体育统计6正态分布(精选)
正态分布详解(很详细)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下 再复习一下。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。
回忆我们在本章第三讲中遇到过的 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨 量的数据画出了频率直方图。
定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
四、正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
下面我们在计算机上模拟这个游戏： 街头赌博
高尔顿钉板试验
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高 尔 顿 钉 板 试 验
这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
请看演示 正态分布
二、正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
P(|Y | 3 ) 0.9974
体育统计学复习题答案
体育统计学复习题答案体育统计学是一门应用统计学原理和方法来分析和解释体育数据的学科。
以下是一些体育统计学复习题的答案示例：1. 描述性统计分析：- 描述性统计包括哪些内容？答案：描述性统计包括中心趋势的度量（如均值、中位数、众数）和离散程度的度量（如方差、标准差、极差）。
2. 概率分布：- 正态分布的特点是什么？答案：正态分布是一种对称的钟形曲线，其特点是均值、中位数和众数相等，且数据的分布遵循3σ规则。
3. 假设检验：- 假设检验的基本步骤是什么？答案：假设检验的基本步骤包括：提出零假设和备择假设、选择适当的检验统计量、确定显著性水平、计算检验统计量的值、做出决策。
4. 相关与回归分析：- 相关系数的取值范围是多少？答案：相关系数的取值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关。
5. 方差分析：- 方差分析的目的是什么？答案：方差分析的目的是检验两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
6. 非参数统计：- 非参数统计方法适用于哪些情况？答案：非参数统计方法适用于样本量较小、数据不满足正态分布或数据为定性数据的情况。
7. 样本与总体：- 抽样误差是如何产生的？答案：抽样误差是由于从总体中随机抽取的样本不能完全代表总体而产生的误差。
8. 统计图表：- 条形图和直方图的区别是什么？答案：条形图用于展示分类数据的频数或百分比，而直方图用于展示连续数据的分布情况。
9. 体育成绩的统计分析：- 如何使用统计学方法分析运动员的成绩？答案：可以使用描述性统计来展示运动员成绩的中心趋势和离散程度，使用相关和回归分析来探究不同因素对成绩的影响，使用假设检验来比较不同运动员或不同训练方法的效果。
10. 体育研究中的伦理问题：- 在体育统计研究中，研究者应遵循哪些伦理准则？答案：研究者应遵循诚信、尊重参与者、保护隐私和数据的准确性等伦理准则。
请注意，这些答案仅为示例，具体问题的答案可能需要根据实际的统计数据和研究背景来确定。
第六章 体育统计学
第六章总体参数估计统计中的很多问题都涉及到根据样本来估计其总体的参数。
如某地区体育主管人希望估计一下本地区儿童、青少年对某项运动可能“达标”的平均人数；又如某教练员需要了解一下新的训练手段实施以后，运动员的成绩或身体素质可能出现的波动性等。
这些都可以用样本来估计总体的方法。
获得满意的结果。
本章主要介绍的是有了总体的一个样本的均值和标准差后，如何去估计该总体均值的方法。
第一节t分布如果从一个总体中随机抽取出若干个样本，当每个样本的含量相当多时，不管其总体的分布如何，其样本平均数的分布形式是正态分布。
当抽取的样本含量较少（一般不超过30）时，其样本的平均数分布具有的特殊形式称为t分布。
t分布的特点可以通过t分布与正态分布的比较来加以说明。
一、t分布分布与正态分布相类似处在于：平均数位于中央，曲线两侧关于纵轴（t = 0）是对称的，从中央向两侧逐渐降低，尾部无限延长，但永远不与横轴相交。
曲线下的总面积为1。
二、正态曲线的形式不随总体含量（N）的大小而有所改变，而t分布曲线却是一簇曲线，它的形式随着样本含量（n）的大小而不同，n愈小，分布的离散程度也愈大。
三、随着样本含量的加大，t分布逐渐与正态分布接近。
当n趋于无穷大时，t分布曲线与正态分布曲线重合，所以也可以说正态分布曲线是t分布曲线的极限。
（图6 —1）0123-1-2-3正态分布t分布t分布( =6)n′( =2)n′图6—1 t 分布与正态分布的比较t 分布是另一个重要的连续型随机变量分布，可以求出t 落在任意区间 [ a , b ] 内的概率，其值等于t 落在 [ a , b ] 内的面积。
这个面积可通过t 分布表查得。
第二节 t 值表t 值表见书后附表2，它给出了各种不同自由度下，不同显著性水平α量t 的临界值。
查t 值表时应注意以下几点：一、表中左侧第一列的数值是自由度 n '，它的值为n ' = n －1。
随着 n ' 值的不同，t 分布曲线的形式也是呈现不同的态势。
体育统计专题之正态分布技术介绍
数学便利性
正态分布具有许多良好的数学性 质，如概率密度函数的对称性和 概率计算方法的简便性，这使得 基于正态分布的统计分析变得相 对容易。
精度提升
在数据量较大或样本均数接近总 体均数时，正态分布能够提供更 为精确的估计和预测。
局限性分析
01
02
03
数据分布假设
正态分布假设数据来自正 态分布的总体，这在某些 体育项目中可能不成立， 如跳跃、举重等。
