离散数学图论作业2-图的表示与图同构
离散数学 第2讲 同态
(3) h(S)关于运算*′是封闭的。因为如果a,b∈h(S), 那么存在x、y∈S, 使
h(x)=a和h(y)=b。所以a*′b=h(x)*′h(y)=h(x*y)=h(z)∈h(S) (由于x*y=z∈S)。 (4) h(S)关于运算△′是封闭的。对任意a∈h(S), 存在元素x∈S, 使h(x)=a, 所以△′a = △′h(x) = h(△x)∈h(S) (由于△x∈S)。 证毕。
1},⊛>的么元和零元, 但它们不是代数B的么元和零元, B中的么元是3, 无 零元。
作业: P174 习题6.3 第4, 8题
谢谢同学们!
17
(x)+f (y)； (3) 常元运算保持。f(1)=log1=0。
所以<R＋, · , 1>与<R, +, 0>同构。
一、同态与同构
例1(b)：集合A={1, 2, 3, 4}, 函数f∶A → A,
f ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 1>}, f 0表示A上的恒等函数；f 1表示f；f 2表示合成函数f· f；f 3表示f 2· f； f 4表 示f 3· f；则f 4=f 0。设F={f 0, f 1, f 2, f 3}, 则代数<F, · , f 0>可以用左下方的运 算表给定, 这里f 0是么元。集合N4={0, 1, 2, 3},+4是模4加法,代数<N4,+4,0> 用右下方的运算表给定, 这里0是么元。试证明这两个代数同构。
(h(x1)*′h(x2))*′h(x3)=h(x1*x2)*′h(x3)=h((x1*x2)*x3)
=h(x1*(x2*x3))=h(x1)*′h(x2*x3) =h(x1)*′(h(x2)*′h(x3))
离散数学中的图的同构与同构不变性
离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。
图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。
在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。
一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。
具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。
同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。
同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。
即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。
2. 同构关系保持图的基本性质。
如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。
3. 同构关系与图的表示方式有关。
同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。
二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。
具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。
同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。
在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。
对于同构的图，它们的度序列是相同的。
2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。
对于同构的图，它们的连通性是相同的。
3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。
离散数学-同态和同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$， 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
《离散数学图论》课件
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学形考任务2
1.如图二所示，以下说法正确的是( )．正确答案是：e是割点2. 图G如图四所示，以下说法正确的是( 正确答案是：{(a, d) ,(b, d)}是边割集3. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当（正确答案是：G连通且所有结点的度数全为偶数4. 设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．正确答案是：e－v＋25.图G如图三所示，以下说法正确的是( )．正确答案是：{b,c}是点割集6. 若G是一个汉密尔顿图，则G一定是正确答案是：连通图7. 无向树T有8个结点，则T的边数为( 正确答案是：78.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．正确答案是：（a）是强连通的9.若G是一个欧拉图，则G一定是(正确答案是：连通图10.已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（）．正确答案是：5点，7边11. 设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4．( )正确的答案是“错”。
12. 若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．( ) 正确的答案是“对”13. 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．( )正确的答案是“对”14. 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．正确的答案是“错”。
15. 设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面正确的答案是“对”16.设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}．( )正确的答案是“错”17.设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数时，K中存在欧拉回路．( 正确的答案是“对”。
18. 如图八所示的图G存在一条欧拉回路．正确的答案是“错”。
19. 无向图G的结点数比边数多1，则G是树．正确的答案是“错”。
20. 如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．(正确的答案是“错”。
离散数学第七章图论习题课
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
《离散数学》图论 (上)
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学课件图论2
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例： 给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所 有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
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若简单图 G 与 G¯ 是同构的，则 G 称为自补图 试证明：若正则图 G 是自补图，则图 G 的顶点数 V 满足 V ≡ 1 (mod 4)。
Problem 6
对以下每组同构不变量的值找出一对不同构的图 1) 顶点数 =5，边数 =5，且子图中最大的完全图是 K3 2) 度序列 =(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)
2
离散数学图论作业 2 - 图的表示与图同构
Problem 1
用邻接矩阵表示左侧的图；并画出右侧邻接矩阵表示的有向图。
a
b2 1
2 1 1
0 1 0
1002
Problem 2
1) 对下面两个简单图，先写出图的邻接矩阵 A，关联矩阵 B，然后计算矩阵 D = BBT − A。
a) K3,2
b) K2,3
2) D 与原来的图什么关系？试解释其原因。（D 是该图的什么矩阵？）
Problem 3
证明 [下左图] 和 [下右图的补图] 同构。
a
b
ef
hg
d
c
A
B
EF
HG
D
C
1
Problem 4
具有 4 个顶点的非同构简单图中，有多少个 1) 包含 C3？ 2) 无孤立点？ 3) 是二部图？