求线段实长及对水平投影面夹角
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1点直线平面的投影
投影相关知识
设空间有一平面P，平面外有一定点S(光源)。若 把空间点A投影到平面P上，可连接SA延长与平面 P交于a，点a称为空间点A在平面P上的投影，P为 投影面，S为投影中心，SAa为投射线。
为反映投影物体的实形和便于绘图，采用正投影方法。 平行投影法----正投影法
S
H
投影方向S垂直于投影面
1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影 之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧 平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。
AB
b
|yA-yB|
AB
ab
|yA-yB|
a
X
ab
b
AB
a
|yA-yB|
|yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b B b
a
b
A
a
a
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
ab
a
四、直线上的点
直线上的点具有两个特性：
判断它们的相对位置。
判断方法： x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
左右 上 下
后前 上 下
z 坐标大的在上
后
前 左右
a
b
B
A
a
b
b a
两点中x值大的点 —— 在左 两点中y 值大的点 —— 在前 两点中z 值大的点 —— 在上
吉林大学工程图学习题答案--第四章
4-6用换面法求点K到△ABC的距离,并作出 垂足的投影.
4-7已知AB‖CD,且相距10mm,用换面法求 c′d′,并回答有几个解.
答:
4-7已知AB‖CD,且相距10mm,用换面法求 c′d′,并回答有几个解.
答:两解
Hale Waihona Puke 4-8已知AB‖△DEF,且相距为定长L,用换面 法求a′b′,并回答有几个解.
第四章投影变换
4-1—4-14
4-1求出点AB在新投影体系H1/V中的投影.
4-1求出点AB在新投影体系H1/V中的投影.
4-2用换面法求线段AB的实长及其对H面 的倾角α.
4-2用换面法求线段AB的实长及其对H面 的倾角α.
4-3已知线段AB对V面的夹角β,用换面法求 其水平投影,并回答有几个解.
4-14在直线EF上找一点K,使它与∠ABC的两 边等距.
�
4-10已知等腰直角△ABC,其一直角边BC在 MN上,用换面法求作该三角形的两个投影.
4-11半径为18mm的圆与直线ABBC均相切, 上, 求出切点的两个投影.
4-11半径为18mm的圆与直线ABBC均相切, 上, 求出切点的两个投影.
4-12△ABC与△ABD的夹角为60°,求△ABC 的正面投影.
4-12△ABC与△ABD的夹角为60°,求△ABC 的正面投影.
4-13已知点K距△ABC的距离为15mm及点K的 水平投影k,过点K作直线KL‖ △ABC并与直线 MN相交.
4-13已知点K距△ABC的距离为15mm及点K的 水平投影k,过点K作直线KL‖ △ABC并与直线 MN相交.
4-14在直线EF上找一点K,使它与∠ABC的两 边等距.
答:
4-8已知AB‖△DEF,且相距为定长L,用换面 法求a′b′,并回答有几个解.
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
直线投影学习
B
A b
a
b a
证明：设
C
因
直角边BC//H面 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb
所以 BC⊥ABba平面
c
又因 BC∥bc
H
故 bc ⊥ABba平面
c
因此 bc⊥ab
即 ∠abc 为直角
b a
c
直线在H面上的投影互 相垂直
第23页/共30页
交叉垂直的两直线的投影
第24页/共30页
直角投影定理
条件：①互相垂直的两直线(相交或交叉) ②其中有一条直线平行于某一投影面 则：两直线在该投影面上投影仍互相垂直
c′ a′
X
c
O
b
b″ c″
a″
Y
a
Y
◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。
◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同 的比例。即：
AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
第11页/共30页
定比定理
点在直线上的判别方法：
◆若点在直线上, 则点的 投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名
侧垂线
Z
a
a
b
ab
A
B
X
X
a
a
bY
Z b
ab
O
YW
b YH
第8页/共30页
(2) 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a c(d)
d c
e
f
e(f)
●
●
b
●
a(b)
b d
c
e
f
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
点、直线、平面投影要求与例题分析
α
b'1
O1
z z z
a'1V1
X1
a'1
aX1 O1
2. 点在V/H1体系中的投影
a1
X1
