整式知识点思维导图_关于数与式的复习
整式知识点思维导图_关于数与式的复习
完全平方公式进行 式进行相应的代数
简单计算
式的变形
因式分解
了解因式分解的 意义及其与整式 乘法之间的关系
会用提公因式法、 公式法（直接用公 式不超过两次）进 行因式分解（指数 是正整数）
能运用因式分解的 知识进行代数式的 变形，解决有关问 题
分式的概念
了解分式的概念， 能确定分式有意 义的条件
能确定使分式的值 为零的条件
了解平方根及算术平方 根的概念，了解开方与 乘方互为逆运算，会用 根号表示非负数的平方 根及算术平方根
了解立方根的概念，会 用根号表示数的立方根
能根据要求用有理数 估计一个无理数的 （大致）范围
会用平方运算求某些 非负数的平方根（会 用计算器求平方根）
会用立方运算求某些 数的立方根（会用计 算器求立方根)
3、交流典型问题的归纳结果 4、进行课堂检测
指导学生自主学习
● 课后我们怎样进一步巩固成果？
1、建立自己问题集，学生根据自己出现的问
题、漏洞等编制一份小试题，完成复习解答
2、将班级、年级的有关问题整理成一些小试卷， 进行短时间的小检测
3、在复习过程中不断进行滚动式的巩固
小案例
第一步：下面各题中已有的解答有“病”吗？如果有， 请作出诊断，写出“病因”，并指出“陷阱”．
C
能根据特定的问题 所提供的资料，合 理选用知识和方法， 通过代数式的适当 变形求代数式的值
A
B
C
整式 了解整式的有关概念，
构造多项式
整式的加 减运算
整数指数 幂
整式的乘 法
理解整式加、减运算的 法则
会进行简单的整式 加、减运算
能运用整式的加减 运算对多项式进行 变形，进一步解决 有关问题
数与式思维导图
数与式思维导图－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－王老师数与式思维导图用心整理，利人利己王老师数与式思维导图用心整理，利人利己考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数n m王老师数与式思维导图用心整理，利人利己（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数.4.平方根24ππ、⎧⎧⎧⎧⎧⎧=)0()0(0)0(a a a a a a ,a a =0a ≥；-,a a =0a ≤；-a b (0)a a ≠a11a b ⎧⎧=王老师数与式思维导图用心整理，利人利己平方根．a （a ≥0）的平方根记作．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ，若a-b>0a>b ；a-b=0a=b ；a-b4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a 2>b 2a>b ；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算a ±a ⎧⎧⎧⎧b a >⎧417-154-王老师数与式思维导图用心整理，利人利己同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).p p a a a a a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10（其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：n n王老师数与式思维导图用心整理，利人利己n a（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.二．【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.王老师数与式思维导图用心整理，利人利己①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：王老师数与式思维导图用心整理，利人利己④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：王老师数与式思维导图用心整理，利人利己平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，王老师数与式思维导图用心整理，利人利己⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⎧⎧=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a 的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（4）公式()=⎧n n n ab a b 的推广：()=⎧⎧n n n n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；王老师数与式思维导图用心整理，利人利己要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.三．【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；王老师数与式思维导图用心整理，利人利己（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．王老师数与式思维导图用心整理，利人利己③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序王老师数与式思维导图用心整理，利人利己先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即王老师数与式思维导图用心整理，利人利己为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎧-0(0)a ≥≥2(0)a a =≥王老师数与式思维导图用心整理，利人利己4. 00)a b =≥≥，；5. 00)a b=≥>，.6.若0a b >≥>要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；王老师数与式思维导图用心整理，利人利己(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，4==+3(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.+-=-=，利用了平方差公式.如：221所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.感谢阅读，欢迎大家下载使用！。
初中数学 数与式 知识点 考点 思维导图 实数及其运算 整式 分式 二次根式
分式的加减法／ 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分
４、参数法∶当已经条件形如工－上＝三，所要求值的代数式
是一个含ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ，而又不易化简的分式
时，通常设 艺－为＝三＊（ｋ就是我们所说的参数），
分式
＼式，然后相加减，ｂ即 ４ｄ± 二ｂ＝ｄａｄ ，ｂｂｄｃ＿ ａｄｂ±ｄｂｃ
升华 符号＂÷＂变成＂×＂，除数变为它的倒数，除
