高考物理复习四章万有引力与航天圆周运动学案

第3讲圆周运动[考试标准]知识内容必考要求加试要求说明圆周运动、向心加速度、向心力d d1.不要求分析变速圆周运动的加速度问题．2.不要求掌握向心加速度公式的推导方法．3.不要求用“等效圆”处理一般曲线运动．4.变速圆周运动和曲线运动的切向分力和切向加速度不作定量计算要求.5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直线上的圆周运动问题．6.不要求对离心运动进行定量计算．7.不要求分析与计算两个物体联结在一起(包括不接触)做圆周运动时的问题.生活中的圆周运动c一、圆周运动、向心加速度、向心力1．匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等．(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．2．描述匀速圆周运动的物理量(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝ΔsΔt＝2πrT.单位：m/s.(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝ΔθΔt＝2πT.单位：rad/s.(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝1f.(4)转速：物体单位时间内所转过的圈数．符号为n，单位：r/s(或r/min)．(5)相互关系：v＝ωr＝2πTr＝2πrf＝2πnr.3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．a n＝v2r＝rω2＝ωv＝4π2T2r＝4π2f2r.4．向心力做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，公式为F n＝m v2r或F n＝mrω2.向心力的方向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力．自测1下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动B．向心加速度大小和方向都不变C．物体所受合力全部用来提供向心力D．向心力总是沿半径指向圆心，是一个恒力答案 C二、生活中的圆周运动1．火车转弯特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨)2．竖直面内的圆周运动(1)汽车过弧形桥特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力．(2)水流星、绳球模型、内轨道最高点：当v≥gR时，能在竖直平面内做圆周运动；当v<gR时，不能到达最高点．3．离心运动定义做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动．4．受力特点当F合＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；当F合＝0时，物体沿切线方向飞出；当F合<mω2r时，物体逐渐远离圆心．当F合＞mω2r时，物体做近心运动．自测2以下说法中正确的是( )A．在光滑的水平冰面上，汽车可以转弯B．火车转弯速率大于规定的数值时，内轨将会受压力作用C．火车转弯速率大于规定的数值时，外轨将会受压力作用D．汽车转弯时需要的向心力是由司机转动方向盘所提供的力答案 C命题点一描述圆周运动的物理量间的关系1．对公式v ＝ωr 的理解 当r 一定时，v 与ω成正比； 当ω一定时，v 与r 成正比； 当v 一定时，ω与r 成反比． 2．对a ＝v 2r＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比． 3．同轴转动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．4．皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．例1 如图1所示，有一皮带传动装置，A 、B 、C 三点到各自转轴的距离分别为R A 、R B 、R C ，已知R B ＝R C ＝R A2，若在传动过程中，皮带不打滑，则( )图1A ．A 点与C 点的角速度大小相等B ．A 点与B 点的线速度大小相等C ．A 点与C 点的角速度大小之比为2∶1D ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4 答案 D解析 同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．因此v A ＝v C ，ωA ＝ωB ，根据关系式v ＝ωR，可得ωA R A ＝ωC R C ，又R B ＝R C ＝R A 2，所以ωA ＝ωC 2，v B ＝v A2，故选项A 、B 、C 错误；根据ωA ＝ωB ，ωA ＝ωC 2，可得ωB ＝ωC 2，由关系式a ＝ω2R ，可得a B ＝a C 4，即B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，故选项D 正确．变式1 (2020·浙江“七彩阳光”联考)东白山是东阳的第一高峰，因为景色秀美已成了远近闻名的旅游区，在景区内的小公园里有一组跷跷板，某日郭老师和他六岁的儿子一起玩跷跷板，因为体重悬殊过大，郭老师只能坐在靠近中间支架处，儿子坐在对侧的边缘上．请问在跷跷板上下运动的过程中，以下说法中哪些是正确的( ) A ．郭老师能上升是因为他的力气大 B ．儿子能上升是因为他离支点远C ．郭老师整个运动过程中向心加速度都比较大D ．郭老师和儿子的运动周期是相等的 答案 D变式2 (2020·嘉兴市高一期末)风能作为一种清洁的可再生能源，正逐步被推广使用．如图2所示是位于杭州湾跨海大桥北岸的海盐风力发电场内的一台发电机，在风力推动下，风叶带动发电机发电，a 、b 为同一叶片上的两点，则a 点( )图2A ．线速度等于b 点的线速度B ．角速度小于b 点的角速度C ．周期大于b 点的周期D ．向心加速度小于b 点的向心加速度 答案 D解析 由同轴转动知ωa ＝ωb ，则T a ＝T b ，而r a ＜r b ， 则v a ＜v b ，由a ＝ω2r 知a a ＜a b .故D 正确．变式3 (2020·绍兴一中高一期末)如图3所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置．P 是轮盘的一个齿，Q 是飞轮上的一个齿．下列说法中正确的是( )图3A ．P 、Q 角速度大小相等B ．P 、Q 两点向心加速度大小相等C ．P 点向心加速度小于Q 点向心加速度D ．P 点向心加速度大于Q 点向心加速度 答案 C解析 P 、Q 两点是链条传动装置的两轮子边缘上两点，则v P ＝v Q ，而r P ＞r Q ，v ＝rω，所以P 、Q 两点角速度大小不相等，故A 错误；根据a ＝v2r 及v P ＝v Q 、r P ＞r Q ，可知P 点向心加速度小于Q 点向心加速度，故C 正确，B 、D 错误．命题点二 水平面内的圆周运动 解决圆周运动问题的主要步骤：1．审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； 2．分析物体的运动情况，轨道平面、圆心位置、半径大小以及物体的线速度是否变化； 3．分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； 4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．例2 如图4所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g 取10 m/s 2，π＝3.14)．则赛车( )图4A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为30 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s 答案 A解析 路面对轮胎的最大径向静摩擦力提供赛车做圆周运动所需要的向心力，则根据牛顿第二定律得F f ＝mv 21r ，F f ＝mv 22R ，得v 1＝30 m/s ，v 2＝45 m/s ，从小圆弧弯道到大圆弧弯道的速度是增加的，所以在绕过小圆弧弯道后加速，A 项正确，B 项错误；赛道上直跑道的单向长度为x ＝L 2－R －r2＝50 3 m ，赛车在直道上的加速度大小为a ＝v 22－v 212x ＝452－3021003 m/s 2≈6.5 m/s 2，则C 错误；由题意知小圆弧弯道的圆心角为2π3，通过小圆弧弯道的时间为t ＝2πr 3v 1＝6.28×4090s≈2.79 s，则D 项错误．变式4 如图5所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速运动，下列说法中正确的是( )图5A ．