第四章状态空间搜索
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人工智能之状态空间搜索.ppt
§01 Three-S 的基本思想 Ruan Xiaogang Institute of Artificial Intelligence & Robots Beijing University of Technology
1.2 事物的特性
变化的和运动的
事物有事物的特性。 事物既有内在特性又有外在特性，内在特性通 常表现为事物固有的和本质的特征，而外在特性通 常表现为事物与环境的关系。 事物的特性是在不断地变化的，或不断地运动 的，因而，被称为动态特性。 事物特性的变化或运动必定是在一定的时间和 空间中发生的。
(问题原态的描述)
在问题求解活动中，事物的特性代表着问题的性 质，事物特性的变化意味着问题性质的变化。
因此，状态空间中状态的运动，意味着事物特性 的变化，意味着问题性质的变化。重要的是，这种运 动是可以通过对事物进行操作来控制的。
§01 Three-S 的基本思想 Ruan Xiaogang Institute of Artificial Intelligence & Robots Beijing University of Technology
1.4 状态是问题的性质
问题求解过程搜索过程
关于状态空间搜索 (Three-S)：
状态 (State)：状态空间中的点，代表问题的性质； 问题原态对应的状态称为初始状态，问题终态所对 应的状态称为目标状态。
状态空间 (State Space)：所有可能的状态的集合。
状态空间搜索 (Search in State Space)： 在状态空间 中搜寻一条由初始状态到目标状态的路径的过程， 即问题求解的过程。
2.1 Three-S 问题的形式化
定义：
状态空间搜索中的问题被定义为一个四元组：
状态空间方程
例2某人存入银行一定数量的钱，假定在t=KT时 有 u(k)元，T为计息周期（例如月），利率为 B，求第K 个周期的本利和y(k)。
系统方程
1 连续系统系统方程 ( t) = f( X(t),u (t), t) 状态方程
•
Y(Xt) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
2离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 系统的阶数
离散系统建模实例
例1 某企业人才系统 例2 城市人口迁移 例3 宏观经济系统建模
例1 考虑企业人才系统。某企业基年有 技术员600人，助工800人，工程师200 人，高工20人。各类人员每年平均脱离
率（包括退休、调离、自然死亡等）分 别为0.05, 0.06, 0.1,和0.09。晋升率分别 为技术员每年晋升助工30%，助工晋升 工程师20%，工程师晋升高工5%，请建
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
例1 宏观经济模型 变量说明: ) Z(t)为总需；C(t)为总消费；I(t)为 总投资；G(t)为政府支出；Y(t)为总供给；K(t) 为总资本存量；vy(t)为期望资本存量。
第四章 状态空间方程
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型，教材P 114；
系统方程
1 连续系统系统方程 ( t) = f( X(t),u (t), t) 状态方程
•
Y(Xt) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
2离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 系统的阶数
离散系统建模实例
例1 某企业人才系统 例2 城市人口迁移 例3 宏观经济系统建模
例1 考虑企业人才系统。某企业基年有 技术员600人，助工800人，工程师200 人，高工20人。各类人员每年平均脱离
率（包括退休、调离、自然死亡等）分 别为0.05, 0.06, 0.1,和0.09。晋升率分别 为技术员每年晋升助工30%，助工晋升 工程师20%，工程师晋升高工5%，请建
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
例1 宏观经济模型 变量说明: ) Z(t)为总需；C(t)为总消费；I(t)为 总投资；G(t)为政府支出；Y(t)为总供给；K(t) 为总资本存量；vy(t)为期望资本存量。
第四章 状态空间方程
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型，教材P 114；
状态空间搜索解读
计算机与信息学院 刘勇
最
优
化
理
论
与
应
用
问题实例——八数码问题
状态：8个棋子在3×3 的棋盘上的任意一个 摆放 初始状态：右上图 算子（后继函数）： left、right、up、down 目标函数：右下图 路径代价：1
计算机与信息学院 刘勇
1 2 7 5 8 3 4 6
初始状态
1 2 3 4 5 6 7 8
计算机与信息学院 刘勇
最
优
化
理
论
与
应
用
深度优先搜索
open
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B,F C,D,E,F D,E,F E,F F G,I H,I I
close
A A,B A,B,C A,B,C,D A,B,C,D,E A,B,C,D,E,F A,B,C,D,E,F,G A,B,C,D,E,F,G,H A,B,C,D,E,F,G,H,I
最
优
化
理
论
与
应
用
