(江苏专用)高考数学专题4三角函数、解三角形34三角函数中的易错题理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题4 三角函数、解三角
形 34 三角函数中的易错题 理
2．(2015·河北衡水冀州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4
个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为________．
3．已知平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是________．
4．(2015·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝60°，若三角形有两解，则b 的取值范围为________．
5．在四边形ABCD 中，BC ＝2，DC ＝4，且∠A ∶∠ABC ∶∠C ∶∠ADC ＝3∶7∶4∶10；则AB ＝________.
6．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈(－π2，3π2
)，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是________．
7．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，则sin α的值为________．
8．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为________．
9．(2015·辽宁三校联考)已知函数f (x )＝|cos x |sin x ，给出下列五个说法：
①f (2 014π3)＝－34
； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；
③f (x )在区间[－π4，π4
]上单调递增； ④函数f (x )的周期为π；
⑤f (x )的图象关于点(－π2
，0)成中心对称． 其中正确说法的序号是________．
10．(2015·临沂月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图象关于点(π6
，0)对称．
(1)当x ∈(0，π2
)时，求f (x )的值域； (2)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314
，求△ABC 的面积．
答案解析
1．0
解析 sin α1－sin 2α＋1－cos 2
αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，因为α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以α是第二或第四象限角，sin α与cos α异号，所以原式＝0.
2．y ＝2sin 2
x
解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －π2
)＝－cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为y ＝－cos 2x ＋1＝2sin 2x .
3．16
解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，
则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得a ＝5，b ＝4，
cos α＝35，sin α＝45
，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 4．(1，233
) 解析 ∵△ABC 中，a ＝1，A ＝60°， ∴由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝132
＝233， ∴b ＝233
sin B ，B ＋C ＝120°. ∵三角形有两解，∴A <B <180°－A ，且B ≠90°，
∴60°<B <120°，且B ≠90°，
即32<sin B <1，∴b 的取值范围为(1，233
)． 5．3 2
解析 连结BD ，由题意得
∠A ＝45°，∠ABC ＝105°，∠C ＝60°，∠ADC ＝150°，
∴在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C
＝22＋42－2×2×4×12
＝12， ∴BD ＝23，∵BC ＝2，DC ＝4，
∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴∠CBD ＝90°.
∵∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝15°，
∴∠BDA ＝120°，
∵在△ABD 中，有AB sin∠ADB ＝BD sin A
， ∴AB ＝BD sin∠ADB sin A ＝23sin 120°sin 45°
＝3 2. 6．[0,2)
解析 函数化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2cos x ，x ∈－π2，π2]，0，x ∈π2，3π2，
画出f (x )的图象可以看出，要使方程f (x )＝k 至少有两个根，k 应满足0≤k <2. 7.3130130
解析 ∵π2<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2
， 而sin(2α－β)＝35
>0， ∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513
， ∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]
＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β
＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665
. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130
. 又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 8．[2，6)
解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C
， 得ac ＝b 2sin 2B ·sin A sin C ⇒4＝43
b 2sin A sin(120°－A )， 即b 2＝3sin A sin 120°－A ＝3sin A
32cos A ＋12sin A ＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14
1－cos 2A ＝6
sin 2A －30°＋12， 因为30°<A <90°，所以30°<2A －30°<150°，
1<sin(2A －30°)＋12≤32
， 所以632
≤b 2<61
，即4≤b 2<6，所以2≤b < 6. 9．①③
解析 ①f (2 014π3)＝f (671π＋π3)＝|cos(671π＋π3)|·sin(671π＋π3)＝cos π3
(－
sin π3)＝－34
，正确． ②令x 1＝－π4，x 2＝5π4
，则|f (x 1)|＝|f (x 2)|， 但x 1－x 2＝－6π4＝－3π2
， 不满足x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )，不正确．
③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12sin 2x ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，－12sin 2x ，2k π＋π2<x <2k π＋3π2
，k ∈Z ，
∴f (x )在[－π4，π4
]上单调递增，正确． ④f (x )的周期为2π，不正确．
⑤∵f (－π＋x )＝－|cos x |sin x ， f (－x )＝－|cos x |sin x ，
∴f (－π＋x )＋f (－x )≠0，
∴f (x )的图象不关于点(－π2
，0)成中心对称，∴不正确． 综上可知，正确说法的序号是①③.
10．解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )， ∴f (x )＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2
x sin A ＋sin A
＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )．
∵函数f (x )的图象关于点(π6，0)对称，∴f (π6
)＝0， 即sin(2×π6
－A )＝0. 又A ∈(0，π)，∴A ＝π3
. ∴f (x )＝sin(2x －π3
)． ∵x ∈(0，π2)，∴2x －π3∈(－π3，2π3
)， ∴－32<sin(2x －π3)≤1，
即函数f (x )的值域为(－32
，1]． (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C
， 得sin B ＋sin C ＝b sin A a ＋c sin A a
， 又∵a ＝7，A ＝π3，∴sin B ＋sin C ＝314
(b ＋c )． ∵sin B ＋sin C ＝13314
，∴b ＋c ＝13. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
得49＝b 2＋c 2－bc ，
即49＝(b ＋c )2－3bc ＝169－3bc ，∴bc ＝40.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.。