物块处于平衡状态B ．物块受三个力作用C ．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘D ．在物块到转轴的距离一定时，物块运动周期越小，物块越不容易脱离圆盘 答案 B解析 对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力，合力提供向心力，A 错误，B 正确；根据向心力公式F n ＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘，C 错误；ω＝2πT ，则F n ＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可知当物块到转轴的距离一定时，周期越小，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘，D 错误．变式5 (2020·浙江11月选考·11)如图6所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为15 m ，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍，则运动的汽车( )图6A．所受的合力可能为零B．只受重力和地面支持力作用C．最大速度不能超过25 m/sD．所需的向心力由重力和支持力的合力提供答案 C解析汽车在水平面上做匀速圆周运动，合外力时刻指向圆心，拐弯时靠静摩擦力提供向心力，因此排除A、B、D选项，所以选择C.命题点三竖直面内的圆周运动问题绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝m v2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(F N≥0)(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，－F N＋mg＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心并随v的增大而增大模型1 轻绳模型例3如图7所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g取10 m/s2，求：图7(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的速度不能超过多大？ 答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg ＋F 1＝mv2R①由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，F 1不可能取负值，即F 1≥0 ②联立①②得v≥gR ， 代入数值得v≥2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s. (2)v 2＝4 m/s 时，mg ＋F 2＝m v 22R ，解得F 2＝15 N.(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳的张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F 3－mg ＝mv 23R③将F 3＝45 N 代入③得v 3＝4 2 m/s 即小球的速度不能超过4 2 m/s.变式6 (2020·浙江10月学考·8)质量为30 kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5 m ．小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25 m 高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( ) A ．0 B ．200 N C ．600 N D ．1 000 N答案 C解析 秋千板从释放至最低点的过程中， 由机械能守恒定律：mgh ＝12mv2①在最低点，有F N －mg＝m v2L②由①②得：F N ＝600 N.结合牛顿第三定律可知，她对秋千板的压力约为600 N. 模型2 轻杆模型例4 (2020·金衢五校期中联考)如图8所示，长为l 的轻杆，一端固定一个可视为质点的小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v ，下列叙述中不正确的是( )图8A ．v 的值可以小于glB ．当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小 答案 D解析 轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故v 的值可以小于gl ，选项A 正确；由F n ＝m v2R 知，当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大，选项B 正确；当v ＞gl 时，杆对小球提供的是拉力，由牛顿第二定律得F ＋mg ＝m v2l ，故当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项C 正确；当v ＜gl 时，杆对小球提供的是支持力，由牛顿第二定律得mg －F ＝m v2l ，故当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项D 错误． 模型3 凹形桥与拱形桥模型F N －mg ＝mv2r概述如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F n ＝F N －mg ＝m v 2r规律桥对车的支持力F N ＝mg ＋m v2r＞mg ，汽车处于超重状态概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F n ＝mg －F N ＝m v 2rmg －F N ＝mv2r规律桥对车的支持力F N ＝mg －m v2r ＜mg ，汽车处于失重状态．若v ＝gr ，则F N ＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动例5 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力F N1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F N2，则F N1与F N2之比为( ) A ．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 答案 C解析 汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即F N1′＝F N1① 由牛顿第二定律可得mg －F N1′＝mv2R②同样，如图乙所示，F N2′＝F N2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F N2′－mg ＝mv2R ③由题意可知F N1＝12mg④由①②③④得F N1∶F N2＝1∶3.1．把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．如图1所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )图1A ．重力、漏斗壁的支持力B ．重力、漏斗壁的支持力及向心力C ．重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力D．小球受到的合力为零答案 A2．如图2所示，手表指针的运动可看成匀速运动，下列说法中正确的是( )图2A．秒针、分针、时针转动周期相同B．秒针的角速度最大，时针的角速度最小C．秒针上A、B两点线速度一样大D．秒针上A、B两点向心加速度一样大答案 B3．某同学用一根结实的细绳，其中一端拴一个小物体，使其在光滑的水平桌面上做圆周运动，体验手拉绳的力，如图3所示．当保持物体质量不变时，下列说法正确的是( )图3A．半径不变，减小角速度，拉力将减小B．半径不变，增大角速度，拉力将减小C．角速度不变，减小半径，拉力将增大D．角速度不变，增大半径，拉力将减小答案 A解析小物体在光滑的水平桌面上做圆周运动时，绳子对小物体的拉力F T提供向心力．由向心力公式F n ＝F T＝mω2R可知，m及R不变，角速度ω减小，则拉力F T将减小，选项A正确；同理可知B、C、D错误．4. (2020·“七彩阳光”联考)转篮球是一项需要技巧的活动，如图4所示，假设某同学让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方，下列判断正确的是( )图4A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处B．篮球上各点的向心力是由手指提供的。