线性基本概念
线性代数的基本概念与性质
线性代数的基本概念与性质线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量空间和线性映射之间的关系。
它是许多其他数学分支和应用领域的基础，如计算机科学、物理学、经济学等。
本文将介绍线性代数的基本概念和一些重要性质，并探讨其在现实生活和学术研究中的应用。
一、向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以简单地理解为具有大小和方向的量。
向量空间是一种包含向量的集合，它满足一定的性质。
一个向量空间必须包含零向量，且对于任意向量v和w，和v+w以及数乘kv仍然属于向量空间。
向量空间还需要满足加法的结合律、交换律和数乘的分配律。
二、矩阵与线性映射矩阵是由数值按照一定规则排列成的矩形的数组。
矩阵可以用于表示线性映射，线性映射是一种将向量从一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。
矩阵乘法是线性代数中的重要操作，它可以用于将线性映射的复合表示为矩阵相乘的形式。
三、基和维数在向量空间中，基是一组线性无关的向量，任何一个向量都可以用基向量的线性组合表示。
维数是表示向量空间中的基向量的个数，它是一个向量空间的重要性质。
对于有限维向量空间，任意两个基的维数是相同的，这个维数被称为向量空间的维数。
四、线性相关性与线性无关性在向量空间中，如果存在一组非零向量的线性组合等于零向量，则这组向量是线性相关的。
相反，如果不存在这样的线性组合，则这组向量是线性无关的。
线性无关性是判断向量组和矩阵的重要性质，它决定了矩阵的秩和解的存在性。
五、特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的另一个重要概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ被称为A的特征值，v被称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和行为，它们在数值计算、物理仿真等领域有广泛应用。
六、应用领域线性代数作为一门基础学科，广泛应用于各个学术研究和实际应用领域。
在计算机科学中，线性代数用于图形学、机器学习等领域；在物理学中，线性代数用于描述物理系统的量子力学性质；在经济学中，线性代数用于解决经济模型和最优化问题。
高考数学中的线性规划基本概念介绍
高考数学中的线性规划基本概念介绍在高中数学中，我们接触到了许多不同的数学知识，其中很重要的一项便是线性规划。
在高考数学考试中，线性规划占据了相当重要的位置，成为众多学生备战高考的重要课程。
本文将为大家介绍一下高考数学中的线性规划基本概念。
一、线性规划的含义与基本形式所谓线性规划，就是针对一定的线性约束条件和线性目标函数，找到一个可行解，使得目标函数取得最大值或最小值。
具体来说，我们可以把线性规划形式表示为以下三个部分：第一部分：目标函数。
实际应用中，我们需要通过目标函数来描述最优解的性质。
第二部分：约束条件。
约束条件按照不同的形式可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束通常包括一些限制条件，例如生产的成本、材料、人工等费用等；而不等式约束则包括一些限制条件，例如工艺上的限制、质量上的限制等等。
第三部分：变量范围。
变量范围是针对线性规划中的所有变量进行限制，例如生产量、工作量等等。
变量的范围通常以非负数的形式进行限制。
二、线性规划的图形解释在图形表示中，我们可以把约束条件和目标函数分别绘制在平面直角坐标系上。
具体来说，约束条件的图像形式通常为一些直线或者凸多边形，而目标函数的图像则大多为一条直线。
设二维实数集合$$S = {(x,y)\mid x,y \in R}$$为平面直角坐标系上的点集。
设集合$$P = {(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y\le c_{1},a_{2}x+b_{2}y\le c_{2}}$$ 其中a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数，为x 轴和y轴上的两条直线。
则P就是由这两个约束条件限制而成的平面直角坐标系中的点集。
同时，一元线性规划问题中最常见的约束条件就是不等式约束。
在平面直角坐标系中，这些不等式约束通常形成一个封闭凸多边形，我们将其称之为约束多边形。
因此，在二元问题中，问题的可行解便是在该多边形中的可行点，即使得目标函数取得最小值或最大值的点。
三、线性规划的解法与应用在现实生活中，线性规划具有广泛的应用范围，例如经济学、管理学等学科领域。
线性代数的基本概念和性质
线性代数的基本概念和性质线性代数是一门研究向量、向量空间及其线性变换的数学学科。
它是数学的一个重要分支，也是许多其他学科如物理学、计算机科学和经济学等的基础。
本文将介绍线性代数的基本概念和性质，深入理解线性代数的重要性和应用。
一、向量的定义和运算向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用字母以小写粗体表示。
向量的定义和运算是线性代数的基础。
向量的加法和减法满足交换律和结合律，并且可以与数进行数乘运算。
向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算。
二、向量空间的概念和性质向量空间是指由一组向量组成的空间，具有特定的性质和运算规则。
向量空间必须满足加法运算和数乘运算的封闭性，且满足加法和数乘运算的结合律、分配律等性质。
向量空间还有线性相关和线性无关、基和维数、子空间等重要概念和性质。
三、矩阵的定义和运算矩阵是由数按照一定的规则排列成的矩形阵列，常用字母以大写粗体表示。
矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，可以与数进行数乘运算。
矩阵的乘法具有结合律，但不满足交换律，而且要求相乘的矩阵满足乘法的尺寸要求。
四、线性变换的定义和性质线性变换是指保持向量的加法和数乘运算的变换。
线性变换对向量的运算具有保持性质，即对向量的线性组合等于变换后各向量的线性组合。
线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量是线性变换的基向量。
线性变换的性质包括可逆性、特征值和特征向量等。
五、特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念。
特征值是线性变换中的一个常数，特征向量是与特征值相对应的向量。
特征值和特征向量可以描述线性变换对向量的拉伸或压缩程度和方向，对理解线性变换的作用和性质有重要意义。
六、应用领域线性代数在许多领域中有广泛应用。
在物理学中，线性代数可以用来描述力和向量场；在计算机科学中，线性代数可以用来处理图形计算和数据处理；在经济学中，线性代数可以用来建立经济模型和解决最优化问题。
此外，线性代数还有在工程学、统计学、生物学等领域中的应用。
线性空间中的基本定义及性质
线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。
它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。
本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。
一、线性空间的基本定义线性空间是一种包含数个元素的空间，其内部具有向量加法运算和数乘运算。
具体来说，设V为一个非空集合，其中的元素称为向量。
