离散数学图论答案
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集ο ο ο ο οcab edο f图一图二C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图三7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的应该填写：D8．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m 为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v ＋210．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A．1m n-+B．m n-C．1m n++D．1n m-+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ．9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．ο οο ο οca b e dο f 图四2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？ 2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形．3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 1v 2v 3v 5 d bae f ghn图六οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图八（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．4．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b,d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。
应用离散数学图论欧拉图与哈密尔顿图题库试卷习题及答案
§5.5 欧拉图与哈密尔顿图习题5.51．判断图5.31中哪些图是欧拉图那些图不是。
对不是欧拉图的至少要加多少条新边才能成为欧拉图？对是欧拉图的，用Fleury算法求出欧拉回路。
图5.31 习题1的图解：（a）是欧拉图。
如下图为顶点号和边的标记，则欧拉回路为（e1,e2,e6,e10,e12,e11,e7,e8,e9,e5,e4,e3）e645e106 e117 e12 8。
（b）不是欧拉图。
需要加4条新边才能成欧拉回路。
（c）是欧拉图。
如下图为顶点号和边的标记，则欧拉回路为（1，2，3，4，5，6，1，8，7，10，11，7，9，1）236 5 4（d）不是欧拉图。
需要加2条新边才能成欧拉回路。
2．画一个欧拉图，使它具有：（1）偶数个顶点，偶数条边。
（2）奇数个顶点，奇数条边。
（3）偶数个顶点，奇数条边。
（4）奇数个顶点，偶数条边。
解 四个图按顺序分别如下：3．在k （k ≥2）个长度大于或等于3的无公共点的环型图之间至少加多少条边才能使它们组成一个简单欧拉图。
解：环形图中每个点的度是2,要形成欧拉回路，就要使新图是一个连通图，并且每个点的度仍保度偶数，因此，要让新图是欧拉图，则至少要加k 条边。
4．证明：可以从连通图中任意一点出发，经过这个图中每条边恰好两次，回到出发点。
解 将每条边都增加一条平行边，则得到一个多重图，此多重图的每个顶点的度数都是偶数，所以存在欧拉闭迹。
在欧拉闭迹中，将经过平行边改成第二次经过原来的边，定理即得证。
5．完全图p K 是欧拉图吗？是哈密尔顿图吗？完全二部图n m K ,是欧拉图吗？是哈密尔顿图吗？解 （1）K p ⎩⎨⎧不是欧拉图是欧拉图 为偶数时当为奇数时当p p K p （p ≥3）为哈密尔顿图（（v 1，v 2，v 3，……，v p ）即是一个哈密尔顿回路）。
（2）因为K m,n 中顶点的度数要么为m ，要么为n ，所以K m,n ⎩⎨⎧不是欧拉图是欧拉图 为奇数时或当为偶数时和当n m n m因为K m,n 的顶点数为m+n ，而任意两点的度数之和为2m 或2n 或m+n 。
应用离散数学图论图的连通性题库试卷习题及答案
§5.2 图的连通性习题5.21．证明或否定：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。
解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。
（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。
解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。
（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。
若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。
否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。
2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。
证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。
3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。
离散数学习题答案如下
