线性代数线性方程组基本概念

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(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置；（2）以非零常数k乘以方程组中某个方程；（3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形，得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

线性方程组的解法教案

线性方程组的解法教案一、引言线性方程组是数学中常见的一个重要概念，解决线性方程组问题是解析几何、线性代数等学科的核心内容。

本文将介绍线性方程组的基本概念和解法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组。

二、线性方程组的基本概念1. 定义：线性方程组由一组线性方程组成，每个方程中的未知数的最高次数都为1，且系数皆为实数或复数。

线性方程组可以表示为以下形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ分别为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。

2. 解的概念：对于线性方程组，找到一组使得所有方程都成立的值，即为其解。

如果线性方程组存在解，则称其为相容的；如果不存在解，则称其为不相容的。

三、线性方程组的解法1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法之一。

具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为增广矩阵形式，写成增广矩阵[A|B]的形式。

(2) 对增广矩阵进行初等行变换，化简成上三角形矩阵[U|C]的形式，即上面的元素都为0。

(3) 从最后一行开始，按列主元所在的列进行回代求解，得到每个未知数的值。

2. 矩阵的逆和逆的应用矩阵的逆是解决线性方程组的另一种有效方法。

具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为矩阵形式，即AX = B。

(2) 若矩阵A可逆，即存在逆矩阵A⁻¹，则方程组的解可以表示为X = A⁻¹B。

3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵的情况。

具体步骤如下：(1) 将方程组的系数矩阵记为A，常数项矩阵记为B。

(2) 分别计算方程组系数矩阵的行列式D和将常数项矩阵替换为方程组系数矩阵第i列后的新矩阵Di的行列式Di，并计算比值di = Di / D。

线性方程组与矩阵

线性方程组与矩阵线性方程组和矩阵是线性代数中重要的概念和工具，在数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将介绍线性方程组和矩阵的基本定义、解法和应用。

一、线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，其中每个方程都是由未知数的线性项和常数项构成。

一般地，一个包含n个未知数的线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + ... + a2n*xn = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + ... + a3n*xn = b3...an1*x1 + an2*x2 + an3*x3 + ... + ann*xn = bn其中，a11, a12, ..., ann是系数矩阵的元素，x1, x2, ..., xn是未知数，b1, b2, ..., bn是常数项。

这个方程组可以用矩阵和向量的形式更简洁地表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，x和b分别是未知数和常数项的向量。

二、矩阵矩阵是线性代数中的基本工具，是由m行n列的数按一定规律排列的数表。

一个常见的表示形式是使用方括号将元素括起来，并按行或列排列。

例如：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中, A是一个3行3列的矩阵，a11、a12等是矩阵的元素。

矩阵可以进行加法、乘法和数乘等运算，符合相应的运算规则和性质。

矩阵的乘法特别有用，可以用于表示线性方程组的系数矩阵与未知数向量之间的关系。

三、线性方程组的解法解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、矩阵逆法等。

其中高斯消元法是最常用的解法，可以将线性方程组化为一个等价的三角形式方程组，从而求得解。

高斯消元法的基本步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A和常数项向量b合并为一个矩阵[B]。

2. 利用初等行变换将系数矩阵化为上三角矩阵。

线性代数第二版主编吴传生第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换)

a22 x2 a2 n xn b2
am 2 x2 am n xn bm
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组（1）分析系数
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
两边同乘以已知常数，得到一个新的线性方程：
a1 x1 a2 x2 L an xn b.
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
线性方程的线性组合
将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 1, 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2 L
方程组转换成 x2 ，，xn 的方程组来解，
若 x1 的系数不全为0，则利用变换（1），使 a11 0 . （2）化简：利用初等变换（3），分别把第一个方程的 ai1 倍
a11 加到第 i 个方程，则方程组可以变成：
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
考查方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
00
00
（II）当 dr1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形：
ii）r n . 这时阶梯型方程组为：
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1，r1 xr1 c1n xn d1
定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组．
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)

线性代数-线性方程组

同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
1
1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2 1 1 1 5, 0
2 2
故方程组的唯一解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
ห้องสมุดไป่ตู้
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
的系数行列式必为零.
例 5 问取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？解
1 D 2 1 2 3 1 4 1 1
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
1 2 1
3 1 0
4 1 1

