b（a≥0，b≥0）⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
3. 最简二次根式 必须同时满足下列条件① 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ② 被开方数中不含分母； ③ 分母中不含根式。
【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意：① 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； ② 在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式。
【随堂练习】（长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A.B. C.D.答案：A. ，可化简；C. ，可化简；D.因此只有B 是最简二次根式，故选B 。
思路分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。
4. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二、二次根式的计算：1. 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。
2. 二次根式的乘除法：① 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
② 二次根式的除法法则：【要点诠释】（1）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（2）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a进行化简，即将根号内能够开得尽方的数移到根号外；（3）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简；（4）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算。
【随堂练习】（白银）下列计算错误的是（ ） A. 236⋅= B. 235+= C. 1232÷= D. 822=答案：B例题1 （巴中）要使式子1m +有意义，则m 的取值范围是（ ） A. m ＞－1B. m≥－1C. m ＞－1且m≠1D. m≥－1且m≠1思路分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围。
答案：根据题意得：m+1≥0, m −1≠0，解得：m ≥－1且m ≠1。
故选D 。
技巧点拨：本题考查的知识点为：分式有意义的条件，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数。
例题2 （吉林）若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b 2－a 2= 。
思路分析：因为32＜13＜42，所以3＜13＜4，求得a 、b 的数值，进一步求得问题的答案即可。
答案：∵32＜13＜42，∴3＜13＜4，即a=3，b=4，∴b 2－a 2=7。
故答案为7。
技巧点拨：此题考查无理数的估算。
利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法。
例题3 （荆门）（1）计算：24×31－4×81×（1－2）0； （2）先化简，再求值：（22222b ab a b a +--+ab a -）÷ab a b -22，其中a ，b 满足1+a +|b－3|=0。
思路分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=3124⨯－4×42×1=22－2，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=ba，再根据非负数的性质得到a+1=0，b－3=0，解得a=－1，b=3，然后把a 和b 的值代入计算即可。
答案：解：（1）原式=3124⨯－4×42×1=22－2=2；（2）原式=[2)())((b a b a b a --+－b a a-]•2)(b b a a -=（b a b a -+－b a a -]•2)(b b a a -=b a b -•2)(b b a a - =ba ， ∵1+a +|b －3|=0，∴a+1=0，b －3=0，解得a=－1，b=3，当a=－1，b=3时，原式=－31=－33。
技巧点拨：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式。
也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值。
【易错警示】 一、考虑问题不全面如：代数式21-x 中，x 的取值范围是______。
易错点：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2。
分析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数。
错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件。
正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2。
二、理解性质出错如：求()23-的值。
易错点：()23-＝－3。
分析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数。
错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错。
正解：()23-＝9＝3。
三、忽略运算顺序如：计算3312⨯÷。
易错点：原式＝212=÷。
分析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行。
正解：原式＝23332=⨯⨯。
四、对最简二次根式判断不准如：下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A.23B .36C.2.1D.49易错点：选C 。
分析：最简二次根式的被开方数中既不含开得尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B 。
错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简。
正解：选B 。
（答题时间：30分钟）1. 在式子21-x ，31-x ，2-x ，3-x 中，x 可以取2和3的是（ ） A. 21-x B. 31-x C. 2-x D. 3-x2. 设n 为正整数，且n ＜65＜n+1，则n 的值为（ ）C. 7D. 83. y=5x -+153x -+3，则xy=（ ）A. －15B. －9C. 9D. 154. 已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，则2()a b c --+|a+b －c|的值为（ ） A. 2aB. 2bC. 2cD. 2（a 一c ）5.（德州）若y=244xx -+-－2，则（x+y ）y = 。
6. 把（2－x ）12x -根号外的因式移到根号内，得 。
7. 计算：（5－1）（5+1）－（－13）－2+|1－2|－（π－2）0+8。
8. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2。
善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=（m+n 2）2（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2。
∴a=m 2+2n 2，b=2mn 。
这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a=__________，b=___________；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：____+____3=（__+__3）2；（3）若a+43=(m+n 3)2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值。
1. C 解析：A. 21-x 的分母不可以为0，即x －2≠0，解得：x≠2，故A 错误； B.31-x 的分母不可以为0，即x －3≠0，解得：x≠3，故B 错误； C. 被开方数大于等于0，即x －2≥0，解得：x≥2，则x 可以取2和3，故C 正确； D. 被开方数大于等于0，即x －3≥0，解得：x≥3，x 不能取2，故D 错误。
故选C 。
2. D 解析：∵64＜65＜81，∴8＜65＜9， ∵n ＜65＜n+1，∴n=8，故选D 。
3. D 解析：∵5x -153x -，∴x －5≥且15－3x≥0，∴x=5， ∴y=0+0+3=3，∴xy=5×3=15。
故选D 。
4. B 解析：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴a －b －c ＜0，a+b －c ＞02()a b c --－c|=b+c －a+a+b －c=2b 。
故选B 。
5.41解析：由题意得，x －4≥0且4－x≥0，解得x≥4且x≤4， ∴x=4，y=－2，∴（x+y ）y =（4－2）－2=41。
故答案为41。
6. 2x - 12x -x －2＞0，即x ＞2，∴2－x ＜0，∴原式=21(2)2x x •--2x - 7. 解：原式=5－1－2－1－2=－2。
8. 解：（1）∵332，∴32+3n 23a=m 2+3n 2，b=2mn 。
故答案为m 2+3n 2，2mn 。
（2）设m=1，n=1，∴a=m 2+3n 2=4，b=2mn=2。
故答案为4、2、1、1。
（3）由题意得：a=m 2+3n 2，b=2mn ∵4=2mn ，且m 、n 为正整数， ∴m=2，n=1或者m=1，n=2， ∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。