离散数学习题答案如下离散数学是一门研究离散结构和离散现象的数学学科。
它与连续数学相对应，强调的是离散的、不连续的数学对象和现象。
离散数学的研究对象包括集合、关系、函数、图论等。
在离散数学的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
下面是一些离散数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 集合论习题题目：给定集合A={1,2,3,4,5}和集合B={3,4,5,6,7}，求A与B的并集、交集和差集。
答案：A与B的并集为{1,2,3,4,5,6,7}，交集为{3,4,5}，A与B的差集为{1,2}。
2. 关系与函数习题题目：给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，判断该关系是否为自反、对称、传递关系。
答案：该关系不是自反关系，因为元素1没有与自身相关联；该关系不是对称关系，因为(1,2)属于R，但(2,1)不属于R；该关系是传递关系，因为对于任意的(a,b)和(b,c)，若(a,b)和(b,c)均属于R，则(a,c)也属于R。
3. 图论习题题目：给定无向图G，其邻接矩阵为：0 1 1 01 0 1 11 1 0 10 1 1 0求图G的度数序列和邻接矩阵的平方。
答案：图G的度数序列为(2,3,3,2)，即顶点1的度数为2，顶点2的度数为3，顶点3的度数为3，顶点4的度数为2；邻接矩阵的平方为：2 23 22 3 3 33 34 32 3 3 24. 组合数学习题题目：有5个红球和3个蓝球，从中选取3个球，求选取的球中至少有一个红球的概率。
答案：选取的球中至少有一个红球等价于选取的球中没有红球的概率的补集。
选取的球中没有红球的情况只有选取3个蓝球，所以概率为C(3,3)/C(8,3)=1/56。
因此，选取的球中至少有一个红球的概率为1-1/56=55/56。
以上是一些离散数学习题的答案，通过解答这些习题可以加深对离散数学的理解和掌握。
离散数学作为一门重要的数学学科，不仅在理论研究中有广泛应用，也在计算机科学、信息科学等领域中发挥着重要作用。
离散数学图论答案
离散数学图论答案离散数学图论答案【篇一：离散数学图论习题】综合练习一、单项选择题1．设l是n阶无向图g上的一条通路，则下面命题为假的是( )． (a) l可以不是简单路径，而是基本路径 (b) l可以既是简单路径,又是基本路径 (c) l可以既不是简单路径，又不是基本路径 (d) l可以是简单路径，而不是基本路径答案：a2．下列定义正确的是( )．(a) 含平行边或环的图称为多重图(b) 不含平行边或环的图称为简单图(c) 含平行边和环的图称为多重图(d) 不含平行边和环的图称为简单图答案：d3．以下结论正确是 ( )．(a) 仅有一个孤立结点构成的图是零图(b) 无向完全图kn每个结点的度数是n (c) 有n(n1)个孤立结点构成的图是平凡图(d) 图中的基本回路都是简单回路答案：d4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )． (a)(1,1,1,2,3) (b) (1,2,3,4,5) (c) (2,2,2,2,2) (d) (1,3,3,3) 答案：b5．下列数组能构成简单图的是( )．(a) (0,1,2,3)(b) (2,3,3,3)(c) (3,3,3,3)(d) (4,2,3,3) 答案：c6．无向完全图k3的不同构的生成子图的个数为（）． (a) 6 (b) 5(c) 4 (d) 3 答案：c7．n阶无向完全图kn中的边数为（）．(a)n(n?1)n(n?1)(b) (c) n (d)n(n+1) 22答案：b8．以下命题正确的是( )．(a) n(n?1)阶完全图kn都是欧拉图(b) n(n?1)阶完全图kn都是哈密顿图(c) 连通且满足m=n－1的图v,e(?v?=n,?e?=m)是树(d) n(n?5)阶完全图kn都是平面图答案：c10．下列结论不正确是( )．(a) 无向连通图g是欧拉图的充分必要条件是g不含奇数度结点(b) 无向连通图g有欧拉路的充分必要条件是g最多有两个奇数度结点 (c) 有向连通图d是欧拉图的充分必要条件是d的每个结点的入度等于出度(d) 有向连通图d有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等1于出度答案：d11．无向完全图k4是（）．（a）欧拉图（b）哈密顿图（c）树答案：b12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个．(a) 2 (b) 3(c) 4(d) 5 答案：a13．设g是有n个结点，m条边的连通图，必须删去g的( )条边，才能确定g的一棵生成树．(a) m?n?1 (b) n?m (c) m?n?1 (d) n?m?1 答案：a14．设g是有6个结点的完全图，从g中删去( )条边，则得到树． (a) 6 (b) 9 (c) 10 (d) 15 答案：c二、填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列，此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图k3的所有非同构生成子图有个．答案：43．设图g??v,e?，其中?v??n,?e??m．则图g是树当且仅当g是连通的，且m?．答案：n－14．连通图g是欧拉图的充分必要条件是答案：图g无奇数度结点5．连通无向图g有6个顶点9条边，从g中删去g的一棵生成树t．答案：46．无向图g为欧拉图，当且仅当g是连通的，且g中无答案：奇数度7．设图g??v,e?是简单图，若图中每对结点的度数之和，则g一定是哈密顿图．答案：?8．