(完整版)1.1线性方程组的基本概念
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
线性代数Ⅳ—线性方程组
c1 , c2 为任意常数
其中
1 1 1 0 ξ = c1 + c2 为对应齐次线性方程组的通解 0 2 1 0 1 2 0 η = 1 为非齐次线性方程组的特解 2 0
16
例 已知 α1 = (1, 4, 0, 2)T α 2 = ( 2, 7,1, 3)T α 3 = ( 0,1, 1, a)T β = ( 3,10, b, 4)T 问:(1) a,b为何值时,β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示 (2) a,b为何值时,β 可以由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,并写出 表达式 例 设线性方程组
x1 = 0 , x2 = 0 , , xn = 0 即 x = (0 , 0 , , 0)T 必为方程组的一个解向量
称零解.
有时,齐次线性方程组还有非零解.
4
2 求解齐次线性方程组
2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
定理一: 定理一:n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解(仅有零解) A 的列向量 α1 , α 2 , , α n 线性相关(无关)
x = η + k1ξ1 + k 2ξ 2 + + k n rξ n r (k1 , k 2 , , k n r为任意常数)
~
即 非齐次线性方程组的通解=非齐次线性方程组的一个特解 +对应齐次线性方程组的通解
14
3.3 求解非齐次线性方程组 求解非齐次线性方程组——消元法 消元法
通过例题理解 例:求解线性方程组
11
3 求解非齐次线性方程组
3.1 非齐次线性方程组的讨论
非齐次线性方程组 Ax = b ( b ≠ 0 ) 解的情况有三种 (1)无解 (2)有唯一解 (3)有无穷多组解
考研数学一大纲完整版
考研数学一大纲完整版一、线性代数部分1.1 矩阵与行列式•矩阵的定义和基本运算•线性方程组及其求解•行列式及其性质•特征值与特征向量1.2 向量空间•向量空间的概念和性质•子空间及其判定•基与维数1.3 线性变换•线性变换的定义与性质•线性变换的矩阵表示•线性变换的相似性二、概率统计部分2.1 随机事件与概率•随机试验与样本空间•随机事件及其概率•分类求概率法•条件概率与乘法定理2.2 随机变量与分布律•随机变量与分布函数•离散型随机变量及其概率分布•连续型随机变量及其概率密度函数•边缘分布和条件分布2.3 数理统计•抽样与抽样分布•参数估计与点估计•区间估计与假设检验•正态总体的统计推断三、高等代数部分3.1 线性方程组•线性方程组的解的存在唯一性•线性方程组的参数表示与齐次线性方程组•等价方程组与初等变换•向量方程组与矩阵方程3.2 线性空间•线性空间的概念与性质•子空间与线性子空间•基与维数•对偶空间与线性映射3.3 线性变换•线性变换的定义与性质•标准和矩阵表示•相似矩阵与对角化四、高等数学（第一册、第二册）部分4.1 极限与连续•数列极限•函数极限•连续与间断点•无穷小与无穷大4.2 导数与微分•函数的导数及其计算•高阶导数与导数的应用•微分与微分中值定理•函数的连续性4.3 积分与应用•不定积分和定积分•牛顿—莱布尼茨公式•反常积分•定积分的应用五、数学分析部分5.1 实数与数列函数•数列极限和函数极限•函数的连续性•实数的完备性与相关定理•紧致性与连续函数的性质5.2 导数与微分•函数的导数与微分•导数与函数的几何应用•函数的高阶导数•泰勒公式与函数的局部性质5.3 积分与应用•不定积分和定积分•回顾微积分基本公式•牛顿—莱布尼茨公式•表达式与变量替换法以上为考研数学一大纲的完整内容，包括线性代数、概率统计、高等代数、高等数学和数学分析的各个知识点。
通过学习这些内容，将有助于考生全面掌握数学知识，提高考试的综合能力。
七年级数学第三章知识点整理
七年级数学第三章知识点整理第三章线性方程组的解法一、线性方程组的概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程是指变量的最高次数为1的方程。
线性方程组的解即使能够使方程组中的每个方程成立的一组数值。
二、线性方程组的解的表示形式1. 有唯一解：线性方程组中的方程个数与未知数个数相等，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解。
解可以用一个有序数组表示，每个元素对应一个未知数的值。
2. 无解：线性方程组中的方程个数大于未知数个数，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组无解。
3. 无穷解：线性方程组中的方程个数小于未知数个数，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组有无穷解。