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布图呈现钟形曲线，对称轴为水平线，峰 值在中间位置。
分析数据分布情况
根据图形判断数据分布是否集中，离散程度如何。
确定数据范围
根据图形确定数据的最大值、最小值、平均值等 统计指标。
正态分布的参数与特性
参数
均值、标准差、偏度、峰度等。
特性
正态分布是一种连续概率分布， 具有对称性、集中性、均匀变动
PART 06
结论
REPORTING
WENKU DESIGN
正态分布在体育统计中的重要地位
正态分布是概率论和统计学中最重要的理论之一，在体育统计中也有着广泛的应用。
在体育领域中，许多数据指标都呈现出正态分布的特点，如运动员的身高、体重、 运动成绩等。
正态分布在体育统计中主要用于描述和分析这些数据，帮助我们了解运动员的身体 特征、运动表现和训练效果等。
体育统计专题之正态 分布技术介绍
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REPORTING
目录
• 引言 • 正态分布在体育统计中的应用 • 正态分布的绘制与解读 • 正态分布在体育统计中的优势与局限性 • 案例分析 • 结论
PART 01
引言
体育统计学参考公式
体育统计学参考公式体育中常用的连加求和运算：为了避免符号过于复杂，今后凡在求和范围可以看清的条件下，通常将∑号上下标省略不写，简记为：中位数：几何平均数：算术平均数：全距（极差，两极差）：R ＝最大值（X max ） －最小值（X min ）总体方差的计算公式：总体标准差的计算公式：样本方差的计算公式：样本标准差的计算公式：N X N X X X Ni i N ==+++121 N X N X X X X N i i N ∑==+++=121 nni i x x x x +++=∑= 211n n i ni i y x y x y x y x +++=∑= 22111∑=+++=ni n ix x x x 1222212 ()22121n n i i x x x x +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= ∑i x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+N N N 12221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+为偶数时当为奇数时当N X X N X Md N N N1222121=-n 1i i xx 绝对差∑=-=n 1i i x x 绝对差n 1i i =n x x n 1i i ∑=-=平均差N X N i i =-122)N X X N i i ∑=-=122)(σN X Ni i =-12)N X X N i i ∑=-=12)(σ1221=-n i i n 1)(1221--=∑=-n x x S n i i n 121=-ni i n 1)(121--=∑=-n x x S n i i n正态分布函数的一些性质：1. 概率密度函数在x 的上方，即f (x )>02. 正态曲线的最高点在均值μ，它也是分布的中位数和众数3. 正态分布是一簇分布，每一特定正态分布通过均值μ和标准差σ来区分。
μ决定曲线的位置，称为位置参数；σ决定曲线的形状，称为形状参数。
4. 曲线f (x )相对于均值μ对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5. 正态曲线下的总面积等于1，即概率值等于16. 随机变量的概率由曲线下的面积给出任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布：标准正态分布表的使用：1. 先将一个一般正态分布转换为标准正态分布2. 计算概率时，查标准正态概率分布表3. 对于负的 x ，可由Φ (-x )1=- Φ (x )得到4. 对于标准正态分布，即X ~N (0,12)，有P (a ≤ X ≤b ) = Φ (b ) -Φ (a ) P (|X| ≤a ) = 2Φ (a ) -1 5. 对于一般正态分布，即X ~N (μ , σ2)，有：标准化的例子A （5，102）12.01052.6=-=-=σμx U x μ=5σ=10一般正态分布6.2σ=1u标准正态分布μ=00.12.0478P (5 ≤X ≤6.2)标准化的例子B （5，102）5σ = 102.97.1X一般正态分布21.01051.7 21.1059.221=-=-=-=-=-=σμσμx U x U 0σ = 1-.21Z.21.1664.0832.0832标准正态分布P (2.9 ≤X ≤7.1)正态分布理论在体育中的应用： 一：应用正态分布理论制定考核标准制定考核标准的步骤： 1：制作正态曲线的分布草图。
正态分布讲解（含标准表）