若V上有两种运算，一种为向量加法运算，用+表示，另一种为数乘运算，用·表示，则称(V, +, ·)为一个线性空间，满足以下条件：1.加法交换律：对任意u,v∈V，有u+v=v+u；2.加法结合律：对任意u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)；3.存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对任意u∈V，有u+0=u；4.对任意向量u∈V，存在相反元素：对任意u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0；5.数乘结合律：对任意α,α∈R，u∈V，有(αα)u=α(αu)；6.分配律：对任意α∈R，u,v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+α)u=αu+αu；7.标量乘法：对任意u∈V，有1u=u。
在以上定义中，R表示实数集合上的乘法运算。
二、线性空间的性质线性空间的定义虽然简单，但它带来了许多重要的性质。
以下是几个典型的例子：1. 零向量唯一性：线性空间中仅存在一个零向量，任何向量加上该零向量等于其本身。
2. 相反元素唯一性：线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。
3. 线性组合性质：设{u1,u2,...,un}为V中的向量。
{a1,a2,...,an}为任意实数，则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。
其中，每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。
4. 子空间的定义：设V为一个线性空间，如果它的子集W满足：（1）对于任意向量u,v∈W，u+v∈W；（2）对于任意α∈R，u∈W，有αu∈W；则称W是V的一个子空间。
5. 线性无关性：设V为一个线性空间，{u1,u2,...,un}为其中的向量。
线性规划的基本概念与解法
线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。
它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。
这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。
例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。
通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解存在于约束条件所定义的空间中。
4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。
最优解可以是唯一的，也可以有多个。
二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。
通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。
该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。
3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。
该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。
三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。
3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。
4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。
线性方程组的基本概念与解法
线性方程组的基本概念与解法线性方程组是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。
通过深入理解线性方程组，我们可以更好地解决复杂的数学和实际问题。
一、线性方程组的定义线性方程组由一系列线性方程组成，其表示形式为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_11、a_12、...、a_mn为已知系数，x_1、x_2、...、x_n为未知数，b_1、b_2、...、b_m为已知常数。
线性方程组的解即为一组满足所有方程的数值解。
二、线性方程组的解法解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和矩阵的逆等。
下面我们将分别介绍这些解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的解线性方程组的方法。
其基本思想是通过逐步化简系数矩阵，将线性方程组转化为上三角形式或行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个基准元素，通常选择第一行第一列的元素；c) 通过初等行变换，将基准元素下方的所有元素消为0；d) 选取下一行新的基准元素，并重复步骤c)直到将增广矩阵转化为上三角矩阵；e) 通过回代法求解出线性方程组的解。
2. 矩阵法矩阵法是通过将线性方程组的系数矩阵和常数项向量进行运算，得到方程组的解。
常用的矩阵法有求逆矩阵法和克拉默法则。
求解线性方程组的步骤如下：a) 将线性方程组的系数矩阵和常数项向量组合成增广矩阵；b) 对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形式；c) 根据简化行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。
3. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
线性代数的基本概念
线性代数的基本概念线性代数是数学中重要的一个分支领域，研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用，例如工程学、物理学和计算机科学等。
本文将介绍线性代数的基本概念，包括向量、矩阵和线性变换，并探讨它们之间的关系和特性。
1. 向量在线性代数中，向量是一个包含有序数值的数据结构。
它可以表示为一个n维的列向量或行向量。
例如，一个三维空间中的向量可以表示为：其中，a、b和c分别表示向量在每个维度上的分量。
向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
加法和减法的操作是将对应的分量相加或相减，而数量乘法是将向量的每个分量乘以一个常数。
2. 矩阵矩阵是一个按照矩形排列的数值集合。
它由m行n列组成，其中每个元素可以是实数或复数。
矩阵可以表示为：其中，a_ij表示矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。
矩阵的加法和减法的操作是将对应位置的元素相加或相减，而矩阵的乘法是按照一定的规则进行计算。
3. 线性变换线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。
它保持向量空间的线性结构，即满足加法和数乘运算。
线性变换可以表示为一个矩阵乘以一个向量的形式：其中，A是一个m行n列的矩阵，x是一个n维的列向量，y是一个m维的列向量。
线性变换可以将向量从一个空间映射到另一个空间，并保持向量之间的线性关系。
4. 向量空间向量空间是指由一组向量组成的集合，满足一定的条件。
具体来说，向量空间必须满足以下几个性质：- 封闭性：向量空间中的任意两个向量进行加法、减法和数量乘法的结果仍然是该向量空间中的向量。
- 加法交换律：向量空间中的任意两个向量进行加法操作的结果与操作顺序无关。
- 数量乘法结合律：将一个向量乘以一个标量再乘以另一个标量的结果等于将这两个标量相乘再乘以该向量的结果。
§1.3 线性规划的基本概念和基本定理
6. 基变量 —— 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 ——与非基向量相对应的变量,ห้องสมุดไป่ตู้共有n-m个.
