微积分3第六次习题课题目(2010春)

曲线，则下列论断中不正确的是( ).
dΦ = X ( x , y )dx + Y ( x , y )dy K K ∂Y ∂X (C) 若在 D 内处处有 ≡ ，则 ∫ F ⋅ dl = 0 ； C ∂x ∂y
K K ∂Y ∂X ≡ ； (A) 若 ∫ F ⋅ dl = 0 ，则在 D 内必有 C ∂x ∂y K K (B) 若 ∫ F ⋅ dl = 0 ，则在 D 内必有可微函数 Φ ( x , y ) ，使得
x →+∞
（1）当 a > 0 时，方程
b dy + ay = f ( x) 的任意解 y = y ( x) ，均有： lim y ( x) = x →+∞ a dx b （2）当 a < 0 时，该方程只有一个解当 x → +∞ 时，趋于 .（学过微积分 2 的同学选作） a
15.设函数 p ( x), f ( x) 在 [0, +∞) 连续，且 lim p ( x) = a > 0 ， | f ( x) |≤ b ，求证：方程
∂ 2 u ( x , y ) ∂ 2 u ( x, y ) + = 0 ， ( x, y ) ∈ D ． ∂x 2 ∂y 2
Created by YAN Hao (2010 年 3 月)
记 D 的边界为 ∂D ， ∂D 的外向单位法向量为 n ，若 u ( x, y ) ≡ A, ( x, y ) ∈ ∂D ， （1）求曲线积分 u ( x, y )
∂D
∫
∂u ( x, y ) dl 的值； ∂n
（2）求证 u ( x, y ) ≡ A, ( x, y ) ∈ D ．
9.证明：梯度算子在柱坐标，球坐标下的表达式分别为 柱坐标： ∇ =
G ∂ JG ∂ JG 1 ∂ JJ er + eθ + ez ; r ∂θ ∂r ∂z
J G JG JJ G
球坐标: ∇ =
7） y
dy − 2x = y dx
8） y′ = sin( x + y + 1)
9） y′ =
x − y +1 x+ y +3
12) y ′tgx − y = 5 ,
10） xy′ + x + sin( x + y ) = 0
11） 2 yy′ = e
x2 + y 2 x
x2 + y 2 + − 2x x
x →+∞
⎧ dy ⎪ + p( x) y = f ( x) 的解在 [0, +∞) 有界. ⎨ dx ⎪ ⎩ y (0) = y0
16.设一阶线性齐次微分方程
dy + p( x) y = 0 的系数 p( x) 是以 ω 为周期的周期函数，且 dx
ω
0
p( x) 连续，证明：该方程的非零解以 ω 为周期的充分必要条件是 ∫ p ( x)dx = 0
JG
J K
∂ (rL) 1 ∂M ∂N + + ; ∂r ∂z r ∂θ
1 ∂ ∂f 1 ∂2 f ∂2 f (r ) + 2 + ; r ∂r ∂r r ∂θ 2 ∂z 2
1 ∂ (r 2 L) 1 ∂ ( M sin ϕ ) 1 ∂N + + ; 2 ∂r ∂ϕ r r sin ϕ r sin ϕ ∂θ
G G ∂ JG 1 ∂ JJ 1 ∂ JJ er + eϕ + eθ ; r ∂ϕ r sin ϕ ∂θ ∂r
注释：散度算子，拉普拉斯算子在柱坐标，球坐标下的表达式分别为： （1）柱坐标：散度算子： V = Ler + M eθ + N ez ; ∇ ⋅ V = 拉普拉斯算子： ΔV = (2) 球坐标： 散度算子： V = Ler + M eϕ + N eθ ; ∇ ⋅ V =
x 2 + y 2 = 1 交线，从 z 轴正方向看去，C 为顺时针方向。 （第五次习题课已经利用化为定积
分的方法计算过，请利用其他方法再计算）
(2)设 L 是球面 x + y + z = 100 和平面 2 x − 6 y − 3 z = 14 的交线,从 Oz 轴正向向下看
2 2 2
为逆时针方向.则 ∫L x 2 dx + y 2 dy + z 2 dz = (
曲线,试求 f ( x ) 及 A .