如图1所示带权图中最小生成树的权是．答案：12三、化简解答题1．设无向图g＝v,e，v={v1，v2，v3，v4，v5，v6}， e={( v1，v2), ( v2，v2), ( v4，v5), ( v3，v4), ( v1，v3),( v3，v1), ( v2，v4)}． (1) 画出图g的图形；2图15图22(2) 写出结点v2, v4，v6的度数； (3) 判断图g是简单图还是多重图．解：(1) 图g的图形如图5所示．(2) deg(v2)?4,deg(v4)?3,deg(v6)?0．(3) 图g是多重图．作图如图2. 2．设图g＝v，e，其中v＝{a,b,c,d,e}, e={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图g的图形，并指出图g是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.b e解：图g如图8所示．. 图g中既无环，也无平行边，是简单图． cd 图g是连通图．g中任意两点都连通.图3所以，图g有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图g有12条边，g中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求g中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图g有x个结点，由握手定理2?1+2?2+3?4+3?（x?2?2?3）＝12?23x?24?21?18?27x＝9 故图g有9个结点．图4满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图g(如图5表示)是6个结点a,b,c, d,e,f的图，试求，图g的最小生成树，并计算它的权．c 解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步：取ab＝1；第二步：取af=4第三步：取fe＝3；第四步：取ad=9图5 第五步：取bc=23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树t有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4问它有几片树叶？解：设t有n顶点，则有n－1条边．t中有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其余n－2－1-3个1度顶点．五、证明题1．若无向图g中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设g中的两个奇数度结点分别为u和v．假若u和v不连通．即它们之间无任何通路，则g至少有两个连通分支g1，g2，且u 和v分别属于g1和g2，于是g1和g2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．3【篇二：离散数学图论练习题】题1、设g是一个哈密尔顿图，则g一定是()。
离散数学(图论)课后总结
第八章图论例1、下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列?如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图?a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) d) (1,1,1,1,4) e) (1,2, 2,4,5)解:a)不是, 因为有三个数字是奇数. b) c) d)是.e) 不是简单图,因为它有5个结点, 有一个结点度为5, 必然有环或平行边.例2、已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点的度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么?解:已知边数|E|=10, ∑deg(v)=2|E|=20其中有4个3度结点, 余下结点度之和为: 20-3×4=8 因为G是简单图, 其余每个结点度数≤2, 所以至少还有4个结点.所以G中至少有8个结点.强连通、单侧连通和弱连通在简单有向图G中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通.在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图. 具有弱连通的最大子图,称为弱分图.注：我每次都会被各种分图弄糊涂！！考试时要注意啊，千万不要错了利用可达性矩阵求强分图，注意初等矩阵变换的知识不要忘了！！令图G=<V,E,W>, 集合Si V Si’=V-Si , 令|V|=nSi={u|从u0到u的最短路已求出}Si’={u’|从u0到u’的最短路未求出}Dijkstra算法:(求从u0到各点u的最短路长)第一步. 置初值: d(u0,u0)=0 d(u0,v)=∞(其中v≠u0)i=0 S0={u0} S0’=V-S0 ,第二步.若i=n-1 则停. 否则转第三步第三步. 对每个u’∈Si’计算d(u0,u’)=min{d(u0,u’), d(u0,ui)+c(ui,u’)} ui ∈Si计算min{d(u0,u’)}u’∈S i’并用ui+1记下达到该最小值的那个结点u’置Si+1 =Si∪{ui+1} i=i+1 Si’=V-Si , 转第二步.例3、求最短路解：例.求右图中从v1到v6的最短路1.