必修五 新课标人教B版] [原创]不等式的均值定理

高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式一学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．理解均值定理的内容及几何意义，会用均值定理去解实际简单的最值问题。

1．不等式的对称性用字母可以表示为 ． 2．不等式的传递性用字母可以表示为____________________．
3．不等式的加减法则是指不等式两边都加上（或减去）同一个数（或整式）不等号方向不变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相加，用字母可以表示为 ．
4．不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可以表示为 ；同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母可以表示为 ；由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示为 。

5．乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先
变形。

如：a<b<0,则a 2 b 2，a 3 b 3
6．倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字母可以表示为 ；若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒数的大小自然易判断，如－3<5,那么倒数大小关系为 。

均值定理 如果,,R b a ∈那么
ab b a ≥
+2。

当且仅当b a =时，等号成立。

证明：
算术平均数：
几何平均数：
均值定理可以表述为：
【思考与讨论】
均值不等式与不等式ab b a 22
2
≥+的关系如何？请对此进行讨论。

下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深同学们对均值不等式的理解。

我们可以令正实数b a ,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为2
b a +和ab 的两
条线段，然后比较这两条线段的长。

具体作图如下：
⑴作线段b a AB +=，使;,b DB a AD == ⑵以AB 为直径作半圆O;
⑶过D 点作CD ⊥AB 于D ，交半圆于点C ； ⑷连接AC,BC,OC,则2b a CO +=。

例1已知,0>ab 求证：2≥+b
a a
b ，并推导出式中等号成立的条件。

例2（1）一个矩形的面积为1002m 。

问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
由例2的求解过程，可以总结出以下规律：
例3求函数())0(3
22
>-+-=x x
x x x f 的最大值，以及此时x 的值。

巩固检测
1、若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．
2、已知x>1.5，则函数y ＝2x+
3
24-x 的最小值是_________．
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课题：均值不等式二学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件； 2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。

⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。

其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件） （1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a （ ） （3）
a
b ＋
b
a （ ） （4）x ＋
x
1 (x>0)
（5）x ＋x
1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。

例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a
1 +b
1+c
1≥9．
例⒉（1）已知x<
4
5，求函数y=4x －2+
5
41-x 的最大值．
（2）已知x>0，y>0，且+
x
1y
9＝1，求x ＋y 的最小值。

（3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2
+(x-b)2
的最小值。

一．选择题：
⒈下列命题正确的是（ ）
Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+
x
1│≥2 Ｃ．
ab
b a +≤2 Ｄ．sinx+
x
sin 4最小值
⒉以下各命题(1)x 2
+
1
12
+x 的最小值是1；（2）
1
22
2
++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1
则（a+a
1）(b+b
1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ）
Ａ．
a
b ＋
b
a ≥2 Ｂ．a 2+
b 2≥2ab Ｃ．
a
b
2
＋
b
a
2
≥a ＋b Ｄ．
b
a
11+
≥2+
b
a +2
⒋设a 、b ∈R ＋，若a+b=2，则
b
a
11+的最小值等于（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 ⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ） Ａ．a 2
+b 2
≥2ab Ｂ．2
2
2b a a +≥ Ｃ．b
a a
b ab +≤
2 Ｄ．1
1
2--+≥
b
a
ab
1．2b a +；ab
2．
2
b a +≥ab ；算术平均数
2
b a +；几何平均数ab ；圆中的相交弦定理的推论（略）。

3．a ，b ∈R ＋；a=b
4．⑴≥2ab （a,b ∈R ）⑵≥ab ( a ，b ∈R ＋)⑶≥2（a 、b 同号）或≤－2（a 、b 异号） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（2
b a +）2
（a,b ∈R ）；
5．定。

6．⑴1，1；⑵2，1；⑶21，
2
1；⑷－1，－1。

【典例解析】 例1．解析：原式＝（
a 1 +
b
1+
c
1）（a+b+c ）＝3＋（
b
a a
b +
）＋（
c
a a
c +
）＋（
b
c c
b +
）
≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=3
1时取等号。

例⒉解析： （1）∵x<4
5 ∴4x-5<0 ∴y=4x －2+
5
41-x =(4x-5)+
5
41-x +3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5
＝
5
41-x 时即4x-5＝－1，x ＝1时等号成立，∴当x ＝1时，取最大值是1
（2）解法一、原式＝（x ＋y ）（+
x
1y
9）＝
y
x x
y 9+
+10≥6＋10＝16当且仅当
x
y ＝
y
x 9时等
号成立，又
+
x
1y 9＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。

解法二、由
+x
1y
9＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3
时即x=4，y=12时，取最小值16。

（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略） 解法二、∵
2
2
2
n
m +≥（
2
)
2
n m +∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥
2[
2
)
()(x b a x -+-]2
＝
2
)
(2
b a -，当且仅当x-a=b-x 即x=
2
b a +时，等号成立。

∴当
x=2
b a +时取得最小值
2
)
(2
b a -。

一元二次不等式及其解法 例1解不等式：
（1）;0322
>+-x x （2）0322
<+-x x 。

例2解不等式0412>--x x 。

例3解不等式0442>++x x 。

例4解不等式03422>-+-x x 。

例5求函数()()2
3
2
23log
32x x x x x f -++-+=
的定义域。