B1 广度优先搜索
breadth-first search，BFS A B F C D E G I
A B C D E G H F I
先扩展出的节 点先被考察
计算机与信息学院 刘勇
最
优
化
理
论
与
应
用
广度优先搜索算法
1. 初始化open表、close表为空，定义S为初始状态 结点 2. 将S放入到open表中 3. 如果open表为空，则搜索失败，否则从open表中 取出第一个结点N,将N放入到close表中。 4. 如果N是目标结点，搜索成功，返回N 5. 对N的每一个子结点 i，如果open表和close表中 都没有结点i，那么将结点i其追加到open表的最 后一个元素之后 6. goto 3
最
优
化
理
论
与
应
用
问题实例——八数码问题
状态：8个棋子在3×3 的棋盘上的任意一个 摆放 初始状态：右上图 算子（后继函数）： left、right、up、down 目标函数：右下图 路径代价：1
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初始状态
1 2 3 4 5 6 7 8
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用
深度优先搜索
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B,F C,D,E,F D,E,F E,F F G,I H,I I
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B1 广度优先搜索
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A B C D E G H F I
先扩展出的节 点先被考察
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广度优先搜索算法
1. 初始化open表、close表为空，定义S为初始状态 结点 2. 将S放入到open表中 3. 如果open表为空，则搜索失败，否则从open表中 取出第一个结点N,将N放入到close表中。 4. 如果N是目标结点，搜索成功，返回N 5. 对N的每一个子结点 i，如果open表和close表中 都没有结点i，那么将结点i其追加到open表的最 后一个元素之后 6. goto 3
第四章状态空间模型
t)
=
f(
X(t),u
(t),
t)
状态方程
Y(t) =g(X(t), u(t),t) 输出方程
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
三、差分方程与离散变量的状态空间表达式
离散系统方程
离散系统系统方程 X(k+1) = F X(k)+ GU(k) 状态方程 Y(k) = CX(k) + DU(k) 输出方程 ห้องสมุดไป่ตู้统的阶数
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
七、状态方程应用之二——人口模型
(4)利用模型可研究以下问题： 1）死亡率变化的影响 2）人口扰动的影响 3）计划生育的影响
八、状态方程应用之三——预测产品销售量
第四章 状态空间模型（数学模型）
（数学）模型建模概论
机理法建模 （人口预测模型） 拟合法建模 两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统
状态空间方程实例
连续系统：宏观经济模型 离散系统：1 人才系统；2 宏观经济模型； 3 人口迁移模型
第一节 数学模型建模方法概述
1数学模型定义
第二节 状态空间系统方程
两类系统
连续系统 ：工程系统。（微分方程描述） 离散系统 ：如银行存款本利和（差分方程描
述）。社会经济系统大多为离散系统。
例 1 宏观经济系统模型 例2 银行储蓄
m
图3-13 一般机
例3-4
例3-4
例3-5
例3-5
例3-5
连续系统方程
状态空间搜索
在说它之前先提提状态空间搜索。
状态空间搜索，如果按专业点的说法就是将问题求解过程表现为从初始状态到目标状态寻找这个路径的过程。
通俗点说，就是在解一个问题时，找到一条解题的过程可以从求解的开始到问题的结果（好象并不通俗哦）。
由于求解问题的过程中分枝有很多，主要是求解过程中求解条件的不确定性，不完备性造成的，使得求解的路径很多这就构成了一个图，我们说这个图就是状态空间。
问题的求解实际上就是在这个图中找到一条路径可以从开始到结果。
这个寻找的过程就是状态空间搜索。
常用的状态空间搜索有深度优先和广度优先。
广度优先是从初始状态一层一层向下找，直到找到目标为止。
深度优先是按照一定的顺序前查找完一个分支，再查找另一个分支，以至找到目标为止。
这两种算法在数据结构书中都有描述，可以参看这些书得到更详细的解释。
前面说的广度和深度优先搜索有一个很大的缺陷就是他们都是在一个给定的状态空间中穷举。
这在状态空间不大的情况下是很合适的算法，可是当状态空间十分大，且不预测的情况下就不可取了。
他的效率实在太低，甚至不可完成。
在这里就要用到启发式搜索了。
启发式搜索就是在状态空间中的搜索对每一个搜索的位置进行评估，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到目标。
这样可以省略大量无畏的搜索路径，提到了效率。
在启发式搜索中，对位置的估价是十分重要的。
采用了不同的估价可以有不同的效果。
我们先看看估价是如何表示的。
启发中的估价是用估价函数表示的，如：f(n) = g(n) + h(n)其中f(n) 是节点n的估价函数，g(n)实在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。