线性代数Ⅳ—线性方程组

c1 , c2 为任意常数
其中
1 1 1 0 ξ = c1 + c2 为对应齐次线性方程组的通解 0 2 1 0 1 2 0 η = 1 为非齐次线性方程组的特解 2 0
16
例已知 α1 = (1, 4, 0, 2)T α 2 = ( 2, 7,1, 3)T α 3 = ( 0,1, 1, a)T β = ( 3,10, b, 4)T 问:(1) a,b为何值时,β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 (2) a,b为何值时,β 可以由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,并写出表达式例设线性方程组
x1 = 0 , x2 = 0 , , xn = 0 即 x = (0 , 0 , , 0)T 必为方程组的一个解向量
称零解.
有时,齐次线性方程组还有非零解.
4
2 求解齐次线性方程组
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
定理一: 定理一:n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(仅有零解) A 的列向量 α1 , α 2 , , α n 线性相关(无关)
x = η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k n rξ n r (k1 , k 2 , , k n r为任意常数)
~
即非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个特解 +对应齐次线性方程组的通解
14
3.3 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组——消元法消元法
通过例题理解例:求解线性方程组
11
3 求解非齐次线性方程组
3.1 非齐次线性方程组的讨论
非齐次线性方程组 Ax = b ( b ≠ 0 ) 解的情况有三种 (1)无解 (2)有唯一解 (3)有无穷多组解

线性代数基础

线性代数基础线性代数是数学的一个分支，它研究包括向量空间在内的线性相关概念。

线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学以及经济学等。

在本文中，我们将介绍线性代数的基础概念和应用。

1. 向量和向量空间在线性代数中，向量是指具有大小和方向的量。

我们通常表示向量为箭头，其长度表示向量大小，方向表示向量的方向。

一个向量可以在坐标系中表示，坐标系是由基向量组成的。

任意一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示。

向量空间是一个包含向量的集合，它满足一定的条件，包括加法和数乘运算。

向量空间包括了所有可以用基向量表示的向量，例如二维平面上的向量空间可以由两个基向量来表示。

2. 矩阵和矩阵运算矩阵是一个由数值组成的矩形数组。

一个矩阵可以表示为一个$m\times n$的矩阵，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。

矩阵和向量之间可以进行乘法运算。

向量和矩阵的乘法及矩阵和矩阵的乘法分别称为矩阵向量乘积和矩阵乘积。

矩阵乘积是矩阵运算中最基本也是最重要的运算之一，有着广泛的应用。

3. 线性方程组线性方程组是形如$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n =b_1$的方程组，其中$x_1,x_2,...,x_n$是未知数，$a_{11},a_{12},...,a_{1n},b_1$是已知数。

线性方程组的解是指满足所有方程的解，可以用行列式、矩阵、向量等方式表示。

4. 特征值和特征向量在矩阵中，特征向量是指任意非零向量$V$，当被某个矩阵$A$线性变换时，$V$仅被缩放而不改变方向。

特征值是指对于某个矩阵$A$的特定向量，通过线性变换后与原向量方向相同但长度发生改变的倍数。

特征向量和特征值有着广泛的应用。

例如，在图像处理中，特征向量和特征值可以用于图像压缩和模式识别。

5. 应用案例线性代数的应用非常广泛。

下面我们列举一些实际应用案例。

(1)平面几何。

向量通常用于二维平面上的几何中，例如用于描述线段的位置和方向。

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证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关，故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示，即 A X = b 的解是惟一的。
即得念
第二、线性方程组解的存在性与惟一性
四章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性定理设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第一、线性方程组的几种表示形式
四章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
7
§4.1 线性方程组的基本概念
第二、线性方程组解的存在性与惟一性
四章
1. 线性方程组解的存在性
线定理线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
性证明充分性
方
程
若 r ( A) r ( A b),
组
则 A1 , A2 , , An 的极大线性无关组也是
A1 , A2 , , An , b 的极大线性无关组，
故 b 可由 A1 , A2 , , An 的线性表示，
四章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式
线性
3. 线性方程组的向量形式
P111
方程
对于线性方程组 A X b , 令
组
A ( A1 , A2 , , An ) ,
x1
则得到向量形式为
( A1 ,
A2 , ,
An
)

