第21课时 全等三角形
《三角形全等的判定 “角边角”、“角角边”》课件(3套)
\ DAOC DBOD (ASA)
2. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：BE=CF．
AD
BE
CF
(2) (1)
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
全等三角形对应边上 的高也相等.
画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律？A’
B’
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
第十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”
和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
九年级下册+数学+第21课时2
2.5.3《切线长定理》导学案 【学习目标】 1.掌握切线长定理及其运用. 2.通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析,归纳及解决问题的能力. 【学习过程】 一、知识回顾 1、切线的定义：直线和圆只有一个公共点，称直线和圆相切. 2、切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 二、自主探究 问题1 过平面一点P可以引⊙O的切线吗？有多少种不同的情况？ （1）点P在圆内： （2）点P在圆上： （3）点P在圆外： 问题2 你能用三角板过⊙O外一点P作⊙O的切线吗？ 问题3 思考：PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，你能发现什么结论？能证明吗？
归纳总结： （1）切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的 叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 思考：除以上两个结论外，你还能得出什么结论？（提示：连接AB）
[ 即学即练 ] 1．如图，AB、AC切⊙O于B、C两点，连接AO，若OB＝6，OA＝10，则切线长AC＝（ ） A.10 B.6 C.8 D.12 2.如图,AB为00的直径,点(在AB的延长线上,CD,CE分别与OO相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE . 3.如图.已知PA、PB、EF分别与⊙O相切于A、B、C三点，PA=12cm,求△PEF的周长. [延展提升] 如图.已知PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，AB与OP交于点C， OP与⊙O交于点D （1）写出图中所有的全等三角形：
（2）写出图中所有的相等的线段： （3）写出图中所有的相等的角： （4）写出图中所有的相等的弧： （5）写出图中所有的垂直的关系： 四、课后作业 1.如图,AB,AC是O0的两条切线,B,C是切点，若∠A=70°,则∠BOC的度数为（ ） A.130° B.120° C. 110° D.100° 2. 如图，AB、AC切⊙O于B、C两点，连接AO，则下列说法正确的是（ ） A.∠BAC＝60° B.OB＝0C，AC＝AB C.∠BAO＝∠CAO, ∠BOA＝∠COA D.图形关于直线OA对称 3．如图，AB、AC、BC分别切⊙O于D、E、F三点. （1）写出图中相等的线段
第21讲 特殊三角形
襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2015年4月 课题 第21讲 特殊三角形班级 姓名 组别1．等腰三角形(1)性质：__两腰__相等，__两底角__相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；是轴对称图形，有__1__条对称轴；面积S ＝12ah(h 是边a 上的高)；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形(1)性质：__三边__相等，三内角都等于__60°__；是轴对称图形，有__3__条对称轴；面积S ＝12ah(h是边a 上的高)．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．直角三角形在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝__c 2__； (2)角与角的关系：∠A ＋∠B ＝__90°__；(3)边与角的关系：若∠A ＝30°，则a ＝12c ，b ＝32c ；若a ＝12c ，则∠A ＝30°；若∠A ＝45°，则a ＝b ＝22c ；若a ＝22c ，则∠A ＝45°；S Rt △ABC ＝12ch ＝12ab ，其中a ，b 为两个直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高，Rt △ABC 内切圆半径r＝a ＋b －c 2，外接圆半径R ＝c 2＝斜边上的中线．(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．一个方法面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．三个防范(1)在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．(2)有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．(3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解．中考真题再现(2013·陕西)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为__123__．等腰三角形有关边角的讨论【例1】(1)(2014·盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( D )A．40°B．50°C．60°D．70°(2)(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x ＋k＝0的两个根，则k的值是( B )A．27 B．36 C．27或36 D．18【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．1．(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝( B )A．30°B．45°C．60°D．90°等腰三角形的性质【例2】 (2014·杭州)在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P.求证：PB ＝PC ，并直接写出图中其他相等的线段．