高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题能力测试
高考数学《复数》专题复习检测试卷(含答案)
高考数学《复数》专题复习检测试卷注意事项：1．本套试卷满分150分，考试时间120分钟2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．若a 、R b ∈，i a 2-和bi +1互为共轭复数，复数()i b a z 1-+=的模为（）A．2B．2C．10D．102．已知复数i z 21+-=，则z 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若xi y i x -+=+12（x 、R y ∈），则=+yi x 2（）A．13B．13C．5D．254．若复数z 满足iiz ++=13，则=z （）A．210B．2C．3D．55．复数iiz +-=142，则z 的虚部为（）A．3B．-3C．i3-D．-16．已知复数i z -=21、i a z 22+=（其中i 为虚数单位，R a ∈），若21z z ⋅是纯虚数，则=a （）A．-4B．-1C．1D．47．已知复数z 在复平面内对应的点为()12-，，则=2z （）A．2B．3C．4D．58．复数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷5sin 5cos22ππi 的三角形式是（）A．⎪⎭⎫ ⎝⎛+5sin 5cos2ππi B．⎪⎭⎫ ⎝⎛+103sin 103cos2ππi C．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-5sin 5cos 2ππi D．⎪⎭⎫⎝⎛+54sin 54cos2ππi 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知复数()i m m z 112++-=（R m ∈），则下列命题正确的是（）A．若z 为纯虚数，则1=m B．若z 为实数，则0=z C．若z 在复平面内对应的点在直线x y 2=上，则23=m D．z 在复平面内对应的点可能在第三象限10．若复数1z 、2z 的共轭复数分别为1z 、2z ，则下列命题为真命题的有（）A．2121z z z z +=+B．2121z z z z ⋅=⋅C．若021>-z z ，则21z z >D．若021=z z ，则01=z 或02=z 11．在复平面内，已知正三角形ABC 的顶点A 、B 对应的复数为i +2、i 23+，则顶点C 对应的复数可能是（）A．i 231231++-B．i 231231-++C．i 233235++-D．i 233235-++三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数i a z -=的实部与虚部相等，则=-i z __________．13．已知i ib ia =-+2（a 、Rb ∈），其中i 是虚数单位，则=+b a __________．14．计算：()=︒+︒-536sin 36cos i __________．四、解答题（共5小题，共77分）15．已知复数z 满足122=-+i z ，求i z 23--的最小值．16．已知R m ∈，复数()()i m m m m z 23222+++--=．（1）若z 为纯虚数，求i zi 2331-+．（2）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求整数m 的值．17．计算下列各题．（1）()()()2211i i i +++-．（2）()()()i i i i 243512+-+--．（3）()()()()i i i i 3472641175-+++-．18．若复数z 满足22=z ，2z 的虚部为8，z 在复平面上对应的点A 在第一象限．（1）求复数z ．（2）若复数i m z 31-=，且1z z ⋅是实数，求实数m 的值．19．已知()1-=z z f ，且()i z z f 4421+=-，若i z 221-=．（1）求复数i z 221-=的三角形式，并且复数1z 的辐角主值1arg z ．（2）求2121z z z z +-．参考答案题号1234567891011答案BCC DBB DCABABDCD12．513．314．-115．最小值为416．（1）5（2）0和117．（1）i 45+（2）i 2353+（3）i3947-18．（1）i 22+（2）319．（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+47sin 47cos22ππi ，47π（2）41。
高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 1 复数的性质
§ 1 复数的性质一、复习要点1．复数的有关概念和性质：（1）两个复数相等的充要条件；（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；（3）互为共轭的两个复数的性质；（4）复数的辐角和模的性质．2．复数运算中的几个常用结论：（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．3．复习中应把握好的几个要点：（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．二、例题讲解例1 （1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．Ａ．π－θＢ．（π／2）＋θＣ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．Ａ．1＋ｉＢ．－1＋ｉＣ．1－ｉＤ．－1－ｉ讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．例2 设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．（1）∵｜ｚ｜＝＝2，∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，∴θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．∴ｕ的三角形式为ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．解得ａ＝8，ｂ＝－8．例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；（3）求证对于任意实数a ，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜． 讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可． 由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得ｚ１２＋ｚ２１＝0．∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，故 ｜ｚ１＋ｚ２｜＝．此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－， ∴ ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．∴ （（ｚ１／ｚ２）－1） （＝2，即（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，也即 （ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为 （ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0． 