小升初数学衔接班——列方程解应用题(一)

小升初数学衔接班——列方程解应用题（一）一、学习目标通过学习用一元一次方程解决浓度问题、工程问题和行程问题等几种常见问题，掌握列方程解应用题的方法和步骤。

二、学习重点分析题目中的数量关系，列代数式，寻找等量关系。

三、课程精讲1、知识回顾我们在小学阶段学习过许多数量关系：（1）溶液中浓度、溶液、溶质的关系；（2）工程问题中工程量、工作效率、工作时间之间的关系；（3）行程问题中路程、速度、时间之间的关系：相遇问题、追及问题、水流问题、过桥问题等。

（4）增长率问题（5）年龄问题（6）数字问题2、新知探秘知识点一列方程解应用题的步骤例1、有两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是30%，乙种盐水的浓度是6%，现在要配成浓度为10%的盐水60千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？思路导航：此题是溶液的混合配制问题，这类问题中有三个等量关系：混合前后溶液的重量和不变、溶质重量和不变及溶剂重量和不变。

解答：-千克，甲种盐水中含盐30%x千克，设应取甲种盐水x千克，那么乙种盐水应取(60)x-千克，根据题意，得乙种盐水中含盐6%(60)x+-=⨯30%6%(60)6010%x xx=解方程，得10x-=-=60601050答：甲种浓度盐水取10千克，乙种浓度盐水取50千克。

点津：浓度问题是列方程解应用题的常见类型之一，关键是要找出配制前后溶液中哪些量不发生变化，从而寻找出等量关系，进而列出方程求解。

从上述例题我们知道，列方程解应用题的步骤是（1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系；（2）设元：选择适当未知数，用字母表示；（3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量；（4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；（5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解；（6）检验并答题。

仿练、现有两种酒精溶液，已知甲种酒精溶液中含酒精18千克，含水12千克；乙种酒精溶液中含酒精3千克，含水9千克。

现在要得到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克？思路导航：与上题一样属于溶液混合配制问题。

需要先算出甲种、乙种酒精溶液的浓度，再根据等量关系列出方程。

解答：设应取甲种酒精溶液x 千克，那么乙种酒精溶液应取(77)x +-千克，所取的甲种酒精溶液含酒精18100%1812x ⋅⨯+千克，所取的乙种酒精溶液含酒精3(77)100%39x +-⋅⨯+千克，根据题意，得183100%(77)100%7181239x x ⋅⨯++-⋅⨯=++解方程，得10x =7714104x +-=-=答：甲种酒精溶液应取10千克，乙种酒精溶液应取4千克。

点津：在列方程解应用题的步骤中，最重要的是对题目的分析，对列方程不要急于求成。

在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当的选择其中的一个，用字母x 表示出来，然后根据数量之间的关系，将其他几个未知量用含x 的代数式表示出来，再用列代数式时没有用到的等量关系列出方程。

知识点二 如何找等量关系熟悉实际问题中各种量之间的相等关系是列方程解应用题的基础。

找寻相等关系的基本方法有：（1）运用基本公式找寻相等关系； （2）从关键词中找寻相等关系； （3）运用不变量找寻相等关系； （4）对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），得到相等关系。

例2、一件工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需几小时完成？思路导航：此题属于工程问题，可把总工作量看作1，甲单独做4小时的工作量和甲、乙合作的工作量之和就等于总工作量“1”。

解答：设剩下的部分甲、乙合作需x 小时完成，则甲单独做4小时的工作量为1420⨯，甲、乙合作x 小时的工作量为11()2012x +，根据题意，得 1114()1202012x ⨯++= 解方程，得6x =答：剩下的部分甲、乙合作需6小时完成。

点津：列方程时，关键在于发掘题目中的等量关系。

题中所给条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。

重复利用某一个条件，会得到一个恒等式，却无法求得应用题的解。

比如，此题中这样求解：设剩下的部分甲、乙合作需x 小时完成，则甲、乙合作x 小时的工作量为11()2012x +。

因为由两部分时间共同完成了全部工作量，所以前一段时间里甲单独做的工作量为111()2012x -+，根据题意，得 11111()()120122012x x -+++= 显然，化简后得到1=1，这个“方程”不能求解。

发生错误的原因就是，“前一段时间里甲单独做的工作量111()2012x -+”是根据“两部分时间的工作量之和等于总工作量”，而又根据这个条件列出了“方程”，这个条件被重复利用了。

仿练、一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。

单开甲管16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全池水放完。

现在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问：又经过几分钟后才能将水池注满?思路导航：由题意知甲、乙、丙管的工作效率分别为111,,161020，相等关系是：甲工作量+乙工作量+丙工作量=全部工作量，只不过丙管是来“捣乱”的。

解答：设又经过x 分钟才能将水池注满，则甲管在前4分钟的工作量为1416⨯，乙管在前4分钟的工作量为1410⨯，乙管在后x 分钟中的工作量为110x ，丙管在后x 分钟中的工作量为120x ，依题意得方程： 111144116101020x x ⨯+⨯+-= 解得7x =答：又经过7分钟后才能将水池注满。