解可以用一个有序数组表示，每个元素对应一个未知数的值，其中有的未知数可以取任意实数值。
三、线性方程组的解的求解方法1. 直接代入法：将一个方程的解直接代入到另一个方程中，求解未知数的值。
2. 消元法：通过方程的等价变形，逐步消去未知数，最终得到解。
- 列主元消元法：选择一个未知数的系数绝对值最大的方程，作为主元方程。
通过主元方程与其他方程的组合，将未知数的系数化为0，逐步消去未知数。
- 斯图姆形式消元法：将线性方程组的系数矩阵化为上三角矩阵，通过回代求解未知数的值。
3. 矩阵法：将线性方程组的系数矩阵与未知数矩阵进行运算，得到方程组的解。
- 逆矩阵法：将线性方程组的系数矩阵A求逆，得到逆矩阵A^-1，方程的解为X = A^-1 * B。
- 初等变换法：通过初等行变换，将线性方程组的系数矩阵化为简化行阶梯形矩阵，再通过回代求解未知数的值。
四、线性方程组的应用线性方程组的解法在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 经济学中的生产计划：通过线性方程组的解法，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
2. 物理学中的力学问题：通过线性方程组的解法，可以求解物体在受力情况下的运动状态。
3. 工程学中的电路分析：通过线性方程组的解法，可以求解电路中的电流、电压等参数。
线性方程组知识点总结
线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。
二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。
4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。
三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。
具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。
2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。
四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。
2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。
3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。
五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。
建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。
初中数学知识点线性方程组的概念与解法
初中数学知识点线性方程组的概念与解法初中数学知识点：线性方程组的概念与解法在初中数学中，线性方程组是一个重要的概念。
它由多个线性方程组成，而线性方程可以写作如下形式：```a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2```在上述方程中，`x`和`y`是未知数，而`a1`、`b1`、`c1`、`a2`、`b2`和`c2`则是已知系数。
解决线性方程组的目标是找到满足所有方程的`x`和`y`的值。
解法一：图解法图解法是解决线性方程组最直观的方法之一。
我们可以将每个方程表示为一个在二维平面上的直线。
方程的解是这些直线的交点。
例如，考虑以下线性方程组：```2x + 3y = 64x - y = 10```我们可以通过逐个绘制这两个方程的直线来找到它们的交点。
交点`(2,1)`表示该线性方程组的解。
解法二：代入法代入法是解决线性方程组的常用方法之一。
我们可以通过将一个方程的变量表示为另一个方程的变量来实现消元，然后求解单变量方程。
以以下线性方程组为例：```3x + 2y = 8x - y = 1```可以通过将第二个方程中的`x`替换为`1+y`来消去`x`：```3(1+y) + 2y = 8```化简后得到：```3 + 5y = 8```接下来，我们解这个单变量方程：```5y = 5y = 1```将`y`的值代入第二个方程，可以得到`x`的值：```x - 1 = 1x = 2```因此，线性方程组的解是`(2, 1)`。
解法三：消元法消元法是解决线性方程组的另一种常用方法。
通过将方程组中的一个或多个方程相加或相减，我们可以消去其中的某个变量，从而简化方程组。
考虑以下线性方程组：```2x - 3y = 44x + 2y = 10```我们可以通过将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，然后将它们相加来消除`y`的项：```4(2x - 3y) + 3(4x + 2y) = 4(4) + 3(10)```化简后得到：```8x + 6x = 16 + 3014x = 46x = 46/14```将`x`的值代入任意一个方程，可以得到`y`的值：```2(46/14) - 3y = 4```化简后得到：```92/14 - 3y = 4- 3y = 4 - 92/14- 3y = 56/14 - 92/14- 3y = - 36/14y = - 36/14 * -1/3```因此，线性方程组的解为`(23/7, 6/7)`。