解：在△ABF 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，AF ＝AE ，∴△ABF ≌△ACE(SAS )，∴∠ABF ＝∠ACE(全等三角形的对应角相等)，∴BF ＝CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴BE ＝CF ，在△BEP 和△CFP 中，⎩⎨⎧∠BPE ＝∠CPF ，∠PBE ＝∠PCF ，BE ＝CF ，∴△BEP ≌△CFP(AAS )，∴PB ＝PC ，∵BF ＝CE ，∴PE ＝PF ，∴图中相等的线段为PE ＝PF ，BE ＝CF ，BF ＝CE【点评】 在证明线段相等时，利用全等三角形的对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一．2．(2012·肇庆)如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC ＝BD.求证：(1)BC ＝AD ；(2)△OAB 是等腰三角形．解：(1)∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠D ＝∠C ＝90°，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴△ACB ≌△BDA(HL )，∴BC ＝AD (2)由△ACB ≌△BDA 得∠CAB ＝∠DBA ，∴△OAB 是等腰三角形等边三角形【例3】 (2013·聊城)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为__33__.【点评】 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．3．(2014·益阳)如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是__60°__.直角三角形、勾股定理【例4】 (1)(2014·无锡)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__．,第(1)题图) ,第(2)题图)(2)(2013·山西)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为__103__．【点评】 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．4．(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__10__米．试题 在△ABC 中，高AD 和高BE 相交于H ，且BH ＝AC ，求∠ABC 的度数． 错解解：如图①，在Rt △BHD 和Rt △ACD 中，∠C ＋∠CAD ＝90°，∠C ＋∠HBD ＝90°，∴∠HBD ＝∠CAD.又∵BH ＝AC ，∴△BHD ≌△ACD ，∴BD ＝AD.∵∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝45°.正解 解：这里的∠ABC 有两种情况，∠ABC 是锐角(图①)或∠ABC 是钝角(图②)．如图②，在Rt △BHD 和Rt △ACD 中，易得∠DCA ＝∠DHB.又∵AC ＝BH ，∴△DHB ≌△DCA ，∴AD ＝DB ，∴∠DBA ＝45°，∴∠ABC ＝135°.综上：∠ABC ＝45°或∠ABC ＝135°.试题 已知△ABC 是等腰三角形，由A 所引BC 边上的高恰好等于BC 边长的一半，试求∠BAC 的度数．错解解：如图③，∵AD ⊥BC ，AD ＝12BC ＝BD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠CAD ＝45°，∴∠BAC＝90°.剖析(1)对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则容易出现错解或漏解的错误．(2)当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面．正解解：题目中并没有指明BC 是等腰△ABC 的底或腰．当BC 为底时，可求得∠BAC ＝90°；当BC 为腰时，还应对∠B 的大小进行讨论：(1)当顶角B 是锐角时，如图④，∵AD ＝12BC ＝12AB ，AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°，从而∠BAC ＝∠C＝75°.(2)当顶角B 为直角时，高AD 和腰AB 重合，与已知矛盾，故∠B ≠90°.(3)当顶角B 为钝角时，如图⑤，∵AD ＝12BC ＝12AB ，AD ⊥BC ，∴∠DBA ＝30°，从而∠BAC ＝∠C ＝12∠DBA ＝12×30°＝15°.综上，∠BAC 的度数为90°或75°或15°.教学反思;。
《全等三角形》优秀的教学反思(通用21篇)
《全等三角形》优秀的教学反思（通用21篇）在工作和生活中，少不了要写各种各样的文档，不论是写制度、写总结、写方案、写方案、写教案还是写其它的材料，能写出一篇好的文档,体现了一个人的文笔，也体现着一个人的力量，下面是我整理的《《全等三角形》优秀的教学反思（通用21篇）》，快快拿去用吧!《全等三角形》优秀的教学反思篇1全等三角形第一课时，这节课比较简洁，我接受了先学后教的教学策略。
教学过程大致是：首先，同学自学。
其次，老师多媒体呈现教材上的图案以及制作的一些图案，引导同学识图，检测同学自我建构全等三角形概念的状况。
再次，老师演示一个三角形经平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。
通过教具演示让同学体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找伴侣的形式练习对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的娴熟程度。
此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置，然后再给出用全等符号表示全等三角形练习，加强对学问的巩固，再给出练习推断哪一种表示全等三角形的方法正确，通过对图形及文字语言的综合阅读，由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。
接下来，通过同学对全等三角形观看，得出全等三角形的性质。
并通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理。
最终老师小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简洁的实际问题。
这节课有几点不足：1.同学动手活动少，应当在课前就要求同学自制一对全等三角形。
这样课堂上好操作，同学体验也深刻了，活而不乱，时间上也是可控的。
2.题目变形应当突出全等三角形的性质这一重点，所练习题的综合度和变化还是不够多。
3.多媒体演示如能协作同学手工制作的三角板同时进行，成效会更好。
但是要支配好观看次序和图形的变化次序。
《全等三角形》优秀的教学反思篇2一、教学方法让同学通过观赏来自生活中的精致图案，观看体会全等图形的定义，自学全等图形的特征，通过练习总结和强化对应边、对应角的查找方法，从而体会什么样的两个图形是全等三角形。
人教版2020-2021学年八年级数学上册12.2 三角形全等的判定 “边边边”定理 课件
所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
依据是什 么？
课堂检测
基础题
1. 如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE， 要
使△ABF≌△ECD ，还需要条件 BF=CD___ (填一个
条件即可）.