又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0． 则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较） （3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（ ）．Ａ．π／6Ｂ．11π／6Ｃ．π／3Ｄ．5π／32．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．Ａ．6Ｂ．8Ｃ．1Ｄ．123．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝34．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）． Ａ．0Ｂ．2ｉＣ．－2ｉＤ．ｉ5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．7．给出下列命题：①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．其中正确命题的序号为________．8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．（1）求复数z；（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。
高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题方法总结
专题方法总结本专题的复习分为复数的性质与复数的应用两大部分．其主要内容是复数的概念和运算，特点是融代数、三角、几何于一体，概念、性质多，综合性强，方法灵活，应用广泛．复数的概念和运算是本专题复习的重点，也是高考命题的热点．复习时应注意强化实数与复数的联系与区别，注重渗透虚实转化、数形结合、整体处理三种数学思想．1．关于复数的概念（1）掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件；两个复数互为共轭复数的充要条件；两个复数相等的充要条件．并能应用这些条件判定一个复数的代数特征及解简单的方程．（2）理解复数与实数的一个重要区别：两个复数如果不全是实数，就不能比较大小，因此不等式的性质在虚数范围内不适用．（3）会求复数的模、辐角和辐角主值，明确辐角和辐角主值的关系．（4）能熟练地掌握复数的代数形式与三角形式的互化，特别是能熟练地将一个复数的代数形式化为三角形式，其中包括辐角为特殊角、非特殊角的复数以及实、虚部含有文字的复数．会用三角变换的手段将一个复数的代数形式化为三角形式．2．关于复数的几何意义（1）掌握复数的几何表示形式（点、向量）．（2）理解复数运算的几何意义，会求复平面内复变量方程所表示的图形；熟悉平面曲线的复变量方程，并利用数形结合解题．（3）熟记几个重要结论并注意挖掘利用．①若ｚ１ｚ２≠0，则｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜ｚ１／ｚ２＝λｉ（λ∈Ｒ，且λ≠0）⊥（即对角线相等的平行四边形是矩形，反之也成立）；②两点的距离公式、线段的中点公式、三角形的重心公式；③过原点的射线、直线方程，线段的垂直平分线的方程，圆、椭圆的复数式方程．3．关于复数的运算（1）掌握复数三种表示形式的各种运算法则，并能熟练地进行计算；会用二项式定理及棣莫弗定理分别计算代数式的乘方和三角式的乘方．（2）熟练运用下列几个运算性质：①虚数单位ｉ的周期性；②（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1-ｉ）／（1+ｉ）＝－ｉ；③单位虚根的性质．4．关于复数的性质掌握复数模的有关性质及共轭复数的运算性质，灵活、恰当运用复数的性质解题是提高解题速度、增强解题能力、深化掌握和利用数学思想方法的有效途径．5．关于复数与方程（1）会解含有ｚ，，｜ｚ｜的方程．此类问题的一般解法是设ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）代入，然后利用复数相等的定义转化为实数方程组求解．其特殊解法是利用两边取模法转化为关于模的方程求得模的值后，利用｜ｚ｜＝｜｜代入原方程求解．（2）掌握方程ｘｎ＝ｂ（ｂ∈Ｃ）求根公式的推导及使用，理解根的特点及几何意义，会开平方和立方．（3）对于一元二次方程：①求根公式和韦达定理仍适用；②实系数一元二次方程虚根成对出现．6．关于复数方法和复数的应用（1）复数主要用于解决三角和解析几何问题．（2）对于几何图形中出现有特殊角和特殊边等问题，可考虑用复数方法求解．（3）当求轨迹问题中具有旋转特点时，可考虑应用复数方法求解．（4）注意培养学生应用复数方法解决问题的意识和自觉性，提高应用复数方法解题的能力．。
高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 3．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i5．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限6．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+8．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1-B ．0C ．1D9．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④C ．②③D ．①③10．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） ABC ．3D ．511．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z的实部为，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．412．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -14．已知i 为虚数单位，则43ii =-（ ） A ．2655i + B ．2655i - C ．2655i -+ D ．2655i -- 15．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（ ）A BC D二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-19．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -20．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =21．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =22．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件23．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>24．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限25．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --26．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -27．