第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质作业课件新版北师大版
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1.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质课件+2023—2024学年北师大版数学九年级上册
13. （易错题）四边形 ABCD 是菱形，∠ BAD ＝60°， AB
＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 在 AC 上.若 OE
＝ 3 ，则 CE 的长为
4 或2
.
14. （贵阳市白云区五中月考）如图，点 P 为菱形 ABCD
对角线 BD 上一点，连接 PA ， PC ，点 E 在边 AD 上，且
AB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 CE .
（1）求证： BD ＝ EC ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱
形，∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD ，
又∵ BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD ，∵ BE
∥ CD ，∴四边形 BECD 是平行四边
形，∴ BD ＝ EC .
（2）若∠ E ＝50°，求∠ BAO 的大小.
60°， BD ＝7，则菱形 ABCD 的周长为 28 .
（第6题图）
知识点三 菱形的对角线的性质
7. （贵阳中考）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此
菱形的周长是（ B ）
A. 5
B. 20
C. 24
D. 32
8. （2023湘潭中考）如图，菱形 ABCD 中，连接 AC ，
BD ，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
∠ AEP ＝∠ DCP . 求证： PC ＝ PE .
证明：∵四边形 ABCD 是菱形.
∴ AD ＝ CD ，∠ ADP ＝∠ CDP ，
∵ DP ＝ DP ，∴△ ADP ≌△ CDP （SAS），
∴ PA ＝ PC ，∠ DAP ＝∠ DCP ，
又∵∠ AEP ＝∠ DCP ，∴∠ AEP ＝∠ DAP ，
1.1+菱形的性质与判定+第1课时菱形的性质+课件+2024-2025学年北师大版数学九年级上册
相垂直 ； 菱形也是中心对称图形，对称中心是对角
线的交点.
知识导航
（3）菱形特有的性质：
定理：菱形的四条边 相等 .
定理：菱形的对角线 互相垂直 ，并且每一条对角线
平分一组对角.
注意：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
典例导思
题型一 利用菱形的性质进行计算学用P1
∴ BF ＝ CF ＝ BC .
∴ CF ＝ CE .
（第4题）
在△ CEM 和△ CFM 中，
∵ CE ＝ CF ，∠ MCE ＝∠ MCF ， CM ＝ CM ，
∴△ CEM ≌△ CFM （SAS）.
∴ ME ＝ MF.
典例导思
如答案图，延长 AB ， DF ，相交于点 G .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ G ＝∠2.
∴ EH ＝ .
∴ EF ＝
＋ ＝
+
＝
.
（答案图）
典例导思
题型二 利用菱形的性质进行推理
如图，在菱形 ABCD 中， E ， F 分别是 CB ， CD 上
的点，且 BE ＝ DF .
（1）求证： AE ＝ AF ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D .
C. 2.5
D. 5
（第1题）
典例导思
2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AB
的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F ，连接 DF ，若∠ BAD ＝
线的交点.
知识导航
（3）菱形特有的性质：
定理：菱形的四条边 相等 .
定理：菱形的对角线 互相垂直 ，并且每一条对角线
平分一组对角.
注意：菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
典例导思
题型一 利用菱形的性质进行计算学用P1
∴ BF ＝ CF ＝ BC .
∴ CF ＝ CE .
（第4题）
在△ CEM 和△ CFM 中，
∵ CE ＝ CF ，∠ MCE ＝∠ MCF ， CM ＝ CM ，
∴△ CEM ≌△ CFM （SAS）.
∴ ME ＝ MF.
典例导思
如答案图，延长 AB ， DF ，相交于点 G .
∵ AB ∥ CD ，∴∠ G ＝∠2.
∴ EH ＝ .
∴ EF ＝
＋ ＝
+
＝
.
（答案图）
典例导思
题型二 利用菱形的性质进行推理
如图，在菱形 ABCD 中， E ， F 分别是 CB ， CD 上
的点，且 BE ＝ DF .
（1）求证： AE ＝ AF ；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝∠ D .
C. 2.5
D. 5
（第1题）
典例导思
2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AB
的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F ，连接 DF ，若∠ BAD ＝
北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定(第1课时)课件
结
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
所有对角线互相垂直的四边形的面积都 等于其两条对角线乘积的一半.
教学过程
分层作业
课
第一层：第4页习题1、2题.
后
巩
第二层：第4页习题1、2、3、4题.
固
教学过程
结 束
感谢聆听
新
课
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相垂直. 有两条对称轴，它们互相垂直.
将△ABO沿点A到点C的方向平移, 通过上面的折纸活动，我们可以发现：
已知：如图 ，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点O.
精 得到△A'B'O'.当点A'与点C重合 定理(边的性质): 菱形的四条边相等. 析 时,点A与点B'之间的距离为 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.
A
授 （2)AC⊥BD.
B
O
C
D
教学过程
证一证
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
你能列举一些这样的性质吗？
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
通过上面的折纸活动和证明，菱形有如下的性质： （2）菱形中有哪些相等的线段？
新 ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）. 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
新 对称图形.
授
定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
菱形及其性质PPT课件(北师大版)
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
特别提醒: 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一 组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本 判定方法.
感悟新知
例例11：如图1-1-1，在△ ABC中，CD平分∠ ACB交 知1－练
感悟新知
知3－练
例例33：如图1-1-3，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm。求菱形的周长。
解题秘方：紧扣菱形边的性质、对角线的性质进行解答。
解法提醒: 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的
直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线 段的长转化为求直角三角形中相关线段的长， 再利用勾股定理来计算.