A
E
B
D
F
C
2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论：
AB=AC， BD=CD， AD=AD， AB=AC， BH=CH， AH=AH，
BH=CH， BD=CD， DH=DH，
△ABD≌△ACD(SSS)
A
△ABH≌△ACH(SSS)
D
B
HC
△BDH≌△CDH(SSS)
亲亲爱爱的的读读者者：： 1、学 盛 生而 年 活不思 重 相则 来 信罔 ， 眼， 一 泪思 日 ，而 难 眼不 再 泪学 晨 并则 。 不殆及代。时表宜软20自弱.7.勉。12，270.岁.172.月1.22不072.待1020人.92:。025。00929:0:0.575:.001392J:7u0.l51-2:00.320J09u2:l0-250090:095:059:05:03Jul-2009:05 春亲去爱春的又读回者，： 2、一 千 世年 里 上之 没计 行 有在 ， 绝于 始 望春 于 的， 足 处一 下 境日 。 ，之 只20计 有20在对年于处7月晨境1。绝2日二望星〇的期二人日〇。年二七〇月二十〇二年日七月20十20二年日7月201220日年星7月期1日2日星期日 春去春又回，新新桃桃换换旧旧符符。。在在那那桃桃花花盛盛开开的的地地方方，， 3、莫 少 成等 年 功闲 易 都， 学 永白 老 远了 难 不少 成 会年 ， 言头 一 弃， 寸空 光 放悲 阴 弃切不者。可永轻远09。不:05。会7成.12功.2。02009:057.12.202009:0509:05:037.12.202009:057.12.2020 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方， 40、9:0桃57花.1潭2.水20深20千09尺:0，57不.1及2.汪20伦20送09我:0情50。9:70.51:20.3270.21027.2.102.020092:00597:.01520.290:025009:05:0309:05:03 在在这这醉醉人人芬芬芳芳的的季季节节，，愿愿你你生生活活像像春春天天一一样样阳阳光光，，心心情情 54、少 敏 不壮 而 要不 好 为努 学 它力 ， 的， 不 结老 耻 束大 下 而徒 问 哭伤 。 ，悲 。 应。 当7.1为S2u.它2n0d的2a0y开,7J.始1u2l而y.21笑022。,020709.21:025J.2u00l9y2:0205070S.19u2:n0.2d50a:02y30,00J9u9:l:0y0551:0293, :200520097:0/152:0/230290:05:03
三角形全等的判定(4个知识点+14大题型+18道强化训练)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第04讲 三角形全等的判定（4个知识点+14大题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等；2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等；2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.知识点一、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“边边边”定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定2——“边角边”定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C .注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角边角”定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .四、全等三角形判定4——“角角边”定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.三角形证全等思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AASì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边知识点02：灵活运用全等判定定理2、灵活运用全等判定定理（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
专题 全等三角形六种基本模型(学生版)
专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。
三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
三角形全等的判定(第1课时)
第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第1课时利用“边边边”判定三角形全等一、教学目标【知识与技能】1.掌握“边边边”的内容;2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.3. 能用尺规作一个角等于已知角.【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程,体会用操作、归纳得出数量结论的过程.【情感态度与价值观】通过探索三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想,乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.二、课型新授课三、课时第1课时，共4课时。
四、教学重难点【教学重点】探索三角形全等的条件，会应用“边边边”判定两个三角形全等.【教学难点】探索三角形全等的条件，用尺规作一个角等于已知角.五、课前准备教师：课件、三角尺、圆规、直尺等。
学生：三角尺、圆规、直尺。
六、教学过程（一）导入新课为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？（二）探索新知1.师生互动，探究两个三角形全等的条件教师问1：什么叫全等三角形？学生回答：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.教师问2：全等三角形有什么性质？学生回答：全等三角形的对应边相等，对应角相等.（出示课件4）教师讲解：我们如何识别两个三角形是否全等呢？我们从“条件尽可能的少”出发，逐步增加条件分类进行操作验证，希望得到我们想要的结论.教师问3：满足一个条件对应相等时，识别两个三角形全等，共有几种情况呢？分别是哪些情况？学生讨论并回答：一共有两种情况，①只给一条边时；②只给一个角时.教师问4：请同学们每人画出一个边长为3cm的三角形，然后每个小组内的同学看一下画出的三角形全等吗？学生作图并且比较后回答：不全等.教师问5：请同学们每人画出一个45°的三角形，然后每个小组内的同学看一下画出的三角形全等吗？学生作图并且比较后回答：不全等.结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件6）教师问6：如果满足两个条件判断两个三角形全等，你能说出有哪几种可能的情况？学生分组讨论、探索、归纳，给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边.