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=28．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限29．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为，所以其共轭复数为. 故选：D.解析：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.3．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B4．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-， 故选：D5．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.6．B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.7．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A8．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.9．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】 设，则， 故，， ，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.10．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由复数（）为纯虚数，则 ，则 所以解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B11．B 【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为的实部为，所以可设复数， 则其共轭复数为，又， 所以由，可得，即，因此. 故选：B.解析：B 【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为z，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.12．A 【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，， 根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上， 故解析：A 【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果． 【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+，根据22z z =得222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上， 故选：A ．13．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴， 故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-， 故选：D14．C 【分析】对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解. 【详解】 ， 故选：C解析：C【分析】 对43i i-的分子分母同乘以3i +，再化简整理即可求解. 【详解】 ()()()434412263331055i i i i i i i i +-+===-+--+， 故选：C15．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.19．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．24．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 25．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.26．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．27．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 28．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.。
高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库
11．在复平面内，已知平行四边形 顶点 ， ， 分别表示 ， ，则点 对应的复数的共轭复数为（）
A． B． C． D．
12．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
13．已知复数 满足 ，则 的虚部是（）
A．-1B．1C． D．
14．若复数 ，i是虚数单位，则 （）
A．0B． C．1D．215．题目文件丢失！
【详解】
因为
，
所以 ，
所以复数 在复平面上的对应点 位于第三象限，
故选：C.
7．A
【分析】
根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.
A．纯虚数 的共轭复数是 B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数D．若 ，则 与 互为共轭复数
29．对任意 ， ， ，下列结论成立的是（）
A．当m， 时，有
B．当 ， 时，若 ，则 且
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D． 的充要条件是
30．已知复数 ，下列结论正确的是（ ）
A．“ ”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件
一、复数选择题
1． 是虚数单位，复数 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 为纯虚数，则实数 （）
A．-1B．0C．1D．0或1
3．在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若复数 ，则 （）
A． B． C． D．
5．已知复数 满足 ，则复数 对应的点在（）上
二、多选题
16．已知复数 (i为虚数单位)，则下列说法错误的是（）
A．z的实部为2B．z的虚部为1C． D．
17．已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（）
高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练2复数的应用