5.已知曲线积分
∫ xy
L
2
dx + yf ( x)dy 与路径无关，其中 f ( x ) 连续可导，且 f (0) = 0 。求
∫
(1,1)
( 0, 0)
xy 2 dx + yf ( x) dy 的值。
⎛ y2 y⎞ y y y⎞ ⎛ 6.计算积分： ∫ ⎜ 1 − 2 cos ⎟ dx + ⎜ sin + cos ⎟ dy , 沿任一条不与轴相交的曲线。 x x⎠ x x x⎠ ⎝ (1,π ) ⎝
C
(D) 若 L 是 D 中固定起点和终点的任意一条简单曲线， F ⋅ dl 之值
K K 与路径 L 无关，则 ∫ F ⋅ dl = 0 .
C
∫
K
K
L
2.计算下列各题 (1)
C
∫ (z − y )dx + (x − z )dy + (x − y )dz
, 其 中 C 是 平 面 x− y+z =2 , 与 柱 面
).
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3.若函数 f ( x, y ) 在 R 上偏导数连续， 且只有惟一零点 O (0,0) ; 又对任何包含 O (0,0) 的光 滑正向闭曲线 C , 曲线积分
2
C
∫
xdy − ydx = α , α 为常数. f ( x, y )
x2 + y 2
y′ =
x , y
2) y′ + sin
x+ y x− y = sin 2 2
3）y 1 + x dx − x 1 + y dy = 0 ,
2 2
(
)
(
)
4） xy ′ + y = 2 xy
5） y ′ =
y 2x − y2
6) x(ln x − ln y )dy − ydx = 0
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13)
dy y − x = dx x
2 2
14） y′( x − ln y′) = 1
15） (1 + ( x + y ) tan y ) y′ + 1 = 0
16) ( x + y + x) dx + xydy = 0 11.在 XOY 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M (1,0) ，其上任意点 P( x, y )( x ≠ 0) 处的切线低 斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a > 0 ） (Ⅰ) 求 L 的方程: (Ⅱ) 当 L 与直线 y = ax 所围成平面图形的面积为
8 时,确定 a 的值. 3
2 2
12. 设 函 数 f (u ) 在(0,+∞)内具有二阶导数 ， 且 Z = f ( x + y )
满 足 等 式
∂2z ∂2z + = 0。 ∂x 2 ∂y 2
(Ⅰ)验证 f ′′(u ) +
f ′(u ) . = 0 .(Ⅱ)若 f (1) = 0, f ′(1) = 1 求函数f (u )的表达式。 u
(1) 证明: 对任何不包含 O (0,0) 的光滑闭曲线 C , 曲线积分 (2) 若 f ( x, y ) = ϕ ( x ) + ψ ( y ) , 试求 ϕ ( x ) = ? ψ ( x ) = ?
C
∫
xdy − ydx =0 f ( x, y )
4.已知
∫
L
1 1 ( xdy − ydx) = A ,其中 f ∈ C , f (1) = 1, L 是绕原点一周的任意正向闭 2 f ( x) + y
JG
JJ G
JJ G
拉普拉斯算子： ΔV =
1 ∂ 2 ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2 f ϕ [ ( r ) + (sin ) + ]. r 2 ∂r ∂r sin ϕ ∂ϕ ∂ϕ sin 2 ϕ ∂θ 2
在流体力学，固体力学等学科中，球坐标，柱坐标下的表达式表示一些方程很简单，希望 大家能掌握推导这些公式的基本方法。 10.求解下列一阶方程： 1) e
( 2,π )
7.计算
L+
∫
xdy − ydx + , 其中 L 为: 2 2 x +y
+ S2
(1)任意不围绕也不通过 z 轴的闭曲线, 正方向如图, 记作
L ；
(2）任意围绕 z 轴一周的闭曲线, 正方向如图, 记作 L2 .3;
+ L1
L+ 2
L+ 3
8.设函数 u ( x, y ) 在有界闭域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足
13.解方程：1） ⎨
⎧2 xdy − ydx = 2 y 2 dy ⎩ y (0 ) = 1
2）求微分方程 y ′′( x + y ′ ) = y ′ 满足初始条件 y (1) = y ′(1) = 1 的解。
2
14.设 f ( x) 在 [0, +∞) 上连续，且 lim f ( x) = b ，证明：
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