教师请同学们分别按下列条件做一做.①三角形两条边分别为3cm，4cm.三角形②三角形的一条边为4cm，一内角为30°，.③三角形两内角分别为30°和45°教师问7：同学根据①画出的两个三角形全等吗？学生作出图形并且组内识别后回答：两条边对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件8）教师问8：同学根据②画出的两个三角形全等吗？学生做出图形并且组内识别后回答：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件9）教师问9：同学根据③画出的两个三角形全等吗？学生做出图形并且组内识别后回答：两个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件10）教师分析并归纳结论：只满足两个条件画出的三角形不一定全等.总结点拨：（出示课件11）一个条件①一角；②一边；两个条件①两角；②两边；③一边一角.结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.教师问10：给出三个条件画三角形，会有几种可能的情况？学生思考后师生归纳：有四种可能，即三角、三边、两边一角、两角一边分别相等.教师问11：已知两个三角形的三个内角分别为30°，60° ，90° 它们一定全等吗？学生作出图形并且组内识别后回答：有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件13）教师问12：已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它们一定全等吗？（出示课件14）教师演示作法，学生按要求尺规作图，动手操作，通过比较得出结论.这两个三角形相等.教师问13：任意两个三角形的三条边都分别相等.它们一定全等吗？我们进行下边的操作：做一做：先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？教师演示作法：（1）画B′C′=BC；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B', A 'C'.（出示课件15）学生按要求尺规作图，动手操作，通过比较得出结论.三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).总结：（出示课件16）“边边边”判定方法文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）几何语言：在△ABC和△ DEF中，{AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC ≌△ DEF（SSS）.例1：如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：（1）△ABD ≌△ACD．(2)∠BAD = ∠CAD.（出示课件17）解题思路：①先找隐含条件：公共边AD ；②再找现有条件：AB=AC③最后找准备条件：D 是BC 的中点→BD=CD师生共同解答如下：（出示课件18）证明：（1）∵ D 是BC 中点，∴ BD =DC．在△ABD 与△ACD 中，{AB =AC (已知）BD =CD （已证）AD =AD （公共边） ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．（2）由（1）得△ABD≌△ACD ，∴ ∠BAD= ∠CAD.（全等三角形对应角相等）总结点拨：（出示课件19）证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；:④写出结论：写出全等结论.例2：已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠BAC＝∠DAE. （出示课件21）分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.师生共同解答如下：（出示课件22）证明：在△ABD和△ ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，∴ △ ABD≌ △ ACE(SSS)，∴∠BAD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.例3：用尺规作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．（出示课件24）师生共同解答如下：（出示课件25）作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C,D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．（三）课堂练习（出示课件28-34）1. 如图，D,F是线段BC上的两点，AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件___________________(填一个条件即可）.2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论：①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD ≌△CDB；④ BA∥DC.正确的个数是( )A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌△AED.4. 已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB,（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．5. 如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D .(提示: 连结AB)6. 如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，BH ＝CH ，图中有几组全 等的三角形？它们全等的条件是什么？参考答案：1. BF=CD2.C3. 证明：∵BD=CE,∴BD －CD=CE －CD .∴BC=ED .在△ABC 和△ADE 中，AC=AD （已知），AB=AE （已知），BC=ED （已证），∴△ABC≌△AED（SSS ）.4. 证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD 和△O′C′D′中D COAB∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．5. 证明：连接AB两点,在△ABD和△BAC中，AD=BC，BD=AC，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)∴∠D=∠C.6.解：（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.本节课学了判定两个三角形全等的条件数目和全等三角形的判定方法（边边边）2.利用尺规作图作一个角等于已知角（五）课前预习预习下节课（12.2）教材37页到39页的相关内容。