离散数学 图论基础
离散数学 7-1图概念7-2路与回路
例如
路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个)： 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理，一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。 2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5：简单图G=<V，E>中，若每一对结点 间均有边相连，则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类：
①无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=<u，v>称u， v与ei关联。 5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻 接点。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及离散结构的数学学科。
与连续数学不同，离散数学侧重于处理离散的、离散可数的数学对象，如整数、图形、集合等。
离散数学的基础知识涵盖了一系列主题，如逻辑、证明方法、集合论、图论等等。
本文将重点介绍离散数学的基础知识。
一、逻辑逻辑是离散数学的基础。
它研究命题和推理的基本方法。
在逻辑中，我们使用符号来表示命题，如p表示“今天下雨”，q表示“明天晴天”。
逻辑运算包括与、或、非、蕴含等。
我们通过真值表或证明方法来判断命题的真假和进行推理。
二、证明方法证明方法是离散数学中非常重要的一部分。
数学证明是为了验证或推导数学命题的过程。
常见的证明方法包括直接证明、归谬法、数学归纳法等。
通过证明方法，我们可以从已知的前提出发，得出结论，并确保其正确性。
三、集合论集合论研究的是集合及其相互关系的数学理论。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
在集合论中，我们可以使用集合运算符号来表示交集、并集、补集等操作。
集合的定义通常使用罗素悖论中的无限集合公理，这是集合论的基础。
四、图论图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图的应用非常广泛，如社交网络分析、电子电路设计等。
在图论中，我们研究图的连通性、路径、环等性质和算法。
五、离散数学的应用离散数学的应用非常广泛，影响着计算机科学、信息科学、运筹学等领域。
在计算机科学中，离散数学为算法设计、数据结构等提供了基础。
在信息科学中，离散数学为编码理论、密码学等提供了基础。
在运筹学中，离散数学为优化问题的建模和求解提供了工具。
总结离散数学的基础知识包括逻辑、证明方法、集合论和图论等内容。
透过这些基础知识，我们可以更深入地理解离散对象和结构的数学特性。
离散数学的应用也广泛影响着计算机科学、信息科学和运筹学等领域。
通过学习离散数学的基础知识，我们可以培养出严密的逻辑思维和问题求解能力。
以上是对离散数学基础知识的简要介绍，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一学科。
离散数学 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/3/24
一个图G定义为一个三元组：G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合，V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合（可以为空），E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射 (associative mapping)
（va, vb V）则称e是有向边（或弧）
va是e的起始结点， vb是e的终结点
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/3/24
若va和vb与边（弧）e相联结，则称va和vb是e的端结点 va和vb是邻接结点，记作：va adj vb (adjoin) 也称e关联va和vb，或称va和vb关联e 若va和vb不与任何边（弧）相联结，则称va和vb是非邻接结点， 记作：va nadj vb 关联同一个结点的两条边（弧），称为邻接边（弧）
v1
构造双射函数f : V1 V2 ，f(v1)=a ，f(v2)=b
f(v3)=c ，f(v4)=d
v2
v4