高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练2复数的应用第一篇：高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练 2 复数的应用§2 复数的应用一、复习要点复数的三角形式、复数及其运算的几何意义是数形结合的桥梁，是应用复数知识解题的主要结合点．在系统复习的基础上，本轮复习应把握以下几点：1．《考试说明》对复数的应用没有提出特别要求，复习时只介绍一些简单应用，切忌随意拔高．2．使学生在思想上明确：（1）应用复数可以证明三角恒等式，求反三角函数的和；（2）应用复数可以证明不等式；（3）应用复数可以解决解析几何问题；（4）应用复数可以证明平面几何问题．3．熟练掌握并应用复平面内的：（1）两点间的距离公式；（2）过原点的射线、直线方程；（3）线段垂直平分线的方程；（4）圆的方程；（5）椭圆的方程．4．本节复习的重点应放在复数运算的几何意义及复数与三角、复数与几何的简单综合问题上．二、例题讲解例1（1）已知复数ｚ１＝3－ｉ，｜ｚ２｜＝2，则｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值是（）．Ａ．Ｂ．5Ｃ．2＋Ｄ．2＋2－2（2）已知复数ｚ满足｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜且ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝π／4，则ｚ等于________．讲解：（1）本题的条件容易使我们联想到复数及运算的几何意义，首选数形结合的方法来解答．在复平面中，方程｜ｚ２｜＝2的图形是以原点为圆心、半径为2的圆，而｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ２－（－ｚ１）｜表示ｚ２与－ｚ１所对应的两点P２与Ｐ１间的距离，即线段Ｐ１Ｐ２的长，如图6-1所示．显然当Ｐ１Ｐ２经过原点时，线段Ｐ１Ｐ２最长，其值为2＋．∴ 选Ｃ．图6-1本题亦可选用代数方法解答，把ｚ２用三角式表示后，则关于复数模的条件最值问题便转化为三角函数的无条件最值问题．运用三角恒等变形方法和弦函数的值域性质即得结论．简解如下：设ｚ２＝2（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（0≤θ＜2π），则｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜2ｃｏｓθ＋3＋ｉ（2ｓｉｎθ＋1）｜２２＝（2ｃｏｓθ＋3）＋（2ｓｉｎθ＋1）＝14＋4≤14＋4ｓｉｎ（θ＋φ）＝（1＋）．２２２当ｓｉｎ（θ＋φ）＝1时，等号成立．∴ ｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值为2＋，选Ｃ．图6-2（2）显然用数形结合方法解答最为适宜．方程｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜的图形是复平面中以实数1和3所对应的点为端点的线段的垂直平分线；而方程ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝（π／4）的图形，是复平面中以复数ｉ所对应的点为端点，倾斜角为（π／4）的射线，如图6-2所示．故射线与垂直平分线的交点所对应的复数即为所求，即ｚ＝2＋3ｉ．例2已知复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，ｚ２＝ｋ（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），ｚ３＝（2－ｋ）（ｃｏｓγ＋ｉｓｉｎγ），且满足ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0．问ｋ为何值时，ｃｏｓ（β－γ）分别取最大值、最小值（0＜ｋ＜2）．讲解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题．则有解法1．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得ｃｏｓα＋ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝0，ｓｉｎα＋ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝－ｃｏｓα，ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα．①＋②，得ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3／2ｋ（ｋ－2））＝1＋[3／2ｋ（ｋ－2）]．若注意到复数的性质，可以考虑利用整体思想求解，则有解法2．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，两边平方，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，∴（ｚ２＋ｚ３）（２２２２２２２① ② ＋３）＝1，３即｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜＋ｚ２注意到ｚ２２３２＋２ｚ３＝1．＋２２ｚ３＝2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜ｃｏｓ（β－γ），则ｋ＋（2－ｋ）＋2ｋ（2－k）ｃｏｓ（β－γ）＝1．∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有解法3．∵ ｜ｚ２－ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ２＋ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ１｜，而且注意到复平面内的余弦定理：ｃｏｓ（β－γ）＝（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜－｜ｚ２－ｚ３｜／2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜），∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想启迪下得到的．这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够重视．下面完成此题的解答．令ｙ＝ｆ（ｋ）＝1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝1－（3／2ｋ（2－ｋ））（0＜ｋ＜2）≤1－（3／2·（（ｋ＋2－ｋ／2）））＝－（1／2）．∵ ｜ｃｏｓ（β－γ）｜≤1，∴ －1≤ｙ≤－（1／2）．由ｙｍａｘ＝－（1／2），得1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－（1／2）ｋ＝1；由ｙｍｉｎ＝－1，得1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－1ｋ＝（1／2）或（3／2）．所以当ｋ＝1时，ｃｏｓ（β－γ）取最大值－（1／2）；当ｋ＝（1／2）或（3／2）时，ｃｏｓ（β－γ）取最小值－1．此题实际上只是以复数作为载体，求给条件的余弦函数的最值，进而又转化为求条件分式函数的最值．运用了均值不等式，也可利用判别式法求上述分式函数的最值．（留给读者自己完成）例3 设复平面内两点A、B对应的复数分别为α、β，且｜α－2｜＝1，β＋（1＋ｉ）α＝0，O为原点．试求△ＡＯＢ面积的最大值和最小值，并且求相应的复数α、β．讲解：由三角形面积公式Ｓ＝（1／2）｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜·ｓｉｎ∠ＡＯＢ知，只要求得｜ＯＡ｜、｜ＯＢ｜及∠ＡＯＢ的值就行了．由复数的几何意义知，｜ＯＡ｜＝｜α｜，｜ＯＢ｜＝｜β｜；由复数乘法的几何意义可求得∠ＡＯＢ的值．于是有如下解法：由β＋（1＋ｉ）α＝0，得β＝－（1＋ｉ）α．∴ ｜β｜＝β＝｜α｜，２２２２２２２２２２２２２２２（ｃｏｓ（5π／4）＋ｉｓｉｎ（5π／4））α．