x2

b,
即 x1 A1 x2 A2 xn An b .
第四
第四章
线性方程组
章
线 §4.1 线性方程组的基本概念
性方
§4.2 高斯(Gauss)消元法
程组
§4.3 齐次线性方程组解的结构
§4.4 非齐次线性方程组解的结构
1
§4.1 线性方程组的基本概念
第四
§4.1
线性方程组的基本概念
章
一、线性方程组的几种表示形式
线
性二、线性方程组解的存在性与惟一性
性方
(1) 一定有(零)解。因为 r ( A) r ( A 0).
程
组
(2) 只有零解 r( A) n; 有非零解 r( A) n .
特别，若 m ＜ n ，即方程的个数小于未知量的个数，则必有非零解。
(3) 若 m = n ，即 A 为方阵，则只有零解 | A| 0; 有非零解 | A| 0 .
故 A X = b 的解不惟一。
10
§4.1 线性方程组的基本概念
第二、线性方程组解的存在性与惟一性
四章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性线性综合 (线性方程组解的判定) 方
程
对于线性方程组 A X = b，有
组
(1) 当 r( A) r( A~) n 时，方程组有无穷多解;
方程
三、等价的线性方程组
组
2
§4.1 线性方程组的基本概念
第一、线性方程组的几种表示形式
四
章
在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的
线方程组，而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数
性方
不一定相等。
程
下面将讨论一般线性方程组。
组
需要探讨的问题
(1) 方程组是否有解? (2) 如果有解，是否惟一? (3) 如何求解?
性
方
则线性方程组 A X = b 与 B X = P b 同解(即解不变)。
程
组
称此为线性方程组同解变形。
它是后面(高斯)消元法的基础。
思考可否进行列初等变换？
14
§4.1 线性方程组的基本概念
第四章
线性方程组
轻松一下吧 ……
15
3
§4.1 线性方程组的基本概念
第一、线性方程组的几种表示形式
四章
1. 线性方程组的一般形式
线
性
方
程
组
其中 x1, x2 ,, xn 为未知量，
ai j 是第 i 个方程第 j 个未知量 xj 的系数，
b1, b2 ,, bm 为常数项。
定义若常数项不全为 0，称为非齐次线性方程组； P109 否则称为齐次线性方程组 (或者导出组)。
由 B X P b; P1B X b , A X b .
故线性方程组 A X = b 与 B X = P b 等价。
13
§4.1 线性方程组的基本概念
第三、等价的线性方程组
四章定理的重要意义
线
若 ( A b) 行初等变换 P ( A b) (P A Pb) (B Pb) ,
12
§4.1 线性方程组的基本概念
第三、等价的线性方程组
四章
定义
若两个线性方程组同解，则称它们等价。 P111 定义4.1
线定理若存在可逆矩阵 P ，使 PA = B ，则线性方程组
性 P111 方定理
A X = b 与 B X = P b 等价(同解)。
程 4.1
组证明由 A X b , P A X P b , B X P b;
组
即存在不全为零的 k1, k2 ,, kn，使得
k1 A1 k2 A2 kn An 0 . ( x~1 k1 )A1 ( x~2 k2 )A2 ( x~n kn )An b .
可见 x~1 k1, x~2 k2 , , x~n kn 也是 A X = b 的解，
9
§4.1 线性方程组的基本概念
第二、线性方程组解的存在性与惟一性
四章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性线
性定理设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方程
证明
(2) 若 r n, 则 r n ,
A1 , A2 , , An 线性相关，
xn
将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合
6
§4.1 线性方程组的基本概念
第二、线性方程组解的存在性与惟一性
四章
1. 线性方程组解的存在性
P112 定理4.2 (1)
线定理线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
性证明必要性
方
程
(2) 当 r( A) r( A~) n 时，方程组有唯一解;
(3) 当 r( A) r( A~) 时，方程组有无解。
其中 A~ ( A b).
11
§4.1 线性方程组的基本概念
第二、线性方程组解的存在性与惟一性
四章 3. 关于齐次线性方程组的一些结论补
线
对于齐次线性方程组 Amn X 0 , 有如下结论：