aX1
a1
O1
y y
1. 两点的相对位置 2. 比较两点的相对位置 3. 重影点的投影 4. 立体上重影点的投影
a
b
B b
A
a
b
a
a'
a"
b'
b"
a
(b)
[例题4] 已知点A在点B之前10毫米，之上15毫米，之右15毫米， 其中B点的坐标为（30,20,8）求点A的投影。
三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个 长度来作直角边不能搞错。
四、作图
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
|zA-zB|
O
|zA-zB |
AB
|yA-yB|
AB
|yA-yB|
O
AB
a' b'
|yA-yB|
|yA-yB|
|xA-xB|
b'
B b"
a'
O
b A
a"
a
G
(1) 投影面平行线的投影特性 (2) 物体上平行线的投影分析
a' b'
A B
a b
a" b"
a' b'
a" b"
工程制图 第三章
属于直线的点
它的三个投影分别属于直线的三个投影。 点分线段之比投影后保持不变。
AC a c ac CB c b cb
证明：投影面平行线的投影是否反映实长
ab AB cos
当
90 时,
B A
AB P
当
ab 0
投影积聚一点
B1 a b P
0 时， AB // P ab AB
三、点的三面投影的投影规律
1.点的V、H投影连线垂直于OX轴，即
a a OX
2.点的V、W投影连线垂直于OZ轴，即 a a OZ 3.点的H投影到OX轴的距离等于点的W投影到OZ轴的距离，即 aax a a z
四、空间两点的相对位置可利用它们在投影图中各组同名投影 (同面投影)来判断
作图步骤 判别可见性
作图步骤
迹线表示平面
几何元素表示平面
判别可见性
2、一般位置平面与特殊位置平面相交
作图步骤 判别可见性
作图步骤
判别可见性
3、两投影面垂直面相交
m
n
X
O
RH
m( n)
QH
4、直线为特殊位置
1
m(n) 2
3
n
1
2(3)
m
1、直线与一般位置平面相交
求作交线的步骤： 1.含直线DE 作辅助平面
名称
正平面
水平面
正垂面
铅垂面
立 体 图
轨 迹
投 影 图
过直线EF，作铅垂面和正垂面
PV
铅垂面S
正垂面P
一般位置平面
投影特性: (1) 三个投影 均为的类似形 (2) 投影图不反映a、、 的真实角度
直线上的点与线投影
真长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
α、β、γ
H、V、W投影长
直角三角形法
B
α A
b a
ZA
ZB-ZA
ZB
b'
ZB-ZA
a'
X
o
b
a
α
ZB-ZA
1、求直线的实长及对水平投影面的夹角角
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2、求直线的实长及对正面投影面的夹角
c
zA-zB
ab
c
§3.5 两直线的相对位置
两直线平行
空间两直线的相对位置
两直线相交
两直线交错（相交、交叉）
空间两直线平行
两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互 平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则 该两直线在空间也一定相互平行。
b' B d'
a'
D
a'
c'
X
A
C
OX
bd
acaຫໍສະໝຸດ b'影引垂线，较高的一点看得
n'
见，较低的一点则看不见。 c'
O
（2）判别V面重影点的可见
性，必须从V面投影向H面投
m(n)
e
b
影引垂线，较前的一点看得
c a
见，较后的一点则看不见。
f
d
直角的投影
两条互相垂直的直线，若其中有一条 是某一投影面的平行线，则它们在该投影 面的投影必互相垂直。
直角的投影
b' d'
第三章 平面立体的投影及线面投影分析-第一讲
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
Z
a
b Z
a(b)
V
a
b ab
A B O W
X
O b YH
YW
X
a
Ha
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应 的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平 行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必 垂直于积聚投影所在的投影面。
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线的分类
直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水平投影面的倾 角叫水平倾角，用α表示；对正立投影面的倾角叫正面倾角，用β表示； 对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用γ表示。 投影面垂直线
特殊位置直线 直 线 一般位置直线
直线在投影图上表现出来的特性，常与直线对投影面的倾斜状态有 关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三种类型：投影面平行线、 投影面垂直线、任意倾斜直线。
根据从属性判断点与直线的相对位置
V
n'
m'
N A
a'
M X B
n' b'
m'
a'
b'
X
O
O
b
n
m
a
H
a m b n
注意：对于侧平线还需考察侧面投影。