由乘法的几何意义及三角形内角的范围知∠ＡＯＢ＝（3π／4），∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）｜α｜·｜β｜ｓｉｎ（3π／4）＝（1／2）｜α｜．又∵ ｜α－2｜＝1，∴ 可设α＝2＋ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ，则｜α｜＝∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）（5＋4ｃｏｓφ）．当ｃｏｓφ＝－1，即α＝1，β＝－1－ｉ时，Ｓｍｉｎ＝（1／2）；当ｃｏｓφ＝1，即α＝3，β＝－3－3ｉ时，Ｓｍａｘ＝（9／2）．若明确｜α－2｜＝1是以（2，0）为圆心，1为半径的圆的复数方程时，可画出图形，由图形的直观性可立即得出结果．①在由｜ｚ－ａ｜＝ｒ（ａ∈Ｒ）求｜ｚ｜的最值时，可作出ｚ＝ａ＋ｒ（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα）的巧妙变换，即可将求复数模的最值转化为求三角函数式的最值，然后利用三角函数的有界性求解；，２②若能注意到复平面内一些特殊曲线的方程，画出图形后就可简化求解过程．三、专题训练1．在复平面中设复数－3＋3ｉ对应的点是P，以原点为极点，实轴正半轴为极轴，建立极坐标系．那么点P的极坐标是（）．Ａ．（Ｂ．（－3，（3π／4）），（5π／4））Ｃ．（3，（5π／4））Ｄ．（－3，（3π／4））2．设ｚ１＝－1，ｚ２＝（1／2）＋（／2）ｉ，则ｚ１、ｚ２、、所对应的点：①在单位圆１２上；②它们是正方形的顶点；③它们关于y轴对称；④它们可构成正三角形．以上说法中，正确的只有（）．Ａ．①Ｂ．③Ｃ．①③Ｄ．①④3．设复数ｚ＝ｓｉｎ（π／6）＋ｉｃｏｓ（π／6），若ｚｎ＝Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．64．已知等边三角形ABC的面积等于虚轴正半轴上，则向量，若把三角形放到复平面中，使A点重合于原点，AB边落在，则自然数ｎ的最小值是（）．所对应的复数是（）．Ａ．1＋Ｂ．1－Ｃ．Ｄ．±ｉｉ＋ｉ＋ｉ２5．设复数ｚ＝ｃｏｓθ＋（2－ｓｉｎθ）ｉ，当θ∈（－（π／2），（π／2））时，复数ｚ在复平面内对应点的轨迹的方程是________．6．设复数z在复平面内对应的点为Z，将点Z绕坐标原点按逆时针方向旋转（π／4），再沿实轴正方向平移1个单位，向上平移1个单位，得到点ｚ１．若点ｚ１与点Z重合，则复数z的值等于________．7．已知辐角分别为θ１、θ２的复数ｚ１、ｚ２满足ｚ１＋ｚ２＝5ｉ，｜ｚ１·ｚ２｜＝14，则ｃｏｓ（θ１－θ２）的最大值是________．8．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为ｚ１、ｚ２，ｚ１、ｚ２的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为（1／3）+（1／15）i，求tg（α+β）．9．如图6-3，B是半圆O上的动点，OB=1,OA=2,△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，建立适当的坐标系，利用复数求点B对应何复数时，O、C两点距离最大，并求此最大值．图6-310．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数ｚＯ、ｚＡ、ｚＢ、ｚＣ依次是0、2＋（ａ／2）ｉ、－2ａ＋3ｉ、－ｂ＋ａｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），求平行四边形OABC的面积．第二篇：复数复习1．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值是．2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，实数a与b的值分别是．z2－2z3．已知复数z＝1－i． z－14．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G 是三角形ABCAG的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的GD四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面AO的距离都相等”，则＝． OM5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b＞0”类比推出“若a，b∈C，则a－b ＞0⇒a＞b”．其中类比得到的结论正确的序号为．6．已知复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是实数，则实数k＝________．7．＝68．复数z1＝数a的值．119．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋a＋bb＋c＝3，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均为实数)，则猜测a＝________，b＝________． b成等差数列，请给出证明．解答：1．a＝3⎧⎪a＝42．⎨⎪b＝5⎩z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－14．①②6，此时易知313点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有r341366666＝⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124＝3.4125．【解析】如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM6．k＝27． 6 358．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a32⎫⎛＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ⎝⎭＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a ＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【证明】A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋cca∴＝1，a＋bb＋c∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC 中，由余弦定理，得a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差数列．