在这里主要是h(n)体现了搜索的启发信息，因为g(n)是已知的。
如果说详细点，g(n)代表了搜索的广度的优先趋势。
但是当h(n) >> g(n)时，可以省略g(n)，而提高效率。
这些就深.。
4第四章 传递函数矩阵的状态空间
0 0 1u 1 0
1 2 0 0 0 y x 0 0 0 1 1
系统阶次为n＝5
所以多输入多输出系统的状态空间表达式不仅系数矩阵不 同，而且阶数也可 Nhomakorabea不一样。
5
关于实现的基本性质 1、实现的不唯一性，一个传递函数阵可以对应不同维数的实 现，即使是相同维数的实现，也不只有一种实现； 2、对于每一个传递函数阵一定存在一个维数最小的实现； 3、实现问题的物理本质是对于一个具有“黑箱”形式的真实系 统，在状态空间领域内寻找一个外部等价的假象结构 任务： 如何有规律的建立规范形式？ 如何判断所建立的状态空间表达式的阶次为最小阶次？
2 , 0 p , 0 u1 2 ,n 1 p , n 1 u p
y( s ) 0 0 1x d u
由单输入单输出系统的能观测标准型推广而来，系统一 定能观测，但不一定能控。
15
例：求G2(s)的能观测型实现 解：首先化为严格真分式
11
1,n1 s n 1 1, 0 对G ˆ ( s )作串联分解，引入中间变量z ˆ ( s) 1 G D(s) q ,n1 s n 1 q , 0 1 z ( s ) u ( s) n 1 1,n1 s 1, 0 D( s) y( s ) z(s) d u(s) ( n 1) x z , x z x z n 1 1 2 n q ,n1 s q , 0
取出G(s)的第j列
g j ( s ) g1 j ( s ) g qj ( s )
T
1 T n1 j ( s ) nqj ( s ) d j (s)
第四章 状态空间模型
(4.1.8)
t 1, 2 , , T
8
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与状态方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们随时间改变，但 都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被表示
成当前和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组合，所
4
§4.1 状态空间模型的定义
设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这些
变量与 m1 维向量 t 有关，t 被称为状态向量(其中可以
包含不可观察因素)。定义“量测方程” 或“信号方程” 为:
yt Ztαt dt ut , t 1, 2，,T (4.1.1)
其中：Zt 是 km 矩阵，称为量测矩阵；
Ω
var
ut εt
Ht 0
0 Qt
6
当 k 1 时，变为单变量模型，量测方程可以写为
yt Ztαt dt ut
(4.1.5)
var(ut ) 2 t 1, 2 , , T
其中：Zt 表示 1m矩阵，t 表示 m1状态向量， ut 是方 差为 2 的扰动项。
7
若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
D.W.=2.34
(11.33)
其中 t 、 t、 t分别为各个时点上钢压延加工业销售收入对基本建设投资、
房地产开发投资和出口商品总值的敏感程度，也称为弹性。下面分别分析近
年来基本建设投资、房地产开发投资和出口商品总值对钢材需求的动态影响。
19
1. 基本建设投资对钢材需求的拉动作用
从图11.3中我们可以看出钢材需求的基本建设投资弹性 t 具有较大的 波动性。2000年1月～ 2000年12月间弹性 t 由0.5下降到0.01左右， 2001年
第四章 状态空间模型
第四章 状态空间模型
State Space Models
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡 尔曼滤波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出 了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。 80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许 多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都 能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经 济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量： 理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循 环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量 应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
变量、滞后内生变量等；
ut 是k1量测噪声向量，是均值为0，协方差矩阵为 Ht 的不相关扰动项，即
E(ut ) 0 var(ut ) Ht
(4.1.2)
5
一般地，t 的元素是不可观测的，但是可以表示成一阶
马尔可夫过程。下面定义状态方程或称转移方程为：