知识点三 直接设元与间接设元例3、甲乙两站之间的路程为354km ，一列慢车从甲站开往乙站，慢车走了1.5小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，已知慢车每小时走46km ，快车每小时走68km ，问两车各走多少小时后相遇?思路导航1：本题属于行程问题中相向而行的相遇问题。

为了弄清题目中各数量之间的关系，经常需要画图或列表。

如图可知，慢车和快车行走的路程之和等于甲乙两站之间的总路程。

解答1：设快车走了x 小时后与慢车相遇，那么快车走的路程为68x 千米，慢车走的路程是1.5小时走的路程加上x 小时走的路程，即(4646 1.5)x +⨯千米，相遇时两车所走的路程之和为354千米，由此可得方程：()46 1.568354x x ++=解得：x=2.5所以慢车走的时间是 1.54x +=（小时）答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

思路导航2：也可以设慢车走的时间为x 小时。

解答2：设慢车走了x 小时后与快车相遇.那么快车在相遇时所用的时间为 1.5x -小时，它们各自走的路程为：快车()68 1.5x -千米，慢车46x 千米，依题意可列方程为：()4668 1.5354x x +-=解得：4x =所以快车走的时间为 1.5 2.5x -=（小时）答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

思路导航3：以上两种解法是采用了直接设未知数的方法，下面我们可以采用间接设未知数的方法，将快车走的路程设为未知数，然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列方程求解。

解法3：设两车相遇时快车走的路程为x 千米，那么快车所用的时间为68x小时，慢车从1.5小时后到相遇时所用的时间为35446 1.546x-⨯-小时，由这两段路程相遇时所用的时间相等，可以依题意列出方程为：35446 1.54668x x-⨯-=解得：170x = 相遇时快车用的时间为：1702.568=（小时） 慢车所用的时间：45.25.1=+（小时）答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

思路导航4：采用间接设未知数的方法，也可以将慢车走的路程设为未知数，然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列方程求解。

解法4：设慢车从开出到相遇所走的路程为x 千米，那么慢车从1.5小时后到相遇时所用的时间为46 1.546x -⨯小时，而快车自开出到相遇时所用的时间为35468x-小时，依题意，以上2个时间相等，可列出方程：46 1.53544668x x-⨯-=解得：184x =慢车走的时间是184446=小时 快车走的时间为：3541842.568-=小时 答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

点津：一般题目问什么，就设什么为x ，这称为直接设元。

但这不是绝对的，有时直接设元后不利于列代数式和列方程，我们也可以设其他未知数为x ，这称为间接设元。

到底如何设元，要根据题目中的数量关系决定，怎样设元方便就怎样设。

但是如果选择间接设元，那么解出方程后还要换算出题目所求的量。

仿练、甲、乙、丙三人，甲每小时走132公里，乙每小时走335公里，丙每小时走142公里，若甲、乙两人在A 地，丙在B 地，三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，丙在遇到乙后3分钟才遇到甲。

求A 、B 两地的距离？思路导航1：此题属于行程问题中的相遇问题，而且此题中有两个相遇问题，它们的相遇时间差3分钟。

解答1：设A 、B 两地的距离为x 公里，则丙与乙的相遇时间为313452x +小时，丙与甲的相遇时间为113422x +小时，根据题意，得311316034342252x x -=++ 解这个方程，得32.4x =答：A 、B 两地相距32.4公里。

思路导航2：也可以间接设元，设丙与乙的相遇时间为x 小时，则可以表示出丙与甲的相遇时间，及各自的相遇路程，再根据相遇路程相等来列方程。

解答2：设丙、乙的相遇时间为x 小时，则丙、甲的相遇时间为3()60x +小时，相遇路程分别是31(34)52x +公里、113(34)()2260x ++公里，根据题意，得 31113(34)(34)()522260x x +=++ 解这个方程，得4x = 3131(34)(34)432.45252x +=+⨯= 答：A 、B 两地相距32.4公里。

点津：此题要注意单位的统一。

四、知识提炼导图五、目标期望通过本讲的学习，希望同学们掌握列方程解应用题的步骤，重点要学会分析题目中的数量关系，会选择直接设元还是间接设元，会用设出的未知数x来表示其他的未知量，再抓住题目中的等量关系列出方程。

六、下讲预告在下一讲的学习中，我们除了继续复习巩固列方程解应用题的方法步骤外，还要学习用方程解其他类型的应用题，比如流水问题、年龄问题、数字问题等。

通过对这些题型的分析讲解，要教会大家分析比较复杂的题目中的数量关系，要教会大家如何检查自己列出的方程是否正确。

【同步练习】（答题时间：45分钟）1、火眼金睛：（1）甲、乙两人环湖竞走，环湖一周400米，乙的速度是80米/分，甲的速度是乙的速度的114倍，且甲在乙前100米，多少分钟后，两人第一次相遇。