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x ex 式中的实数、)0(是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b ，随机变量X 满足,()()b aP aXB x dx ,则称X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作),(2N ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～),(2N .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2N ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f ，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22xex f x（２）),(,221)(8)1(2xex f x （３）22(1)2(),(,)2x f x ex 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p 有11)2()1()2(p=1)1()2(=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x 是总体取值小于0x 的概率，即)()(00x xP x ，其中00x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P xx 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00x 时，)(1)(00x x ；而当00x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x 的值)(0x 是指总体取值小于x 的概率，即)()(00x xP x ，)0(0x ．若00x ，则)(1)(00x x ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x，2x x 与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x xx x x ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(xx F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2N 取值的概率：68.3%2σx95.4%4σ99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(xex f x ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(f ＝21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()21(),(,)2xf x ex ，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
《体育统计学》课程第4.5讲正态分布
二 正态分布表的使用和计算方法（续）
6.求一个负的u值和一个正的u值所围成的面积 （概率）
如果我们遇到要求出一个负的u值和一个正的u 值所围成的面积（概率）的情况时，则运用正 态分布曲线的对称性性质求解。 例如：求（－1，2）的面积（概率）？
二 正态分布表的使用和计算方法（续）
7 已知某区间的面积（概率）求与之对应的u 值
1 (u) 2
u
e
2
du
一 正态分布表的基本简况（续）
可以把（5.5）式看成是一个求面积的公式 （在正态分布曲线下某个（a，b）区间积分值 是变量在该区间的分布的概率，由于在几何图 形上概率值是以面积的形式表现出来的，故通 常地称为（a，b）区间的面积），式中的∮ （u）就是标准正态曲线下由－ ∞到某个u值 所围成的面积（概率）时，就无需直接解 （5.5）式，而只要查正态分布表就可以得到 相应区间的面积（概率）。
二 正态分布理论在制定离差评价表中的应用 （续）
二 正态分布表的使用和计算方法（续）
5.求两个负的u值所围成的面积（概率）
当遇到要求出两个负u值所围成面积（概率） 时，就要根据正态分布曲线的对称性性质，在 正态曲线图的右边找出两个正u值，使其所围 成的面积（概率）与两个负u值所围成的面积 （概率）相等，此时只要求出了两个正u值所 围成的面积（概率），目的就达到了。 例：求（－1.5，－0.5）区间的面积（概率）？
上面6种情况，均是已知u值去求出相应的面积 （概率），而本处所介绍的查表方式正好相反。 在一些情况下，我们要反查正态分布表，也就 是说要通过面积去找相对应的u值。
例如，已知（0，u）所围成的面积（概率） 为.3830，试求对应的u值。
6第六章 正态分布1 体育统计学 教学课件
正态分布的数学定义：
若随机变量X的概率分布密度函数是：
1 2 2 f ( x) e （） 1 2 , 都是常数, 且 0, x , 称随机变量X 服从参数为和 的正态分布, 记为X ( , 2 )。
2 x
位置参数：μ (决定曲线的位置) 变异度参数：σ( 决定曲线的形状)
所以要估计的5个区间分别为：
(, 2),[2, 0.33),[0.33,1),[1, 2),[2, )
第三步：根据各 u i 值求各区间的面积（概率）。
查正态分布表，可知：
(, 2)
所围成的面积为：0.0228
[2, 0.33) 所围成的面积为：0.3479，
[0.33,1) 所围成的面积为：0.4706，
例 3：求 1.96, 的概率。 查表可知 (1.96) 0.9750 ， 所以，所求面积为：
1 (1.96) 0.025
图9
4.求两个正u值所围成的面积（概率） 例4：求（1.5，2.0）区间所围成的面积，见图10。
图10
所求面积为：
(2) (1.5) 0.9772 0.9332 0.0440
（5） 决定曲线的形状，当 恒定时， 越大， 数据越分散，曲线越“矮胖”； 越小，数据越集 中，曲线越“瘦高”。习惯上用N （ ， 2）表 示均数为 、标准差为 的正态分布。 下列图中显示了不同的均数和标准差的正态曲线图。
不同平均数和标准差的正态分布图
不同标准差的正态分布图
00349一正态分布理论在制定考核标准研究中的应用二正态分布理论在人数估计研究中的应用三正态分布理论在制定离差评价表中的应用四正态分布理论统一变量单位在综合评价中的应用例1已知某项考试成绩答以下问题前3问的概率均从负无穷开始计1