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2， ,T
2
UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
3
利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点： 第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果； 其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
State Space Models
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡 尔曼滤波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出 了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。 80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许 多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都 能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经 济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量： 理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循 环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量 应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
变量、滞后内生变量等；
ut 是k1量测噪声向量，是均值为0，协方差矩阵为 Ht 的不相关扰动项，即
E(ut ) 0 var(ut ) Ht
(4.1.2)
5
一般地，t 的元素是不可观测的，但是可以表示成一阶
马尔可夫过程。下面定义状态方程或称转移方程为：
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2， ,T
2
UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的， 必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可 观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估 计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。
3
利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点： 第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量) 并入可观测模型并与其一起得到估计结果； 其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法—— 卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量 和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模 型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
共有12种操作，它们分别是：
A(1, 2) A(1, 3) A(2, 1) A(2, 3) A(3, 1) A(3, 2)
B(1, 2) B(1, 3) B(2, 1) B(2, 3) B(3, 1) B(3, 2)
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
10
猴子摘香蕉问题的解
(a,b,0,0) 初始状态
Goto(b) Pushbox(c)
Goto(b)
(b,b,0,0) Climbbox
Pushbox(c) (c,c,0,0)
(b ,b,1,0)
Climbbox Pushbox(a)
(c,c,1,0)
(a,a,0,0)
a
Pushbox(c)
Pushbox(a)
19
4.3 状态空间搜索的结构 用来描述结点之间关系：祖先、后裔、父母、子女、兄弟
D A
E C
B
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20
4.4 问题的状态空间表示法
图的结点和弧分别表示问题求解过程中解题状态和解题步骤。
初始状态对应于实际问题的已知信息, 是图中的根结点。 目标就是实际问题的解。 状态空间搜索将问题求解过程表现为从初始状态到目标状
态寻找这个路径的过程。
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16
4.3 状态空间搜索的结构
图是结点及连接它们的边的集合。 如果图中每个结点都有一个或多个描述符(标记)使之与
6
83
21 4
765
7
283
714
65
8
23
184
765
9
23
184
765
10
28
143
765
11
283
145
76
12 13
283 283
16 4 1 64
7 5 75
14
83
15
16 17 18 19 20
283 12 3 23 4 2 8 283 283
21 4
