第二章作业解答

解：（1）如图所示， 在ϕ处任取微元段ad ϕ，相应微元电荷为ad ρϕ，则其在轴线上z 处产生的电场方向如图所示，大小为
2
2
014ad dE a z
ρϕ
πε=
+
于是，
sin dE dE θ⊥= ，cos dE dE θ=
由对称性易知，0E dE ⊥⊥==⎰
而
cos θ=，
故
()()
23/23/20
2222001124az Qz
E E dE a z a z π
ρεπε====
=++⎰⎰
即
()3/2
22014z
Qz
E e a z πε=+
（2）如图，在r 处任取微元环，其面积为2rdr π，相应微元环上的电荷为(2)s rdr ρπ，则由上面计算的结果，易写出微元环电荷在轴线上z 处产生的电场为
()3/2
220(2)1
4s z
rdr z
dE e r z ρππε=+
所以，
()()(
)2
3/23/2
002222001/2
220
00202414(3/2)1121
2a a s s z z
a
s z s z z z z rdr dr E e e r z r z z e r z z e z Qz e a z
ρρεερερεπε-==++=+-+⎛⎫= ⎝⎛⎫
=
⎝⎰⎰
解：（1）如图， 在x 处取微元段dx ，相应微元电流为z I
e dx w
，则其在中垂面上y 处产生的磁感应强度方向如图所示，大小为
I dx dB =
于是，
cos dB dB θ⊥=- ，sin dB dB θ=-
由对称性易知，0B dB ⊥⊥==⎰
则，
()()()()()02222
22
2
22
00022220
02
02arctan 211arctan 2w w w
w w w w w w
w I dx I ydx B B dB w x y d x y d x y I I I
x y w w w x y x y I w
w y
μπμμμπππμπ----====-+=-=-=-++=-
⎰⎰⎰⎰⎰ 即，
0arctan 2x I
w B e w y
μπ=-
P 61 题2.30
解：由 B
E t
∂∇⨯=-∂ ， 可得 ()
B E dt =-∇⨯⎰
而 ()()()()
000cos 00sin sin x y z
x y y x y y e e e E t z E E e e x y z z z E e E t z e E t z ωβωβββωβ∂-⎡⎤∂∂∂∂⎛⎫⎣
⎦∇⨯==--= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭=---=-⎡⎤⎣⎦ 所以， ()()0
0sin cos y y
E B e E t z dt e t z C ββωβωβω
=--=-+⎰ 为方便起见，可取 0C =，
dB
因此， ()
c o s y E B e t z βωβω
=- ()0
00cos y E B H e t z βωβμμω
==-
()
()()
00000cos sin D x x E D J e E t z t t t
e E t z εεωβεωωβ∂∂∂===-⎡⎤⎣⎦∂∂∂=--
P 61 题2.31
解：在自由空间中，0J = ， 于是 D H t
∂∇⨯=∂
， 又 ()0
c o s s i n y x
H e H t z a πωβ=- 从而，
()()
000
cos cos sin sin x y z
y y D x z y x z e e e H H D J H e e t x y z z x H H x x e H t z e t z a a a
πππβωβωβ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂==∇⨯==-
+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
=---
对上式积分，有
()()()()
000
cos cos sin sin cos sin sin cos x z x z H x x D e H t z dt e t z dt
a a a
H H x x e t z e t z a a a
πππβωβωββπππωβωβωω=---=-+-⎰⎰
则 ()()00
000cos sin sin cos x z H H D x x E e t z e t z a a a
βπππωβωβεωεωε==-+-
P 61 题2.34 解：（1） 0
0,,t t r =R r =R
E E =外内
， 即 0
0,r =R r =R
E E θθ=,外内
， 即
300
sin sin A B
R R θθ= 所以， 2
0B R A =
相应地，()()0
2
00
3
cos sin ,2cos sin ,r r A e e r R R E R A e e r R r θθθθθθ⎧-+<⎪⎪
=⎨⎪+>⎪⎩
（2）
2000300
2cos cos S n r n r r=R r=R
R A A
D D D D R R ρεθεθ=-=-=+,外,外,内,内
所以 00
3c o s S A
R ερθ=
()222200
00
22
00000
3sin cos sin 13sin cos 32sin 02S A
Q R d d R d d R AR d d AR π
π
π
π
π
π
π
ερθθϕθθθϕεϕθθθεπ
θ=====⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
（3） 在球坐标系中，由哈密顿算子对任意矢量的散度公式可知，
()()2
22002000000
sin 11sin 11cos sin sin sin 22cos cos 0
r r D D D r r r A A r r r R r R A A
rR rR θθρθθ
εεθθθθθεεθθ∂∂=∇=+
∂∂⎛⎫⎛
⎫∂∂=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
=-+= ,内,内内内 ()()2222200002332200002
23
sin 11sin 112cos sin sin sin 2cos 112sin cos sin 0
r r D D D r r r R A R A r r r r r r R A R A r r r r θθρθθ
εεθθθθθεθεθθθ∂∂=∇=+
∂∂⎛⎫⎛
⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
=
-+ ⎪⎝⎭
= ,外,外外外。