可知，边[v1, v2], [v2, v3], [v3, v4], [v4, v1]被分别映射成[a, b], [b, c], [c, d], [d, a]，故G1 G2
a
b v3
G1
c
0 ≤ d(v1)<d(v2)<… <d(vn)≤n-1。
结点的次数
2020/3/24
问题2：是否存在这种情况：两个人或以上的人群中，至少
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
离散数学中的图论着色算法-教案
离散数学中的图论着色算法-教案一、引言1.1图论的发展历程1.1.118世纪欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，奠定图论基础。
1.1.219世纪图论在数学和物理学领域得到发展。
1.1.320世纪图论在计算机科学中扮演重要角色。
1.1.4当前图论研究涉及网络科学、社会网络等多个领域。
1.2图论的基本概念1.2.1图由节点和边组成，用于表示物件与物件之间的关系。
1.2.2节点代表研究对象，边代表节点间的联系。
1.2.3图分为有向图和无向图，反映关系的方向性。
1.2.4图的度、路径、环等是图论中的基本术语。
1.3图论在现实中的应用1.3.1社交网络分析，如Facebook的社交图谱。
1.3.2电信网络设计，如电话网络的布局。
1.3.3交通运输规划，如航班路线的优化。
1.3.4计算机网络设计，如互联网的结构优化。
二、知识点讲解2.1图的着色问题2.1.1图的着色是将图中的节点用颜色进行标记，满足相邻节点颜色不同。
2.1.2着色问题分为正常着色和特定着色，如双色着色、列表着色等。
2.1.3着色问题在图论中具有重要地位，与图的性质紧密相关。
2.1.4着色问题广泛应用于地图着色、排课表、寄存器分配等领域。
2.2图的着色算法2.2.1Welsh-Powell算法，基于节点度进行着色。
2.2.2DSATUR算法，优先着色度数大且邻接节点着色多的节点。
2.2.3RLF算法，考虑节点邻接矩阵的行、列和节点度。
2.2.4图的着色算法不断发展，如启发式算法、遗传算法等。
2.3图的着色算法的应用2.3.1地图着色，确保相邻区域颜色不同。
2.3.2课程表安排，避免时间冲突。
2.3.3计算机寄存器分配，优化资源利用。
2.3.4光纤通信网络设计，减少信号干扰。
三、教学内容3.1图的着色问题的引入3.1.1通过地图着色实例引入图的着色问题。
3.1.2讲解正常着色和特定着色问题的区别。
3.1.3分析着色问题在现实中的应用场景。
3.1.4引导学生思考着色问题的数学模型。
离散数学入度和出度
离散数学入度和出度离散数学中，图论是一个重要的分支。
图是由节点（顶点）和边组成的数据结构，它可以用来描述现实生活中的许多问题。
在图中，每个节点都有一个入度和一个出度，它们分别指的是连接到该节点的边的数量和从该节点出发的边的数量。
首先，我们介绍一下图的概念。
图可以分为有向图和无向图。
对于有向图来说，边有方向，即从一个节点到另一个节点的方向是确定的。
而对于无向图来说，边没有方向，从一个节点到另一个节点的路径可以是任意的。
另外，图中的节点可以是有限个数的，也可以是无限个数的。
在图中，入度指的是连接到某个节点的边的数量。
具体而言，对于有向图而言，某个节点的入度等于与之相连的边的数量。
而对于无向图来说，某个节点的入度等于连接到该节点的边的数量。
相应地，出度指的是从某个节点出发的边的数量。
对于有向图来说，节点的入度和出度之和等于图中的总边数。
这是由于每条边都有一个起点和一个终点，起点的出度和终点的入度各自加一，所以它们的和等于总边数。
而对于无向图来说，节点的入度和出度是相等的，因为从一个节点出发的边也是连接到该节点的边。
节点的入度和出度在图论中有着重要的意义。
它们可以用来分析图的性质，以及解决与图相关的问题。
例如，通过计算图中各个节点的入度和出度，我们可以判断图的连通性。
如果图中存在一个节点的入度为零，那么该节点是一个源点，即没有边指向它的节点。
同样地，如果图中存在一个节点的出度为零，那么该节点是一个汇点，即没有边从它出发指向其他节点。
判断图中是否存在源点和汇点对于许多问题的解决都是很有帮助的。
除了连通性，入度和出度还可以用来分析图中的圈（环）结构。
圈是图中沿着边走回到出发点的路径，它可以是任意长度的闭环。
通过计算图中各个节点的入度和出度，我们可以判断是否存在圈，以及图中的圈结构。
例如，在有向图中，如果某个节点的入度大于零，那么从该节点出发可以走回到自身，即存在圈。
而在无向图中，如果存在一个节点的入度大于等于2，那么从该节点出发可以回到自身，即存在环。
中科大离散数学图论基础
增加运输量； 反方向的边（V3，V2）的运输量为1；
4
2
4 8 1 3
产地 1
4 2 1 1
2 2 2 2
4
7 4 3 5 3
3 4