对线性方程组的认识
对《线性代数》中线性方程组的认识一、线性方程组的定义线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，通常由两个或两个以上的且未知量均为一次的方程所组成。
我们所知的线性方程组分为两种，一种是非齐次线性方程组，另一种是齐次线性方程组。
在线性方程组中，当常数列不全为零时，我们称它为非齐次线性方程组，当常数列全为零时，我们称它为齐次线性方程组。
二、线性方程组的定理1.1定理一：线性方程组经过初等变换后，所得到的新的方程组与原方程组同解。
比方说，例1：假设一个线性方程组： x1 + 2x2 = 7 ○13x1 – 4x2 = -9 ○23○1-○2, 得 10x2 = 30, 得出x2 = 3, 再将x2 = 3 代入○1中，可得出x1 = 1, 所以得出该线性方程组的解为 x1= 1, x2= 3将该线性方程组进行初等变换，令○1*2，其他保持不变，得2x1 + 4x2= 14 ○33x1 – 4x2 = -9 ○4○3 + ○4，得5x1 = 5, 得 x1 = 1, 将x1 = 1代入3中，可得出x2 = 3, 则经初等变换后的线性方程组与原线性方程组同解。
1.2定理二：对n元非齐次线性方程组，在经消元法化为阶梯型方程组后，有：当dr = 0时，原方程组无解；当dr = 0且r = n 时，原方程组有唯一解；当dr = 0且r<n 时，原方程组有无穷多解。
（dr 指的是线性方程组中最后一个有效方程的等式的右边的常数项，r指有效方程的个数，n指方程所求未知量的个数）（1）当dr = 0时，原方程组无解，举个例子，例二：解线性方程组x1 +2x2+ =3 ○14x1 +7x2+x3=10 ○2x2 – x3 =3 ○32x1 + 3x2 +x3 =4 ○4令4○1– 2，2○1– 4，得x1 +2x2 = 3 ○5x2 – x3 = 2 ○6x2 – x3 = 3 ○7x2 - x3 = 2 ○8 令○6– ○7，○6 -○8，得x1 +2x2 = 3 ○9x2 -x3 = 2 ○100 = 0 ○110 = -1 ○12 ○11 与 ○12 互换，则得x1 +x2 = 3○13x2 -x3 = 2 ○14 0 = -1 ○15 0 = 0 ○16 此时dr =-1, dr = 0, 因为 0 = -1，矛盾，所以无解，即当dr = 0 时，该线性方程组无解。
线性方程组的基本概念
证: 必要性 Ax b有解,则 b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1, A2 , , An等价于A1, A2 , , An ,b
所以二者秩相等,即rA rB
充分性. rA rB, 即rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b
又rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b rA1, A2, , An的极大线性无关组是rA1, A2, , An,b 的极大线性无关组. 故b是A1, A2 , , An的线性组合
证 : 设向量X是方程组AX b的任何一个解, 有AX b,两边左乘矩阵P,则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解. 反之,任取BX Pb的一个解,两边左乘P 1, 则有P1BX b,即AX b, 所以X是AX b的一个解 因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
x2
x3 x4 x5 x5 x6
0 60
x4பைடு நூலகம்
x6
50
x1 x3 60
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2 2 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三
种情况 :
(1) 两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解； (2) 平行，则该方程组无解 (3) 重合，则直线上任何一个点都是方程组的解
例: 3 3型齐次线性方程组的一般形式为：
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
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内容小结
1. 线性方程组的表示 2. 线性方程组的解
同解方程组, 相容方程组, 矛盾方程组 特解, 通解 3. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 零解, 非零解
都不是线性方程.
