【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：8.8.3定点、定值、探索性问题(含答案解析)

课时活页作业（五十一）[基础训练组]1．(2016·桂林市、防城港市联合调研)已知抛物线C ：x 2＝2py(p ＞0)的焦点为F ，直线l ：y ＝3与C 交于A 、B 两点，l 与y 轴交于点N ，且∠AFB ＝120°.(1)求抛物线C 的方程；(2)当0＜p ＜6时，设C 在点Q 处的切线与直线l 、x 轴依次交于M 、D 两点，以MN 为直径作圆G ，过D 作圆G 的切线，切点为H ，试探究；当点Q 在C 上移动(Q 与原点不重合)时，线段DH 的长度是否为定值？[解] (1)抛物线C ：x 2＝2py(p ＞0)的焦点为F(0，p 2)，准线方程为y ＝－p 2.设直线y ＝3与y 轴交于点N ，即N(0,3)．①当0＜p ＜6时，由抛物线的定义可得|FA|＝3＋p 2，|FN|＝3－p2.由∠AFB ＝120°，则|FA|＝2|FN|，即有3＋p 2＝2(3－p2)，解得p ＝2，即有抛物线的方程为x 2＝4y.②当p≥6时，由抛物线的定义可得|FA|＝3＋p 2，|FN|＝p2－3.由∠AFB ＝120°，则|FA|＝2|FN|，即有3＋p 2＝2(p2－3)，解得p ＝18，即有抛物线的方程为x 2＝36y.综上可得，抛物线方程为x 2＝4y 或x 2＝36y.(2)当0＜p ＜6时，抛物线方程为x 2＝4y.设Q(m ，14m 2)，y ＝14x 2的导数为y′＝12x ，则有切线斜率为12m ，切线方程为y －14m 2＝12m(x －m)，令y ＝0可得x ＝12m ；令y ＝3可得x ＝12m＋6m. 即有M(12m ＋6m ，3)，D(12m,0)．以MN 为直径作圆G ，G(14m ＋3m ，3)，设圆G 的半径为r ，r ＝12|MN|＝|14m ＋3m |.由DH ⊥HG ，由勾股定理可得|DH|＝|DG|2－r 214m －3m2＋32－14m ＋3m2＝9－2×2×34＝6，则有当点Q 在C 上移动(Q 与原点不重合)时，线段DH 的长度为定值，且为 6.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点M ⎝⎛⎭⎫1，32，其离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ∶y ＝kx ＋m(|k|≤12)与椭圆C 相交于A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求|OP|的取值范围．解：(1)由已知，可得e 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以3a 2＝4b 2.又点M(1，32)在椭圆C 上，所以1a2＋94b 2＝1.由以上两式联立，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当k ＝0时，P(0,2m)在椭圆C 上， 解得m ＝±32，所以|OP|＝ 3.当k≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并化简整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2. 由于点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 23＝1.从而16k 2m 2＋4k 22＋12m 2＋4k 22＝1，化简得4m 2＝3＋4k 2.所以|OP|＝x 20＋y 20＝64k 2m 2＋4k 22＋36m 2＋4k 22＝4m 22＋＋4k22＝16k 2＋94k 2＋3＝4－34k 2＋3. 因为0<|k|≤12，所以3<4k 2＋3≤4，即34≤34k 2＋3<1.故3<|OP|≤132.综上，所求|OP|的取值范围是⎣⎡⎦⎤3，132. 3．(2016·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)设F(c,0)，则c a ＝22，知a ＝2c.过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x ＝c ，代入椭圆方程，有－2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±22b.于是2b ＝2，解得b ＝1.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝2，c ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，因为N(0,1)，F(1,0)，所以k NF ＝－1.由NF ⊥PQ ，知k PQ ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 由Δ＞0，得m 2＜3，且x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，有NP →·FQ →＝0.因为NP →＝(x 1，y 1－1)，FQ →＝(x 2－1，y 2)，所以x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0，即x 1(x 2－1)＋(x 2＋m)(x 1＋m －1)＝0，所以2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0，于是2×2m 2－23－43m(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1.经检验，当m ＝1时，△PQN 不存在，故舍去m ＝1.当m ＝－43时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y ＝x －43.[能力提升组]4．(2016·保定市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a ＞b ＞0)的短轴长为2，离心率为22，过右焦点F 的直线l 交椭圆与P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)在线段OF 上是否存在点M(m,0)，使得(MP →＋MQ →)·(MP →－MQ →)＝0？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．[解] (1)由椭圆短轴长为2得b ＝1，又e ＝a 2－1a ＝22，∴a ＝2，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设在线段OF 上存在点M(m,0)(0≤m≤1)，使得(MP →＋MQ →)·(MP →－MQ →)＝0成立，即|MP →2|－|MQ →|＝0或|MP →|＝|MQ →|①当l ⊥x 轴时，显然线段OF 上的点都满足条件，此时0≤m≤1 ②当l 与x 轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m ＝0③法1：当l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为y ＝k(x ﹣1)(k≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝－，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2设MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)其中x 2－x 1≠0.