6
销地
22
如果将反向边（V3，V2）的运量调到正向边（V2，V4）上 去完成，这样有向路P6（V1，V3，V2，V4，V6）的运量可增 加1。 4 2
27
例：一个网络流图：
a
源点
容量
4
s
2 3 3 b 1
3 2
汇点
t 4
4
2
d
c 2
中间点 中间点
28
对一个流网络G=(V,E,c)，每条边(u,v)上给定一个实数 f(u,v)，满足：0≤f(u,v) ≤ c(u,v)，则f(u,v)称为边(u,v)上的 流量。其中满足f(u,v)=c(u,v)的边称为饱和边。 如果有一组流量满足条件：
就需要定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
9
连通度
定义：连通度为 (G) min{|V || V 是G的顶点割集}
完全图的连通度定义为 ( Kn ) n 1，空图的连通度定义为0； 使得 | V | (G) 的顶点割集V’就是G的最小点割集； 若 (G) k ，则称G为k连通的； 所有非平凡连通图都是1-连通的； 就是一个图G最少要去掉 多少个点会变成非连通图。 若G不连通，则 (G) 0 ； 若G是平凡图，则 (G) 0 。
连通度分别是多少？
10
割边
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
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v1 (a) v2
v4
v1
v2
(b)
结点的次数
2020/7/10
在图G中的任意一条边e E，都对其联结的结点贡献度数2 定理：在无向图G=<V, E>中， d(v) = 2|E| 通常，将度数为奇数的结点称为奇度结点
将度数为偶数的结点称为偶度结点 定理：在无向图G=<V, E>中，奇度结点的个数为偶数个
给每条边（弧）都赋予权的图，叫做加权图(weighted graph)
记作G=<V, E, W>，W是各边权之和
v3
v3
1
1
2
v1 (a) v2
1
1
2
v1
v2
(b)
v3
1
1
1
v1 1 v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
在无向图G=<V, E>中，V中的每个结点都与其余的所有结点邻
接，即 (va)(vb)(va, vb V [va, vb] E)，如图(a) 则称该图为无向完全图(complete graph)，记作K|V| 若|V|=n，则|E|= C 2 = n(n-1)/2
（va, vb V）则称e是有向边（或弧）
va是e的起始结点， vb是e的终结点
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
若va和vb与边（弧）e相联结，则称va和vb是e的端结点 va和vb是邻接结点，记作：va adj vb (adjoin) 也称e关联va和vb，或称va和vb关联e 若va和vb不与任何边（弧）相联结，则称va和vb是非邻接结点， 记作：va nadj vb 关联同一个结点的两条边（弧），称为邻接边（弧）
三、子图
定义：给定无向图G1=<V1, E1>， G2=<V2, E2> 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图(subgraph)， 记作G2 G1 若V2 V1，E2 E1，且E2 ≠ E1，则称G2是G1的真子图， 记作G2 G1 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图(spanning subgraph)，记作G2 G1
V2 = V1
子图
例如：
2020/7/10
v2
v5
v1
v2
v5
v3
v4
(a)
v3 (a)的真子图 v4 v1
v2
v5
v3
v4
(a)的生成子图
子图
2020/7/10
定义：对于图G=<V, E>，G1=<V, E>=G，G2=<V, > G1和 G2都是G的生成子图，称为平凡生成子图 定义：设G2=<V2, E2>是G1=<V1, E1>的子图
第七章 图论基础
Graphs
第一节 图的基本概念
2020/7/10
一个图G定义为一个三元组：G=<V, E, Φ>
V —— 非空有限集合，V中的元素称为结点 (node)或 顶点(vertex)
E —— 有限集合（可以为空），E中的元素称为边(edge)
Φ —— 从E到V的有序对或无序对的关联映射 (associative mapping)
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
图G=<V, E, Φ>中的每条边都与图中的无序对或有序对联系
