2014—2015函数导数高考题专题汇编

函数专题
2014年全国各地高考题导数大题汇总
【2014全国新课标卷I 】
设函数,ln )(1
x be x ae x f x x
-+=曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为.2)1(+-=x e y
（1）求;,b a
（2）证明.1)(>x f
【2014全国新课标卷II 】
已知函数.2)(x e e x f x x --=-
（1）讨论)(x f 的单调性；
（2）设)(4)2()(x bf x f x g -=，当0>x 时，0)(>x g ，求b 的最大值；
（3）已知4143.124142.1<<，估计2ln 的近似值（精确到0.001）.
【2014全国大纲卷】 函数).1()1ln()(>+-+=a a
x ax x x f （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）设11=a ，)1ln(1+=+n n a a ，证明：
.
2322+≤<+n a n n
【2014湖南卷】
已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x x ax x f （1）讨论)(x f 在区间),0(+∞上的单调性；
（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.
【2014四川卷】
已知函数1)(2---=bx ax e x f x ，其中R b a ∈,，71828.2=e …为自然对数的底数.
(1)设)(x g 是函数)(x f 的导函数，求函数)(x g 在区间[]1,0上的最小值；
(2)若0)1(=f ，函数)(x f 在（0，1）内有零点，求a 的取值范围.
【2014浙江卷】 已知函数a x x x f -+=3)(3 )(R a ∈/
（1）若)(x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(a M ，)(a m ，
求)()(a m a M -； （2）设R b ∈.若[]4)(2
≤+b x f 对[]1,1-∈x 恒成立，求b a +3的取值范围. 【2014浙江卷】
π为圆周率，71828.2=e …为自然对数的底数.
（1）求函数x
x x f ln )(=的单调性； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；
（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
【2014陕西卷】
设函数)1ln()(+=x x f ，)()(x f x x g '=，0≥x ，其中)(x f '是)(x f 的导函数.
（1）令)()(1x g x g =，))(()(1x g g x g n n =+，N n ∈，求)(x g n 的表达式；
（2）若)()(x ag x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设+∈N n ，比较++)2()1(g g …)(n g +与)(n f n -的大小，并加以证明.
【2014江西卷】 已知函数x b bx x x f 21)()(2-++= ).(R b ∈
（1）4=b 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在区间（0，3
1）上单调递增，求b 的取值范围. 【2014重庆卷】
已知函数cx be ae x f x x --=-22)( ),,(R c b a ∈的导函数)(x f '为偶函数，且曲线)(x f y =在（0，)0(f ）处的切线斜率为.4c -
（1）确定b a ,的值；
（2）若3=c ，判断)(x f 的单调性；
（3）若)(x f 有极值，求c 的取值范围.
【2014山东卷】 设函数)ln 2()(2x x
k x e x f x +-= （k 为常数，71828.2=e …为自然对数的底数.） （1）当0≤k 时，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若函数)(x f 在（0,2）内存在两个极值点，求k 的取值范围.
【2014福建卷】
已知函数ax e x f x -=)(（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线)(x f y =在点A 处的切线斜率为.1-
（1）求a 的值及函数)(x f 的极值；
（2）证明：当0>x 时，x e x <2；
（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当),(0+∞∈x x 时，恒有.2x ce x <
【2014北京卷】
已知函数x x x x f sin cos )(-=，.2,0⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈πx （1）求证：0)(≤x f ；
（2）若b x x a <<
sin 对)2
,0(π∈x 恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【2014天津卷】 设x ae x x f -=)( )(R a ∈.已知函数)(x f y =有两个零点1x ，2x ，且.21x x <
（1）求a 的取值范围；
（2）证明：2
1x x 随着a 的减小而增大； （3）证明：21x x +随着a 的减小而增大.
【2014江苏卷】
已知函数x x e e x f -+=)(，其中e 为自然对数的底数.
（1）证明：)(x f 是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式1)(-+≤-m e x mf x 在（0，∞+）上恒成立，求实数m 的取
值范围；
（3）已知正数a 满足：存在[)+∞∈,10x ，使)3()(030
0x x a x f +-<成立.试比较1-a e 与1-e a 的大小，并证明你的结论.
2015年函数解答题汇编
全国卷1理科
已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14
，g (x )＝－lnx ． (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x ) 的切线；
(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )} (x ＞0)，讨论h (x )零点的个数．
全国卷2理科
设函数f(x)=e mx ＋x 2－mx .
(Ⅰ)证明：f (x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤e-1,求m 的取值范围 全国卷2文科
已知函数f （x ）=ln x +a （1- x ）
（I ）
讨论f （x ）的单调性； （II ）
当f （x ）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围. 北京理
已知函数()1ln
1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 北京文
设函数. （1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点. ()2
ln ,02
x f x k x k =->()f x ()f x ()f
x (
天津文
已知函数4()4,,f x x x x R 其中*n N ，且n 2.
(1)求()f x 的单调性；
(2)设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ;
(3)若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且1
2x x ，求证：1321-43
a x x .
重庆理 设函数23()()x
x ax f x a R e +=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围；
重庆文
已知函数，其中，设是的导函数. （Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间(1，)内有唯一解。

()22
2ln 2f x x x ax a =-+-+0>a ()g x ()f x ()g x ()0,1∈a ()0≥f x ()0=f x +∞。