数不能为０．
知识 实数 ③用科学记数法表示一个绝对值大于１０的数时，等 的分类 号右边数的形式为ａ×１０＂，ａ是一个只有一位整数的数
四 口＋□＝凶 ｎ比等号左边的整数位数小１．
实数中的概念
梳理
正整数。 ：：：：口：
按定义
有理数
整数
分数
零
负整数
正分数
有限小数或无
（２）从外到里去括号，减少变号次数．只含有小括号和中括号， 那么把小括号内的各项视为一个整体，先去中括号，再去 小括号．
（３）一次去掉多重括号，在含有多重括号的式子中，去括号时，括
３＋（ａ＋ｂ）：＋ａｂ＝（ｘ＋４ 刁十二
整 式
（ｍ十ｎ）（ａ＋ｂ）＝ｍａ十ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ
的整除式法
乘法公式
单项式除以单项式，分别把系数、同底数幂
６、去括号添括号时，特别是括号前是＂＿＂的情况，容 易把某一项或某几项忘记变号而出错．
１、对于幂的运算性质和乘法公式，不仅要掌握它们的结构 特征，而且要理解每一公式中字母的内涵，进而灵活、
恰当地应用．
２、因式分解必须在指定的数的范围内进行，且必须分解到
每个多项式都不能再分解为止
３、列代数式时，读题不能只看局部不看整体．
七年级数学上整式思维导图
整式单项式数与字母的乘积
一个数字或字母也叫单项式
多项式定义:几个单项式的和
项组成多项式的每个单项式
常数项不含字母只有数字的项
同类项字母相同
且相同字母指数相同
合并同类项同类项系数相加，合并成一项系数单项式的数字因数次数单项式次数所有字母的指数之和
多项式次数次数最高的项的次数整式计算无括号直接合并同类项有括号先去括号
括号外为正数:不改变符号括号外为负数:各项符号和原来相反再合并同类项。
数与式思维导图
王老师数与式思维导图用心整理，利人利己王老师 数与式思维导图 用心整理，利人利己一．【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式： ⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数nm王老师 数与式思维导图 用心整理，利人利己（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数 （1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释： 若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数.4.平方根24ππ、⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ,a a =0a ≥；-,a a =0a ≤；-a b (0)a a ≠a11a b ⇔⋅=王老师 数与式思维导图 用心整理，利人利己（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0a>b ；a-b=0a=b ；a-b<0a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2a>b ；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 a ±a ⇔⇔⇔⇔b a >⇔417-154-王老师 数与式思维导图 用心整理，利人利己1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).p p a a a a a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10（其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释： n n王老师 数与式思维导图 用心整理，利人利己 （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10，其中1≤＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.二．【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n 次，有m 个单项式，我们就把这个多项式称为n 次m 项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.n a n a王老师数与式思维导图用心整理，利人利己6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，王老师 数与式思维导图 用心整理，利人利己 即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a 的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最王老师数与式思维导图用心整理，利人利己后结果不要忘记把提出的负号添上.三．【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:王老师数与式思维导图用心整理，利人利己（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分王老师数与式思维导图用心整理，利人利己根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．王老师 数与式思维导图用心整理，利人利己 要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 00)a b =≥≥，；5. 00)a b =≥>，.6.若0a b >≥>0(0)a ≥≥2(0)a a =≥王老师数与式思维导图用心整理，利人利己要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；王老师数与式思维导图用心整理，利人利己2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，4==+3(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.+-=-=，利用了平方差公式.如：221所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.。
实数导图 中考复习 数与式 知识点 思维导图
利用数
轴：数 轴上右 边的数 总比左
3的整数部分为1，小数部分为 31
边的数
大
两负
含 的数：以1、4、9、16..为分界。 实数数的
大小 比较
比
较：
2 3的整数部分为3
绝对
值大
的反 而小 。
因为2 3 12，而 9 12 16,
分析编号1、
探索数列 2、3、… 的规律
比较前后关系， 等差数列第n项 首项 n 1公差
用文字表达：
精确度
（四舍五 入精确到
有单位和科学记数法的数要还原
**位） 有效数字（四舍五入保留*个有效数字。） 前0不算后0算；
整数
正整数 0 负整数
有单位的不用还原； 科学记数法，只算a中 的。
分数
正分数 负分数
正无理数 负无理数
无理数的形式：含 式，开不尽方式，特构式。
符号法则 同号取相同的符号；
乘除 法
乘方
实 数 的 运 算
开方
三要素：原点，正方向，单位长度
定义：只有符号不同的两个数，0的相反数是0.