第三篇：2014届高考英语复习讲练测完形填空102014届高考英语复习讲练测：完形填空10In the clinic, I asked if Michael could be retested, so the specialist tested him again.To my __36__, it was the same ter that evening, I _37_ told Frank what I had learned that day.After talking it over, we agree that we knew our _38_ much better than an IQ(智商)test.We _39_ that Michael’s score must have been a __40___ and we should treat him ___41___ as usual.We moved to Indiana in 1962, and Michael studied at Concordia High School in the same year.He got _42 _ grades in the school, especially _43_ biology and chemistry, which was a great comfort.Michael _44_ Indiana University in 1965 as a pre-medical student, soon afterwards, his teachers permitted him to take more courses than _45_.In 1968, he was accepted by the School of Medicine, Yale University.On graduation day in 1972, Frank and I _46_ the ceremony(典礼)at Yale.After the ceremony, we told Michael about the _47_ IQ score he got when he was six.Since that day, Michael sometimes would look at us and say _48_, “My dear mom and dad never told me that I couldn’t be a doctor, not until after I graduated from medical school!” It is h is special way of thanking us for the _49_ we had in him.Interestingly, Michael then _50_ another IQ test.We went to the same clinic where he had _51_ the test eighteen years before.This time Michael scored 126, an increase of 36 points.A result like that was supposed to be _52_.Children often do as _53_ as what adults, particularly parents and teachers, _54_ of them.That is, tell a child he is “ _55_”, and he may play the role of a foolish child.36.A.joyB.surpriseB.fearfullyB.sonC.dislikeD.disappointmentD.hopefully 37.A.tearfully38.A.student39.A.argued40.A.jokeC.cheerfullyC.friendC.decidedD.doctorB.realizedD.understood B.mistakeC.warningD wonder.41.A.specially 42.A.poor43.A.inB.strictlyC.naturallyD.carefullyB.goodC.averageD.standardD.forD.enteredB.about B.choseC.of44.A.visited45.A.allowed46.A.missed47.A.highC.passedC.requiredB.described B.heldD.offeredC.delayedD.attendedB.sameC.lowD.differentD.jokingly D.delightD.prepared for48.A.curiously 49.A.faithB.eagerlyB.interestC.calmlyC.pride50.A.looked for B.asked for 51.A.receivedB.accepted52.A.imperfectC.waited foranizedD.discussedD.unsatisfactoryB.impossibleC.uncertain53.A.honestly B.much54.A.hear55.A.wiseC.wellD.bravelyD.speakB.learnC.expectB.rudeC.shyD.stupid答案36.D37.A38.B39.C40.B41.C42.B43.A44.D45.C46.D47.C48.D49.A50 .B51.A52.B53.C54.C55.DIt's fourteen years since I left the Philippines to live with my family in the USA.A month ago, while on summer vacation back in my motherland, I learned a lesson from mosquito(蚊子)bites.Right before36Kennedy Airport in New York, my grandma37me of the behavior of the native mosquitoes around the38like me.She said, “There's an old saying—the39you stay away from the motherland, the sweeter your blood40to the mosquitoes.” Not41it, I replied, “Grandmaaaa, that's just an old wives' tale!”Well, less than a week42my arrival in Manila, I was already carpeted with a43of mosquito bites.I took many measures to keep myself from being44, but they all proved te one45in my cousin's home, I couldn't bear the46of the bites.Hoping to find some comfort, I47my cousin, who wassleeping peacefully in the bed next to mine.Unhappy for being48she said, “There is nothing you can do.Go back to sleep.”With a few turn s, she slept again.Enviously(妒嫉地)49her sleep, I hoped a big mosquito would50on her face.However, the mosquitoes would just lightly dance around her forehead and fly away quickly, never biting her.Amazed(惊奇的), I ran to others'51, only to find they were all sleeping52as the same thing occurred again and again.From those bites, I came to53my grandma's silly tale.From then on, I've always tried to keep a(n)54mind about those strange old wives' tales55they do have