∵(MP →＋MQ →)·(MP →－MQ →)＝0，∴(x 1＋x 2－2m)(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0⇒(x 1＋x 2－2m)＋k(y 1＋y 2)＝0⇒2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇒m ＝k 21＋2k2＝12＋1k2(k≠0)． ∴0＜m ＜12.∴综上所述：①当l ⊥x 轴时，存在0≤m≤1适合题意，②当l 与x 轴重合时，存在m ＝0适合题意，③当l 的斜率存在且不为零时存在0＜m ＜12适合题意．6．(2016·云南省第一次统一检测)已知曲线C 的方程为＋2＋y 2＋－2＋y 2＝4，经过点(－1,0)作斜率为k 的直线l ，l 与曲线C 交于A 、B 两点，l 与直线x ＝－4交于点D ，O 是坐标原点．(Ⅰ)当OA →＋OD →＝2OB →时，求证：k 2＝54；(Ⅱ)是否存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：∵＋2＋y 2＋－2＋y 2＝4>2，∴曲线C 是以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆，∴曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12.∵直线l 经过点(－1,0)，斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)．∵直线l 与直线x ＝－4交于点D ，∴D(－4，－3k)．设A(x 1，kx 1＋k)，B(x 2，kx 2＋k)，∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.由OA →＋OD →＝2OB →得2x 2－x 1＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝＋得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由2x 2－x 1＝－4，x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2得x 1＝43＋4k 2，x 2＝4＋8k 23＋4k 2.∵x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴43＋4k 2×(－4＋8k 23＋4k 2)＝4k 2－123＋4k2，化简得4k 4－k 2－5＝0，解方程得k 2＝54或k 2＝－1<0(舍去)．∴k 2＝54. 由(1)知，A(x 1，kx 1＋k)，B(x 2，kx 2＋k)．x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴OA →＝(x 1，kx 1＋k)，OB →＝(x 2，kx 2＋k)，OA →·OB →＝x 1x 2＋(kx 1＋k)(kx 2＋k)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝－5k 2－123＋4k 2<0.∴∠AOB>π2，∴不存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形．7．(2016·郑州市第一次质量预测)已知动点P 到定点F(1,0)和直线l ：x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．[解] (1)设点P(x ，y)，由题意可得，－2＋y 2|x －2|＝22，整理可得：x 22＋y 2＝1.曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由已知可得：|AB|＝2，当m ＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得：|n|m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋12)x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0.Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋12)(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1，所以，x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2n 2－22m 2＋1，S 四边形ACBD ＝12|AB||x 2－x 1|＝22m 2－n 2＋12m 2＋1＝2|m|2m 2＋1＝22|m|＋1|m|≤22.当且仅当2|m|＝1|m|， 即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意. 8．(2016·郑州市第一次质量预测)已知动点P 到定点F(1,0)和直线l ：x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．[解] (1)设点P(x ，y)，由题意可得，－2＋y 2|x －2|＝22，整理可得：x 22＋y 2＝1.曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由已知可得：|AB|＝ 2.当m ＝0时，不合题意. 当m≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得：|n|m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n x 22＋y 2＝1消去y 得(m 2＋12)x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0. Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋12)(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1 所以，x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2n 2－22m 2＋1S 四边形ACBD ＝12|AB||x 2－x 1|＝22m 2－n 2＋12m 2＋1＝2|m|2m 2＋1＝22|m|＋1|m|≤22. 当且仅当2|m|＝1|m|，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意.。