性质：a、b互为相反数 a+b=0或
a 1 b
定义：乘积为1的两个数，称为互为倒数。
性质：a、b互为倒数 ab=1。互为倒数的两数符号相同。
定义：数轴上的点到原点的距离。
a 性质：
a ( a0) a ( a0)
分析变化规律
等比数列第n项 首项 公比n1
其它规律
同号相加
数值法则
把两数的 绝对值相
加。
异号相加
符号法则 数值法则
取绝对值较大的符号 较大的绝对值减来自小的绝对值。同号得两数乘除
符号法则
初中数学各章节知识图解思维导图
外
内心：是三角平分线的交点. 到三边的距离相等在三角形内
基本性质
点与圆
有关位置
相交 直线与圆
相切
切线的 性质.判 定
切线长 定理
相离
圆与圆
外
离
内
含
相
内
交
外
切
弧等
切
圆
弦等
等分圆周
正多边形
圆心角等
梯形 辅助线
四边 形与
圆
延平 长移 两两 腰腰
平 移 利用腰中点 割补成对 -- 全等三角形、 平 角 行四边形 线
③ yaxh2 ④ yaxh2k 类型
⑤ yax2bxc
磁道问题
利
润问题 拱桥问题
应用
十字
抛物线与x轴的交点
一元二次方程的根
相乘
x
法 万能
公式
化为
直接
开方
应用
平方
有两交点
Δ＞0
有两个不等根
提公 因式
根
（x1,0）( x2,0 ）
X1， x2
法
公式
法
配方
法
直接
有一交点
（
b ,0）
2a
Δ=0
有两个等根
b x1= x2 = 2a
平行线
命题
分类 结构
辨认 展开图
确定有标记的相对图
点与直线位置关系
条件
定义
镶嵌
外角和
内角和 定义
内角和
外角的性质
高.中线.角平分线 三边关系
等
表
边
示
对
定 义
方 法
要 素
等 角
三 线 合 一
七年级数学上册《整式加减法》思维导图与考点梳理
七年级数学上册《整式加减法》思维导图与考点梳理
1.都是数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
4.几个单项的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
5.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
6.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。
7.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
8.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
9.一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
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C
能根据特定的问题 所提供的资料，合 理选用知识和方法， 通过代数式的适当 变形求代数式的值
A
B
C
整式 了解整式的有关概念，
构造多项式
整式的加 减运算
整数指数 幂
整式的乘 法
理解整式加、减运算的 法则
会进行简单的整式 加、减运算
能运用整式的加减 运算对多项式进行 变形，进一步解决 有关问题
了解整数指数幂的意义 能用幂的性质解决
和基本性质
简单问题
理解整式乘法的运算法
则，会进行简单的整式 乘法运算(其中的多项 式相乘仅指一次式相乘)
会进行简单的整式 乘法与加法的混合 运算
能选用恰当的方法 进行相应的代数式 的变形
A
B
C
平方差公式和 理解平方差公式、 能用平方差公式、 能根据需要运用公
完全平方公式
完全平方公式， 了解数
简单计算
式的变形
因式分解
了解因式分解的 意义及其与整式 乘法之间的关系
会用提公因式法、 公式法（直接用公 式不超过两次）进 行因式分解（指数 是正整数）
能运用因式分解的 知识进行代数式的 变形，解决有关问 题
分式的概念
了解分式的概念， 能确定分式有意 义的条件
能确定使分式的值 为零的条件
08 年
题 1 2 7 9 10 12
13
17
号
分 444 4 44
5
5
值
知 绝 科 非 分式 因 找 二次根式化简、分式
识 对 学 负 有意 式 规 零指数幂、特 的化
点 值 记 数 义的 分 律 殊角的锐角三 简求
数
条件 解
角函数值、负 值
法
整数指数幂
综 22题——阅读、操作找图形中的面积规律 合 25题——运动变换中的规律表示
了解平方根及算术平方 根的概念，了解开方与 乘方互为逆运算，会用 根号表示非负数的平方 根及算术平方根
了解立方根的概念，会 用根号表示数的立方根
能根据要求用有理数 估计一个无理数的 （大致）范围
会用平方运算求某些 非负数的平方根（会 用计算器求平方根）
会用立方运算求某些 数的立方根（会用计 算器求立方根)
合 基础34分、综合6分 计
09 年
题 1 2 7 11 12
13
16
号
分 444 4 4
★注意数学思想、方法与数学建模的探究与归纳
考查布局
07 年
题 12469
13
号
分 44444
5
值
15
17
5
5
知 倒 科 非 因 分 二次根式化 分式 整式的
识 数 学 负 式 式 简、零指数 的运 化简求
点
记 数 分 的 幂、特殊角 算 值
数
解 值 的锐角三角
法
为0 函数值、负
整数指数幂
合 35分 计
产生概念
扩充数系（实数）
确立关系
开方运算
封闭运算
无理数
符号 方向
数
绝对值
数轴
距离 点
比较大小 进行运算
考试要求
《考试说明》中数与式部分涉及24个 知识点，除整式的概念外都有B层要 求，其中6个知识点有C层要求.