some truth to them.36.A.leavingB.passingfinding37.A.persuadedB.remindedC.warnedrmedD.C.visitingD.38.A.studentsB.foreignersC.passengersvisitors39.A.earlier40.A.growsremainsB.longerC.soonerter B.goesC.flowsD.41.A.expectingB.understandingC.recognizingD.beli eving 42.A.afterB.beforeC.whenD.asD.43.A.shadeB.pileC.cloudblanket44.A.touchedB.bittenC.defeatedD.discovered45.A.morningB.afternoon46.A.noiseB.hiteffect47.A.woke upB.shouted atC.looked fordropped on48.A.blamedB.interruptedC.movedfrightened49.A.havingC.eveningD.night C.painD.D.D.B.watchingC.makingD.helpingndB.flyC.fallD.wait51.A.housesB.flatsC.roomsD.homes52.A.joyfullyB.anxiouslyworriedly53.A.tellB.knowC.rememberD.acceptC.soundlesslyD.54.A.openB.activeC.clear55.A.andB.soC.because答案36.A37.C38.D39.B40.A41.D42.A43.D44.B45.D46.C47.A48.B49.B50 .A51.C52.C53.D54.A55.CD.honest D.until第四篇：2014届高考英语复习讲练测教案52014届高考英语复习讲练测：教案5 1．persuade vt.说服，劝服，使相信persuade sb.to do sth.＝persuade sb.into doing sth.说服某人做某事 persuade sb.not to do sth.＝persuade sb.out of doing sth.说服某人不做某事persuade sb.of sth.说服某人信服某事persuade sb.＋thatclause 使某人相信……He persuaded me to study hard.＝He persuaded me into studying hard.他说服我努力学习。
高考数学复数部分专题训练
高考数学复数部分专题训练在高考数学中，复数是一个重要的知识点。
复数的概念、运算以及在几何中的应用等内容，虽然相对独立，但在解题中却有着独特的作用。
接下来，我们将对高考数学复数部分进行一次深入的专题训练。
一、复数的基本概念复数是形如＼（a ＋ bi\）的数，其中＼（a\）和＼（b\）都是实数，＼（i\）是虚数单位，满足＼（i^2 ＝－1\）。
实数＼（a\）被称为实部，记作＼（Re(z)＼）；实数＼（b\）被称为虚部，记作＼（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）是一个复数，其中实部是＼（3\），虚部是＼（2\）。
复数的模＼（｜z|＼）定义为＼（＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），例如＼（｜3 ＋ 2i| ＝＼sqrt{3^2 ＋ 2^2} ＝＼sqrt{13}＼）。
复数的共轭复数记作＼（＼overline{z} ＼），对于复数＼（z ＝ a ＋ bi\），其共轭复数为＼（＼overline{z} ＝ a bi\）。
二、复数的运算1、加法和减法两个复数＼（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i\）＼（z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i\）例如：＼（（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i\），＼（（3 ＋ 2i) （1 4i) ＝ 2 ＋ 6i\）2、乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）例如：＼（（2 ＋ 3i)（1 2i) ＝ 2 4i ＋ 3i 6i^2 ＝ 8 i\）3、除法＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋di)（c di)｝＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼）例如：＼（＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{（1 ＋ 2i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＝＼frac{－1 ＋ 3i}｛2} ＝＼frac{1}｛2} ＋＼frac{3}｛2}i\）三、复数在几何中的应用复数可以与平面直角坐标系中的点一一对应，实部＼（a\）对应＼（x\）轴坐标，虚部＼（b\）对应＼（y\）轴坐标。
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一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 2．212i i+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i 3．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 4．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1B C D ．5 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i -7．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．48．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i -12．3（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -13．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BCD ．3 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 15．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 18．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 19．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为220．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 23．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =28．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z30．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．2．