p16-1
§3 线性规划的基本概念与基本定理
一、线性规划问题的基与解
设有标准型:
AX b X O min z CX (1 1 ) (1 2 ) (1 3 )
运筹学
运筹学
1. 可行解 —— 满足约束条件(1-1)(1-2)的解. 2. 最优解 —— 满足(1-3)式的可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称
B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 —— 基B的每一列向量, 共有m个.
5. 非基向量 ——A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个.
min z x 1 x 2 x 3 s .t . x 1 3 x 2 x 3 4 x2 x3 x4 8 x j 0 , j 1, ,4
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运筹学
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解. 例 找出所有基本解, 并指出其 中的基本可行解和最优解.
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第一讲 基本概念一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 个数1C ,2C , …, n C 构成,它满足:当每个方程中的未知数1x 都用1C 替代时都成为等式.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.⎩⎨⎧=+=+f ey dx c by ax如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。
(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ⨯n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素.540123-是一个2⨯3矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵mn m m n na a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为210111111-----,常数列为211-,则方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==++=2.2x -x --1,x x x -1,x -x -x n 2321321 由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和123-是不是一样?作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯3矩阵,右边是3⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.3. n 阶矩阵与几个特殊矩阵n ⨯n 的矩阵叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n 阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵:满足A A T =矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n 阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵? ①200000001 ②c c c 000000 ③00071112- ④001021110 ⑤000000000对角矩阵: ①、②、⑤上三角矩阵: ①、②、③、⑤下三角矩阵: ①、②、⑤对称矩阵: ①、②、④、⑤三. 线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的.① 加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).113201602341711540-=--+-两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).② 数乘: 一个数c 与一个m ⨯n 的矩阵A 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.一个数c 与一个n 维向量α可以相乘,乘积仍为n 维向量,记作αc .法则为α的每个元素乘c.cE cc c =00000向量组的线性组合:设1α，2α…，s α是一组n 维向量, 1c , 2c ,…, s c 是一组数,则称s s a c a c a c +++ 2211为1α，2α…，s α的(以1c , 2c ,…, s c 为系数的线性组合.例:求矩阵68075413--=A 的列向量组的系数为1,1,1的线性组合.解: 2126674801053=-+-+2.转置把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作T A .738501780351=T T T T T T cA cA BA B A =±=±)()(321)3.2.1(-=-=αα即T四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:① 交换两行的位置.② 用一个非0的常数乘某一行的各元素.③ 把某一行的倍数加到另一行上. A →B .2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:① 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上.② 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.44100009300064000562314310000093000642005623043100000930006420056231--------- 问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?200010000 100010110 cc c 00000一个n 阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果A 是阶梯形矩阵.(1) A 去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A 去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵100060100900103400010100060100900107003101000120200302105023101000122200312105623112120012220031210562316322012220031210562311941111545213136525623119411115452562311313652--→---→-→--→---→-----→---------→---------请注意:① 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种:① 交换两个方程的上下位置.② 用一个非0的常数乘某个方程.③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:00000420004130021*******1----→βA⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=+-=+++4243223154434324321x x x x x x x x x x矩阵消元法步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵（βA ），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(γB ).(2)用(γB )判别解的情况:如果最下面的非零行为(d 0,,0,0 ),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r 不会大于未知数个数n),r=n 时唯一解；r<n 时无穷多解. (3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(γB )的零行,得到一个n ×(n+1)矩阵(00γB ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(ηE ),则η就是解.nnn c c c b b b B 100000100001000**0***)(210221100 →=γγ),,,(21n c c c 就是解.)()()()(00ηγγβE B B A →→→,η就是解.2100020100000301000121006030040230315142000413002123011151)(00-→---→----=γB解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B . (2)用B 判别解的情况:非零行数r=n 时只有零解；r<n 时有非零解(求解方法在第五章讲).推论:当方程的个数m<n 时,有非零解.。