71 4 8 4 1 8 14 3 14 5 6 4
4.1 用搜索法对问题求解
一个问题可以形式化地定义为四个组成部分： 初始状态 可能行动的描述 目标测试 路径耗散 问题的解就是从初始状态到目标状态的路径
寻找解的过程就是搜索
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6
A B
123
一个问题可以形式化地定义为四个组成部分：
初始状态
可能行动的描述
目标测试
路径耗散
A
A
B
B
123
123
S0=(1, 1)
S4=(2, 2)
S8=(3, 3)
二阶梵塔问题的初始状态和目标状态
操作分别用A(i, j)和B(i, j)表示: A(i, j): 把金片A从第i号钢针移到j号钢针上； B(i, j): 把金片B从第i号钢针移到第j号钢针上。
其他结点区别开来, 这样的图称为标记图。 有方向性的弧连接的图是有向图。 图中的弧也可以做上标记，用来给关系取名或表示权
值。当一对结点间有多条弧相连时，这种方法可以使 之区别。
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Grasp
(c,c,1,1) 目标状态
c
b
猴子摘香蕉问题的状态空间图
解序列为： {Goto(b), Pushbox(c), Climbbox, Grasp}
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11
3. 八数码问题
724
5
6
831
12 345 678
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12
八数码问题
状态：状态描述了8个棋子中的每一个以及空位在棋盘的9 个方格上的分布。
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
3
4.1 用搜索法对问题求解
状态空间的理论是我们用来回答这些疑问最主要的工具。
图由结点集和连接结点对的弧或边的集合组成。 结点：问题求解中的不同状态（棋局 / 推理结果） 弧：状态之间的转换（一步走棋 / 一条规则运用）
y表示猴子是否在箱子上，当
a
猴子在箱子上时，y取1，否则y
取0；
c
b
z表示猴子是否拿到香蕉，当 拿到香蕉时z取1，否则z取0。
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17
E D
C
A B
结点集={A, B, C, D, E} 弧集={(A,B), (A,D), (B,C), (C,B), (C,D), (D,A),(D,E), (E,C),
(E,D)} 有向图
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2
4.1 用搜索法对问题求解
要成功地设计和实现搜索算法: 问题求解器是否一定能找到一个解? 问题求解器是否能终止运行, 或是否会陷入一个死循环? 当问题求解器找到解时, 找到的是否是最好的解? 搜索过程的时间与空间复杂性如何? 怎样才能最有效地降低搜索的复杂性? 怎样设计才能最有效地利用描述语言?
解：全部可能的问题状态共有以下9种： S0=(1, 1) S1=(1, 2) S2=(1, 3) S3=(2, 1) S4=(2, 2) S5=(2, 3) S6=(3, 1) S7=(3, 2) S8=(3, 3)
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初始状态：任何状态都可以被指定为初始状态。注意要到 达任何一个给定的目标，可能的初始状态中恰好只有一半 可以作为开始。
后继函数：用来产生通过四个行动（把空位向Left，Right ，Up或Down移动）能够达到的合法状态。
目标测试：用来检测状态是否能匹配所要求的目标格局。
路径耗散：每一步的耗散值为1，因此整个路径的耗散值为 路径中的步数。
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4
4.2 问题实例
1. 二阶梵塔问题 2. 设有三根钢针，它们的编号分别是1号、2号和3号。在初
始情况下，1号钢针上穿有A、B两个金片，A比B小，A 位于B的上面。要求把这两个金片全部移到另一根钢针 上，而且规定每次只能移动一个金片，任何时刻都不能 使大的位于小的上面。
(x, x, 0, 0)→(v, v, 0, 0)
Climbbox: 猴子爬上箱子，即
(x, x, 0, 0)→(x, x, 1, 0)
Grasp；猴子拿到香蕉，即
(Dcep,acrt,me1n,t o0f C)o→mp(ucte,r Scci,en1ce, &1T)echnology, Nanjing University Artificial IntComputer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
13
S0 2 8 3 1
14 765
2
283 14
765
3
23 1 84 765
4
283 14 765
5
283 16 4 75
9
初始状态:
S0: (a, b, 0, 0)
S1: (b, b, 0, 0)
S2: (c, c, 0, 0)
S3: (c, c, 1, 0)
S4: (c, c, 1, 1) 目标状态
a
c
b
允许的操作为:
Goto(u)：猴子走到位置u，即
(w, x, 0, 0)→(u, x, 0, 0)
Pushbox(v): 猴子推着箱子到水平位置v，即
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A B