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D3．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ． 4．A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A5．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.6．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.7．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 8．C【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．9．B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩3z i =-+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.10．B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B11．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B12．B【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i =-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】133i i i +====. 故选：B 13．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--， 所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.14．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.19．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 20．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m=时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z=，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】 利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z=224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A: 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B: 1z =-选项C: 1z =-的共轭复数为1z =--选项D: 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
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专题复习测试
一、选择题
1．在复平面内把ｚ＝1＋ｉ所对应的点向左平移2个单位，则所得点对应的复数的辐角主值是（）．
Ａ．π／6
Ｂ．π／3
Ｃ．2π／3
Ｄ．5π／6
2．已知复数z=[（4-3i）２（-1+i）１０]／（1-i）１２，则|z|等于（ ）．
A．80
B．400
C．25／2
D．25／4
3．在复平面内，把复数3－ｉ对应的向量按顺时针方向旋转（π／3），所得向量对应的复数是（）．
Ａ．－3ｉ
Ｂ．－2ｉ
Ｃ．2ｉ
Ｄ．3＋ｉ
4．设z为复数，它的辐角主值为（3π／4），且有（（）２－2）／z为实数，则z等于（）． A．1-i
B．-1+i
C．-1-i
D．1+i
5．若ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｙ≠0），且｜ｚ｜＝1，则 （ｚ－（1／ｚ））２是（）．
Ａ．小于零的实数
Ｂ．零
Ｃ．大于零的实数
Ｄ．纯虚数
6．已知复数ｚ满足ａｒｇ（ｚ＋2ｉ）＝π／4，则（）．
Ａ．｜ｚ｜的最小值为0
Ｂ．｜ｚ｜的最小值为
Ｃ．｜ｚ｜的最小值为2
Ｄ．｜ｚ｜的最小值为2
7．设复数z=cosx+isinx，那么函数y=f（x）=|z３+（1／z）|的图象的一部分是（）．
图6-4
8．设α、β是实系数方程ｘ２＋ｘ＋ｐ＝0的两个虚根，且｜α－β｜＝3，则ｐ的值为（）． Ａ．2
Ｂ．－2
Ｃ．5／2
Ｄ．－（5／2）
9．若｜ｚ｜＝1，则使｜＋1－ｉ｜取到最大值的复数ｚ的辐角主值是 （）．
Ａ．π／4
Ｂ．3π／4
Ｃ．5π／4
Ｄ．7π／4
10．设复数z１=2sinθ+icosθ（（π／4）＜θ＜（π／2））在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转（3／4）π后得到向量，对应的复数为z２＝r（cosφ+isinφ）,则tgφ等于
（）．
A．（2tgθ+1）／（2tgθ-1）
B．（2tgθ-1）／（2tgθ+1）
C．1／（2tgθ+1）
D.1／（2tgθ-1）
11．设ａ＝－2＋ｉ（ｉ为虚数单位），ｚ＝1＋，
ａｒｇｚ＝θ，则ｓｉｎθ等于（）．
Ａ．－1
Ｂ．0
Ｃ．1
Ｄ．ｃ（－1＜ｃ＜1）
12．已知复数ｚ＝ａ＋ｂｉ，z１＝ｚ（ｃｏｓ（π／6）＋ｉｓｉｎ（π／6））＝ａ１＋ｂ１ｉ，且ａ－ａ１＝ｂ－ｂ１＞0，则ｚ在复平面内对应的向量位于（）．
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
二、填空题
13．在复平面上把方程ｘ１０＝1的根对应的点的集合记为M，以M中的点为顶点的三角形中，共有
________个直角三角形．
14．设复数ｚ＝（ｓｉｎθ＋ｉｃｏｓθ）／（ｓｉｎθ－ｉｃｏｓθ），则｜ｚ｜的取值范围是___________．
15．复数ｚ满足（1＋2ｉ）＝4＋3ｉ，那么复数ｚ－3的三角形式是___________．
16．下列四个命题：
①复数与复平面内的向量一一对应；
②向量对应的复数为z１,对应复数为z２，如果⊥，则z１＝±i·z２;
③两复数相等的充要条件是模相等且辐角主值相等；
④方程|z１-z|+|z-z２|=2a表示以|z１-z２|为焦距，2a为长轴的椭圆. 其中错误命题的序号为
_________．
三、解答题
17．已知复数z１＝ｉ（1－ｉ）３．
（1）求ａｒｇz１及｜z１｜；
（2）当复数ｚ满足｜ｚ｜＝1时，求｜ｚ－z１｜的最大值．
18．设w=ai+z（a∈R），z =（（1-4i）（1+i）+2+4i／3+4i）.
（1）求z的三角形式；
（2）当0≤a≤3时，求|w|的取值范围；
（3）当|w|≤时，求argw的取值范围．
19．某人得到一张寻宝图，内容如下：在北纬××，西经××，有一座荒岛，岛的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡树、一棵松树和一个木架.从木架走到橡树，并记住走了多少步，到了橡树向左拐一个直角，再走相同的步数在那里打个桩，然后回到木架，再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向右拐一个直角，再走相同的步数，在那里也打个桩，在两个桩连线的正中挖掘就可获得宝藏．此人欣喜万分，来到岛上找到了那片草地，也找到了橡树和松树，但木架不见了．请你用一种方法帮助此人寻找宝藏．20．已知非零复数z１、z２满足|z１|=a,|z２|=b,|z１+z２|=c（a,b,c均大于零）．问：能否根据上述条件求出（z２／z１）?请说明理由．。