若边e E 与无序对结点[va, vb]相联系，即Φ(e)= [va, vb] （va, vb V）则称e是无向边（或边、棱）
若边e E与有序对结点<va, vb>相联系，即Φ(e)=<va, vb>
（或<u, v> E1 <f(u), f(v)> E2）
则称G1与G2同构(isomorphic)，记作 G1 G2
图的同构
2020/7/10
例7.1.1 证明下面两个图G1=<V1, E1>， G2=<V2, E2>同构
证明：V1={v1, v2, v3, v4}, V2={a, b, c, d}
对任意结点u, v V2，若有[u, v] E1，则有[u, v]E2， 则G2由V2唯一地确定，则称G2是V2的诱导子图 记作G[V2]，或G2=<V2> 若G2中无孤立结点，且由E2唯一地确定，则称 G2是E2的诱导子图，记作G[E2]，或G2=<E2>
子图
例如：
2020/7/10
v1
v2
关联同一个结点及其自身的边，称为环(cycle)，环的方向没有
意义 v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
若将图G中的每条边（弧）都看作联结两个结点 则G简记为：<V, E>
每条边都是弧的图，称为有向图(directed graph)（如图b）
每条边都是无向边的图，称为无向图(undirected graph)
v1
构造双射函数f : V1 V2 ，f(v1)=a ，f(v2)=b
f(v3)=c ，f(v4)=d
v2
v4
可知，边[v1, v2], [v2, v3], [v3, v4], [v4, v1]被分别映射成[a, b], [b, c], [c, d], [d, a]，故G1 G2
a
b v3
G1
c
v5
v2
v5
v3
v4
G=<V, E>
v3
v4
G’=<V’, E’>
V’或E’的诱导子图
补图
2020/7/10
定义： 设G1=<V1, E1>和G2=<V2, E2>是G=<V, E>的子图，
若 E2 = E - E1，且G2是E2的诱导子图，即G2=<E2>
则称G2是相对于G的G1的补图
补图
图G1和G2互为
v1
相对于G补图
v2
v5
v1 v2
v3
v4
G
v5
v2
2020/7/10
v5
v3
v4
G1
v3
v4
G2
补图
2020/7/10
定义： 给定图G1=<V, E1> ，若存在图G2=<V, E2>
且 E1 E2 = ，及图<V, E1 E2 >是完全图
则称G2是相对于完全图的G1的补图，记作G2 = G1
补图
v1
v2
v5
2020/7/10
v3
v4
G2 = G1
v1
K5
v1
v2
v5
v2
v5
v3
v4
G1
v3
v4
G2
图的同构
2020/7/10
四、图的同构
定义：
给定图G1=<V1, E1>， G2=<V2, E2>
若存在双射函数f : V1 V2 ，使得对于任意u, v V1
有
[u, v] E1 [f(u), f(v)] E2
要注意的是，这不是充分条件
2020/7/10
图的同构
2020/7/10
例7.1.3 证明下面两个无向图是不同构的
n
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
图的基本概念
2020/7/10
在有向图G=<V, E>中，V中的任意两个结点间都有方向相反的
两条弧，即
(va)(vb)(va,vbV <va,vb>E∧<vb,va>E)，如图(a)
则称该图为有向完全图，记作K|V|
若|V|=n，则|E|=
P
2 n
=
n(n-1)
平行边（弧）的条数，称为重数
v3
v3
v3
v1 (a) v2
v1
v2
(b)
v1
v2
(c)
图的基本概念
2020/7/10
在多重图的表示中，可在边（弧）上标注正整数，以表示平行边 （弧）的重数
把重数作为分配给边（弧）上的数，称为权(weight) 将权的概念一般化，使其不一定是正整数，则得到加权图的概念：
2020/7/10
类似问题： 1. 晚会上大家握手言欢，握过奇数次手的人数一定是偶数 2. 碳氢化合物中，氢原子个数是偶数 3. 是否有这样的多面体，它有奇数个面，每个面有奇数条
棱？
结点的次数
2020/7/10
问题2：是否存在这种情况：两个人或以上的人群中，至少
有两个人在此人群中的朋友数一样多？
以人为结点，仅当二人为朋友时，在此二人之间连一边， 得一“友谊图”G(V,E)， 设V={v1, v2, …, vn}，不妨 设各结点的次数为d(v1)≤d(v2)≤… ≤d(vn)≤n-1。 假设命题不成立，则所有人的朋友数都不一样多，则
d
G2
图的同构
2020/7/10
例7.1.2 证明下面两个有向图是同构的。
d
c
证明：如图所示，G1=<V1, E1>，
G2=<V2, E2>，结点编号如图所示。