置初值: u0=v1d(u0,u0)=0d(u0,v2)=d(u0,v3)=d(u0,v4)=d(u0,v5)=d(u0,v6)=∞2.3. i=0 S0={v1} S0’={v2,v3,v4,v5,v6}d(u0,v2)=min{d(u0,v2), d(u0,u0)+c(u0,v2)}=min{∞,0+3}=3d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u0)+c(u0,v3)}=min{∞,0+∞}=∞d(u0,v4)=min{d(u0,v4), d(u0,u0)+c(u0,v4)}=min{∞,0+5}=5d(u0,v5)=min{d(u0,v5),d(u0,u0)+c(u0,v5)}=min{∞,0+∞}=∞d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u0)+c(u0,v6)}=min{∞,0+∞}=∞min{3,∞,5, ∞,∞}=3ui+1 =u1=v2 , 实际已求出d(u0,v2)=3, 路是u0v2i=1 S1={v1, v2}S1’={v3,v4,v5,v6}u1=v2d(u0,u1)=3d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u1)+c(u1,v3)}=min{∞,3+6}=9d(u0,v4)=min{d(u0,v4), d(u0,u1)+c(u1,v4)}=min{5,3+1}=4d(u0,v5)=min{d(u0,v5),d(u0,u1)+c(u1,v5)}=min{∞,3+∞}=∞d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u1)+c(u1,v6)}=min{∞,3+∞}=∞min{9,4,∞,∞}=4ui+1 =u2=v4 , 实际已求出d(u0,v4)=4, 路是u0v2v4i=2 S2={v1, v2 ,v4}S2’={v3,v5,v6}u2=v4d(u0,u2)=4d(u0,v3)=min{d(u0,v3), d(u0,u2)+c(u2,v3)}=min{9 ,4+3}=7d(u0,v5)=min{d(u0,v5), d(u0,u2)+c(u2,v5)}=min{∞,4+1}=5d(u0,v6)=min{d(u0,v6), d(u0,u2)+c(u2,v6)}=min{∞,4+∞}=∞min{7,5,∞}=5ui+1 =u3=v5 , 实际已求出d(u0,v5)=5, 路是u0v2v4 v5i=3 S3={v1, v2 ,v4 ,v5}S3’={v3,v6}u3=v5d(u0,u3)=5d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u3)+c(u3,v3)}=min{7 ,5+3}=7d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u3)+c(u3,v6)}=min{∞,5+6}=11 min{7,11}=7ui+1 =u4=v3 , 实际已求出d(u0,v3)=7, 路是u0v2v4 v3i=4 S3={v1, v2 ,v4 ,v5, v3} S3’={v6} u4=v3 d(u0,u4)=7 d(u0,v6)=min{d(u0,v6),d(u0,u4)+c(u4,v6)}=min{11,7+3}=10min{10}=10ui+1 =u5=v6 , 实际已求出d(u0,v6)=10, 路是u0v2v4 v3 v6i=5 (n-1) 时算法停止.例4、求关键路径。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
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离散数学图论答案【篇一：离散数学图论习题】综合练习一、单项选择题1．设l是n阶无向图g上的一条通路，则下面命题为假的是( )． (a) l可以不是简单路径，而是基本路径 (b) l可以既是简单路径,又是基本路径 (c) l可以既不是简单路径，又不是基本路径 (d) l可以是简单路径，而不是基本路径答案：a2．下列定义正确的是( )．(a) 含平行边或环的图称为多重图(b) 不含平行边或环的图称为简单图 (c) 含平行边和环的图称为多重图(d) 不含平行边和环的图称为简单图答案：d3．以下结论正确是 ( )．(a) 仅有一个孤立结点构成的图是零图 (b) 无向完全图kn每个结点的度数是n (c) 有n(n1)个孤立结点构成的图是平凡图(d) 图中的基本回路都是简单回路答案：d4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )． (a)(1,1,1,2,3) (b) (1,2,3,4,5) (c) (2,2,2,2,2) (d) (1,3,3,3) 答案：b5．下列数组能构成简单图的是( )． (a) (0,1,2,3)(b) (2,3,3,3)(c) (3,3,3,3)(d) (4,2,3,3) 答案：c6．无向完全图k3的不同构的生成子图的个数为（）． (a) 6 (b)5(c) 4 (d) 3 答案：c7．n阶无向完全图kn中的边数为（）．(a)n(n?1)n(n?1)(b) (c) n (d)n(n+1) 22答案：b8．以下命题正确的是( )．(a) n(n?1)阶完全图kn都是欧拉图(b) n(n?1)阶完全图kn都是哈密顿图(c) 连通且满足m=n－1的图v,e(?v?=n,?e?=m)是树 (d) n(n?5)阶完全图kn都是平面图答案：c10．下列结论不正确是( )．(a) 无向连通图g是欧拉图的充分必要条件是g不含奇数度结点(b) 无向连通图g有欧拉路的充分必要条件是g最多有两个奇数度结点 (c) 有向连通图d是欧拉图的充分必要条件是d的每个结点的入度等于出度(d) 有向连通图d有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等1于出度答案：d11．