x2 2 x1 5
线性方程组的基本概念
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几何意义
一元线性方程 a x b (a 0) 表示数轴上的一个点;
二元线性方程
a1x1 a2 x2 b (a1, a2 不全为零) 表示平面上的一条直线;
三元线性方程
a1x1 a2 x2 a3x3 b (a1, a2 , a3 不全为零) 则表示空间中的一个平面;
第1章 线性方程组
1.1 线性方程组的基本概念 1.2 阶梯方程组的回代法 1.3 线性方程组的消元法
1.1 线性方程组的基本概念
1.1.1 线性方程 1.1.2 线性方程组的表示与解 1.1.3 线性方程组的分类 内容小结
线性方程组的基本概念
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1.1.1 线性方程
“线性”一词源于解析几何中Descartes平面坐标系下的 一次方程是直线方程, 后来就将一次的称为线性的. 一个 n 元线性方程是指具有如下形式的方程
线性方程组的基本概念
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用 W 表示线性方程组的全部解的集合, 称为解集.
有相同的解集的两个方程组称为同解方程组.
若 W , 则称该方程组为相容的或有解.
若 W , 则称该方程组为不相容的或矛盾的或无解.
若 W 只含一个元素, 则称该方程组有唯一解.
W 中任何一个元素, 称为该方程组的一个特解;
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二元线性方程组
2xx11
2x2 x2
3 的几何意义 1
线性方程组的基本概念
10/15
三元线性方程组
2
x1 x1
x2 2x2
x3 3x3
2 5
的几何意义
3x1 4x2 5x3 7
线性方程组的基本概念
பைடு நூலகம்
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由 m 个 n 元线性方程构成的线性方程组可表示为
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
x1 2x2 3, 2x1 x2 1. 三元线性方程组
x1 x2 x3 2,
2 x1
2 x2
3x3
5,
3x1 4x2 5x3 7.
线性方程组的基本概念
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线性方程组的几何意义
二元线性方程组表示平面上若干条直线的交点.
三元线性方程组表示空间中若干个平面的交点.
线性方程组的基本概念
若常数项 b1, b2, , bm 全为零, 则称此方程组为齐次
线性方程组; 若常数项 b1, b2, , bm 不全为零, 则称
之为非齐次线性方程组.
线性方程组的基本概念
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mn 齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0,
a21x1
a22 x2 L LL
L
数学上称 n (n 4 ) 元线性方程为超平面.
线性方程组的基本概念
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1.1.2 线性方程组的表示与解
一个 n 元线性方程组是指一些含相同的 n 个未知量的 线性方程所构成的组. 注 组不同于集合!
组中元素有序且允许重复, 集合中元素无序且相异.
线性方程组的基本概念
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例如, 二元线性方程组
a1x1 a2x2 an xn b, 其中 x1, x2, , xn 称为未知量, a1, a2, , an 称为系数, b 称为常数项. 例如, 2x 4 是一元线性方程;
线性方程组的基本概念
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平面上的直线方程
是二元线性方程.
2x1 x2 5
方程
4x1 2x2 x1x2 , 和
W 中全部元素的一个通用表达式称为该方程组的通
解或一般解.
线性方程组的基本概念
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1.1.3 线性方程组的分类
对于mn 线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2 L LL
a2n xn L
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm.
a2n xn
0,
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
总是有解的, 因为 x1 0, x2 0, , xn 0 就是它的一 个解, 称为零解; 若一个解中 x1, x2, , xn 的取值不全
为零, 则称为非零解.
我们关心的是齐次线性方程组是否有非零解.
线性方程组的基本概念
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a21x1 a22 x2 L
a2n xn
b2 ,
LLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm ,
称之为 mn 线性方程组.
mn 线性方程组的一个解是指 n 个数组成的有序数组
c1, c2, , cn , 当 x1, x2, , xn 依次用 c1, c2, , cn 代入后, m 个方程都成立.