A
B
C
有理数 理解有理数的意义
会比较有理数的大小
无理数
平方根及 算术平方
根
立方根
了解无理数概念
二次根式的化 简和运算
理解二次根式的 加、减、乘、除 运算法则
会进行二次根式的 化简，会进行二次 根式的混合运算 （不要求分母有理 化）
C层要求
能运用有理数的运算解决简单问题 ；
能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进 一步解决有关问题 ；
能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知 识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值 ；
会利用绝对值的知识 解决简单的化简问题 和计算问题
含非负数问题
掌握有理数的加、减、 乘、除、乘方及简单 能运用有理数及其运 的混合运算（以三步 算解决简单问题 为主）
有理数的 理解有理数的运算 能运用有理数的运算
运算律 律
律简化运算
近似数、 有效数字 和科学记
数法
代数式
代数式的 值
A
了解近似数和有效数 字的有关概念；会用 科学记数法表示数 （包括在计算器上表 示）
理解用字母表示数的 意义
了解代数式的值的概 念
B
在解决实际问题中， （能用计算器进行近 似计算；能按问题的 要求对结果取近似 值； ）能对含有较大 的数字信息作合理的 解释和推断
会列代数式表示简单 的数量关系；能解释 一些简单代数式的实 际意义或几何意义
会求代数式的值；能 根据代数式的值或特 征推断代数式反映的 一些规律
分式的性质
理解分式的基本 性质，并能进行 简单的变形
能用分式的基本性 质进行约分和通分
A
B
C
分式的运算
理解分式的加、 减、乘、除运算 法则
会进行简单的分式 加、减、乘、除运 算；会选用恰当方 法解决与分式有关 的问题
了解二次根式的
二次根式及其 概念，会确定二
性质
次根式有意义的 条件
会利用二次根式的 性质进行化简，能 根据二次根式的性 质对代数式作简单 变形，能在给定条 件下，确定字母的 值
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运 算
数轴
能用数轴上的点表示有 理数；知道实数与数轴
会借助数轴比较有理 数的大小
相反数
绝对值 有理数
运算
A
会用有理数表示具 有相反意义的量， 借助数轴理解相反 数的意义，会求有 理数、无理数的相 反数
借助数轴理解绝对 值的意义，会求和 计算问题
理解乘方的意义
B
C
掌握相反数的性质
能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形 ； 能根据需要运用公式进行相应的代数式的变形 ；
能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解 决有关问题
★强调数的意义，突出字母表示数的意义
★理解运算的意义，降低计算的难度
★体会运算的必要性
★关注估算，加强对较大的数字信息作出合理解 释和推断（包括估算能力）
★淡化技巧性过高的数与式的计算与变形，重视 模式与规律的探究
关于数与式的复习
北京市学院路中学 李宁
知识特点 知 识 分布 知 识 结构 考试要求 复习建议 中考趋势
知识特点
基础性
工具性
＊ 实数与代数式 是数学知识的基础， 它贯穿于中学数学 内容的始终，是中 学数学知识的一条 基线
＊ 实数与代数式进 行数学运算和推理的 必要工具，是其它学 科的重要工具.
知识分布
第1章 第2章 第13章 第15章 第16章 第21章
有理数 整式的加减 实数 整式的乘除与因式分解 分式 二次根式
七年级上 七年级上 八年级上 八年级上 八年级下 九年级上
知识结构
实数
字母表 示数
代数式
规 律
式与式之 间的运算
式与式之 间的数量 关系
函数
方程
不等式
知识结构
负数 小学算术数
数系扩充 （有理数）