无向完全图k4是（）．（a）欧拉图（b）哈密顿图（c）树答案：b12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个．(a) 2 (b) 3(c) 4(d) 5 答案：a13．设g是有n个结点，m条边的连通图，必须删去g的( )条边，才能确定g的一棵生成树．(a) m?n?1 (b) n?m (c) m?n?1 (d) n?m?1 答案：a14．设g是有6个结点的完全图，从g中删去( )条边，则得到树． (a) 6 (b) 9 (c) 10 (d) 15 答案：c二、填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列，此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图k3的所有非同构生成子图有个．答案：43．设图g??v,e?，其中?v??n,?e??m．则图g是树当且仅当g是连通的，且m?．答案：n－14．连通图g是欧拉图的充分必要条件是答案：图g无奇数度结点 5．连通无向图g有6个顶点9条边，从g中删去g的一棵生成树t．答案：46．无向图g为欧拉图，当且仅当g是连通的，且g中无答案：奇数度7．设图g??v,e?是简单图，若图中每对结点的度数之和，则g一定是哈密顿图．答案：?8．如图1所示带权图中最小生成树的权是．答案：12三、化简解答题1．设无向图g＝v,e，v={v1，v2，v3，v4，v5，v6}， e={( v1，v2), ( v2，v2), ( v4，v5), ( v3，v4), ( v1，v3),( v3，v1), ( v2，v4)}． (1) 画出图g的图形；2图15图22(2) 写出结点v2, v4，v6的度数； (3) 判断图g是简单图还是多重图．解：(1) 图g的图形如图5所示．(2) deg(v2)?4,deg(v4)?3,deg(v6)?0．(3) 图g是多重图．作图如图2. 2．设图g＝v，e，其中v＝{a,b,c,d,e}, e={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图g的图形，并指出图g是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.b e解：图g如图8所示．. 图g中既无环，也无平行边，是简单图． cd 图g是连通图．g中任意两点都连通.图3所以，图g有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图g有12条边，g中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求g中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图g有x个结点，由握手定理2?1+2?2+3?4+3?（x?2?2?3）＝12?23x?24?21?18?27x＝9 故图g有9个结点．图4满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图g(如图5表示)是6个结点a,b,c, d,e,f的图，试求，图g的最小生成树，并计算它的权．c 解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步：取ab＝1；第二步：取af=4第三步：取fe＝3；第四步：取ad=9图5 第五步：取bc=23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树t有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4问它有几片树叶？解：设t有n顶点，则有n－1条边．t中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其余n－2－1-3个1度顶点．五、证明题1．若无向图g中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设g中的两个奇数度结点分别为u和v．假若u和v不连通．即它们之间无任何通路，则g至少有两个连通分支g1，g2，且u和v分别属于g1和g2，于是g1和g2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．3【篇二：离散数学图论练习题】题1、设g是一个哈密尔顿图，则g一定是()。
(1) 欧拉图 (2) 树 (3)平面图(4) 连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( ) (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。
4、设g是一棵树，则g 的生成树有( )棵。
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定5、n阶无向完全图kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。
7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。
8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。
9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。