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形及其性质
学习目标
1 课时讲授 2 课时流程
菱形的定义 菱形的判定 菱形对角线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.视察这些平 行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
复习提问 引出问题
感悟新知
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，AO= 12AC，BO= 12BD. ∵ AC=6 cm，BD=12 cm， ∴ AO=3 cm，BO=6 cm. 在Rt △ ABO 中，由勾股定理 得AB= AO2+BO2 = 32+62 =35 （cm）， ∴菱形的周长=4AB=4×35 =125 （cm）.
AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC 交AC 于点
九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定课件 (新版)北师大版
新知 3 菱形的面积
【例3】如图S1-1-7，菱形ABCD 的对角线相交于点O，AC=6 cm, BD=8 cm，则菱形的高AE为
_______cm. 解析 先根据已知条件求
出菱形ABCD的边长，再根据菱 形的面积公式即可求出菱形的高AE的长.
答案 4.8
举一反三
1. 菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为 ____1__2_____.
线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，
则OH的长等于
()
A. 3.5
B. 4
C. 7
D. 14
解析 ∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD.
∵H为AD边的中点，
∴OH是△ABD的中位线.
答案 A
举一反三
1. 如图S1-1-4，菱形ABCD的边
长为4，∠ABC=60°，点E，F分
上册 第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
课前预习
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
A. 对角相等
B. 对边相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角线相等
2. 如图S1-1-1，在菱形ABCD中，AC与BD
相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长
AB等于
（D）
A. 10
B.
C. 6
D. 5
形）.
举一反三
（2015青海）如图S1-1-6，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平
分∠BAD，CE∥DA交AB于点E. 求证：四边形ADCE是菱形.
证明：∵AB∥DC，CE∥DA， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD=∠CAE. 又∵CE∥DA， ∴∠ACE=∠CAD. ∴∠ACE=∠CAE. ∴AE=CE. 又∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是菱形.
1.1菱形的性质与判定 课件-北师大版数学九年级上册
知1－练
知1－练
1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE.
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
知2－练
3-1.[中考·安徽] 如图，在菱形ABCD 中，AB=1， ∠ DAB=60°，则AC 的长为( D )
A.
1 2
B.1
C.23
D. 3
知识点 3 菱形的判定
知3－讲
元 素
边定 义 法
定 理
对定 角理 线
文字语言
有一组邻边相 等的平行四边 形叫做菱形
四边相等的四 边形是菱形
对角线互相垂 直的平行四边
四边形ቊ对角四线边互相都垂相直等平→分菱形→菱形
平行四边形ቊ对有一角组线邻互边相相垂等直→→菱菱形形
知3－讲
知3－练
知1－练
知1－练
(2)若AB=AC， 判断四边形ACDE 的形状，并说明理由. 解：四边形ACDE是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD. 又∵AB＝AC，∴CD＝AC. 又由(1)知四边形ACDE是平行四边形， ∴四边形ACDE是菱形．
知识点 2 菱形的性质
知2－讲
菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对角线互相 ∵四边形ABCD 是菱形，
垂直 ∴ BD ⊥ AC
北师大版九年级数学上册 1.1.1菱形的性质 课件(共31张PPT)
平行四边形
菱形
思考
归纳总结
定义：
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
思考
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
（第4题图）
4.如图，四边形 是菱形， 是两条对角线的交点，过点 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的面积为24时，阴影部分的面积为____．
12
知识点三 菱形的性质
（第5题图）
5.如图， 为菱形 的对角线，已知 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
D
A.12 B.16 C.10 D.5
（第9题图）
9.如图，在 中， , ，以点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 , 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 的长为_ _____．
10.如图，点 为菱形 的对角线 上一点，连接 ， .点 在边 上，且 .求证： .
. 四边形 是菱形， . . . .
（2） 若 ，求菱形 的周长．
解：由（1）知， ， . . 菱形 的周长 ．
周长=边长的四倍
角
对角线
1.两组对边平行且相等2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
新北师大版九年级数学上册1.1《菱形的性质与判定》课件(共2课时)
端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行
四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两
个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形 呢？
图 20.3.1
如图20.3.2，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平 行四边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形． 由此可以得到判定菱形的一种方法： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
结论： 菱形是轴对称图形，有2条
对称轴，它们互相垂直。
首先它具有平行四边形的一考：菱形的对角线有什么特征呢？
2、菱形的对角线互相垂直。
小试牛刀
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. A 分析:由菱形的定义,利用平 行四边形性质可使问题得证.
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定—判定
驶向胜利 的彼岸
想一想
1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的特征 菱形是一个轴对称图形
（Ａ）菱形的四条边都相等 （Ｂ）菱形的对角线互相垂直 我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除 此之外，还能找到其他的判定方法吗？
如图20.3.3，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互 相垂直，我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC 又∵AC⊥BD ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线 ∴ AB＝BC ∴ 四边形ABCD是菱形
图 20.3.3
例如图20.3.4，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线
四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两
个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形 呢？
图 20.3.1
如图20.3.2，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平 行四边形．
图 20.3.2
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形． 由此可以得到判定菱形的一种方法： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
结论： 菱形是轴对称图形，有2条
对称轴，它们互相垂直。
首先它具有平行四边形的一考：菱形的对角线有什么特征呢？
2、菱形的对角线互相垂直。
小试牛刀
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. A 分析:由菱形的定义,利用平 行四边形性质可使问题得证.
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定—判定
驶向胜利 的彼岸
想一想
1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的特征 菱形是一个轴对称图形
（Ａ）菱形的四条边都相等 （Ｂ）菱形的对角线互相垂直 我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除 此之外，还能找到其他的判定方法吗？
如图20.3.3，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互 相垂直，我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC 又∵AC⊥BD ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线 ∴ AB＝BC ∴ 四边形ABCD是菱形
图 20.3.3
例如图20.3.4，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线