(1) {a，ab，110，a1b11}(2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。
12、设g是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4)不能确定。
13、设t=〈v,e〉是一棵树，若|v|1，则t中至少存在( )片树叶。
14、任何连通无向图g至少有( )棵生成树，当且仅当g 是()，g的生成树只有一棵。
15、设g是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。
16、设t是一棵树，则t是一个连通且( )图。
17、设无向图g有16条边且每个顶点的度数都是2，则图g有()个顶点。
(1) 10(2) 4(3) 8 (4) 1618、设无向图g有18条边且每个顶点的度数都是3，则图g有()个顶点。
(1) 10(2) 4(3) 8 (4) 1219、任一有向图中，度数为奇数的结点有()个。
20、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( )条边围成？ (1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 521、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条 (3) 最多有n条 (4) 至少有n 条22、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（(1) 5 (2) 7 (3) 8(4) 923、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。
(1) n (2) 2n (3) n-1(4) 2 24、下列哪一种图不一定是树（）。
(1) 无简单回路的连通图 (2) 有n个顶点n-1条边的连通图 (3) 每对顶点间都有通路的图 (4) 连通但删去一条边便不连通的图 25、连通图g是一棵树当且仅当g中（）。
(1) 有些边是割边 (2) 每条边都是割边(3) 所有边都不是割边(4) 图中存在一条欧拉路径26．对于无向图，下列说法中（）是正确的. a．不含平行边及环的图称为完全图b．任何两个不同结点都有边相连且无平行边及环的图称为完全图c．具有经过每条边一次且仅一次回路的图称为哈密尔顿图 d．具有经过每个结点一次且仅一次回路的图称为欧拉图27．设图g的邻接矩阵为0100?00011100000100101010??则g的边数为( )．a．5b．6c．3d．4 28．设图g＝v, e，则下列结论成立的是 ( )．a．deg(v)=2?e?b．deg(v)=?e?）。
c．deg(v)2e d．?deg(v)?ev?vv?v29．图g如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ．a．{(a, d)}是割边 b．{(a, d)}是边割集 c．{(d, e)}是边割集d．{(a, d) ,(a, c)}是边割集30．设g是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．a．e－v＋2b．v＋e－2c．e－v－2d．e＋v＋2 31．无向图g存在欧拉通路，当且仅当( )．a．g中所有结点的度数全为偶数 b．g中至多有两个奇数度结点c．g连通且所有结点的度数全为偶数 d．g连通且至多有两个奇数度结点二、填空题1．已知图g中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则g的边数是．2．设给定图g(如右图所示)，则图g的点割集是．3．设无向图g＝v, e是汉密尔顿图，则v的任意非空子集v1，都有 ??v1?．4．设有向图d为欧拉图，则图d中每个结点的入度．5．设完全图kn有n个结点(n?2)，m条边，当时，kn中存在欧拉回路．6．给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素合构成前缀码．e da ?d bfea?bf c三、计算题1．设图g??v，e?，其中v??a1, a2, a3, a4, a5?,ea1, a2?，?a2, a4?，?a3, a1?，?a4, a5?，?a5, a2??（1）试给出g的图形表示；（2）求g的邻接矩阵；（3）判断图g是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．图g=v, e，其中v={a, b, c, d, e, f }，e={(a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e), (d, f), (e, f)}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出g的图形；（2）写出g的邻接矩阵；a 2 c15 69b2 d（3）求出g权最小的生成树及其权值．问：如果结点集是v={a, b, c, d, e }，边集e={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，那么会求吗？3．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树；（2）计算它们的权值．160 ?65 95解：（1）最优二叉树如右图所示：42 3453 1724 191055问：如果一组权为2,3,6,9,13,15,能否画出最优二叉树？【篇三：离散数学习题解答第6部分(图论)】1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。