数学竞赛中的趣味运动题

车分别跑完全程的时间为ｔ，、ｔ：．依题意有
『等（。。＋“：＋如）＝ｓ，
①
由由【了式式ＳＩ／②百①得！＋瓦乱ｃ１：＋击＝＝）羔＝璺ｔＬ．苎；旦击掣． ②
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一！！！！！生坠：！！！！些！塑！！！·生！些坐！坐！出
一
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一：！［！！也二生！！型！！：生兰！型！二生塑
５Ⅲ＝ｓ＃㈣一（Ｓ脚＋ＳⅫ＋ｓⅢ）
；罢（８＋１６）×６一
丢［６×２ｒ＋（１６—２ｆ）×了３ ｔ＋８（６一了３ Ｉ）１ ＝７２一（６ｔ＋了２４ ｒ一号，＋２４一詈；）
＝；（ｆ２—１４ｔ）＋４８
：ｉ３（＃一７）ｚ＋警（ｏ＜ｔ＜８）．
当ｔ＝７ ｓ时，△ＡＭＮ的面积最小，且最
小值为霉。矗．
万方数据
中等数学
一
３ｖ１１７２＂３（Ｖｔ＋口２＋训
≤Ｏ．
由此知，当口。、口。、虬不全相等时，有ｆ。＜ｔ：，
万方数据
即甲车先到；当口．＝口：＝％时，有＃，＝ｔ：，即 甲、乙两车同时到达．
例４如图１，四边形ＡＢＣＤ是矩形，甲、 乙两人分别从Ａ、曰两点同时出发，沿矩形按 逆时针方向前 进，乙至少在跑 第几圈时才有可 能第一次追上 甲？又乙至多在 跑第几圈时一定
下载时间：2010年7月29日
ＨＭ
ｃ
圉２
的速度分别为２ ｃｍ／ｓ、１∞∥ｓ．
（１）当点Ｍ、Ⅳ运动了几秒时，ＭＮ／／ＢＤ？
（２）点Ｍ在边ＢＣ上运动时，设点肘运
动的时间为ｔ（８），是否存在某一时刻ｔ（ｓ），使
得△ＡＭＮ的面积最小？若存在，请求出ｔ的
值；若不存在，请说明理由．
（２（Ｄ４，重庆市初中数学竞赛初赛）
讲解：（１）设当点肘、Ⅳ运动了＊Ｓ时，
注：显然，这是二次函数的最值问题
４通过图形或图表帮助求解
许多有关运动的题目常常与一些几何图 形有关，对图形的性质进行分析往往有助于 问题的解决，有些题目虽然不能画出图形，但 可以利用图表、流程图等直观地得到问题的 答案．
例６如图３所示，一个圆作滚动运动， 它从Ａ位置开始，滚过与它相同的其他六个 圆的上部，到达Ｂ位置，则该圆共滚过
时到达顶点，各次甲、乙所处的位置如下：
时间（嘶ｎ）０ ２ ４ ６… 甲的位置 Ａ斗Ｄ斗ｃ一日 … 乙的位置 Ｂ—Ｄ一曰一Ｄ …
所以，ｏ＝６．
两人第一次相遇是在所行路程之和为
１０ｍ时（边ＡＢ上），以后每当行程之和达到
４０ ｍ，就又相遇一次．而６ ｒａｉｎ两人行程之和
１＋ｆ掣１：１＋９：１０． 为３９０ ｍ，故相遇的次数为
口ｍ／ｓ的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离
共用ｔ ｓ． （１）写出用ｎ、。表示ｌ的函数解析式；
（２）若货车速度不低于１２ ｎＣ＇ｓ．且不到１５ ｍ／ｓ， 其长度为３２４ ｍ，求两车交错所用时间的取值范围．
（２００４，河北省初中数学创新与知识应用竞赛决 赛）
（提示：（１）设客车的速度为ｘ ｍ／ｓ，客车的长度
他登了印级后到达楼上那么，由楼下到楼上自动
扶梯的级数为——．
（１９９８．北京市中学生数学竞赛）
（提示：仿照例１．答案：６６，）
４．每小时一架飞机从达尼丁飞往上海，同时，每
小时另一架飞机从上海飞往达尼丁，一次飞行需 １０ ｈ完成一名旅客从达尼丁到上海的一所乘
练习题
１一人驾驶帆船沿江顺流而下，迎面遇到一艘 逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“你后面有轮船 开过来吗？”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘 轮船．”帆船继续航行半小时遇到了迎面开来的那艘 轮船已知轮船静水速度是帆船静水速度的２倍．那
万方数据
５
么，快艇静水速度是帆船静水速度的（ ）倍．
（Ａ）４
方形边行走，甲按逆时针方向每分钟行
３５ ｍ，乙按顺时针方向
Ｄ
Ｃ
每分钟行３０ ｍ．如果记
号（ａ，ｂ）表示两人出发 后已行了口ｒａｉｎ，并相
遇过ｂ次，那么，当两
人出发后第一次处在 （甲）
（乙）
正方形的两个相对顶
点位置时，对应的记号
应是（
）．
（第１２届江苏省初中数学竞赛）
２００６年第２期
讲解：出发后每２分钟出现一次两人同
有些运动题涉及到大小比较，这时，可以 根据题设的等式，利用解（证）不等式或比较 法求解．
例３在某城市举办的自行车越野赛 中，甲、乙两车同时从Ａ地出发到曰地．甲车
１
用速度”，、“：、％分别跑了告的时间；乙车用
１
速度。，、址、叱分别跑了｛的路程．试问甲、 Ｊ
乙两车谁先跑到口地？ （１９９３，四川省初中数学联合竞赛） 讲解：设＾、口两地的路程为Ｓ．甲、乙两
括在南京车站遇到的进站车辆、上海车站遇
到的出站车辆．）
汤簦 讲解：此题只需画出示意图（图６），问题
就迎刃而解了．
图６
该旅客前２ ｈ内（即行驶了一半路程）遇 到８辆（含到达南京站的１辆），出发后２ ｈ正 好遇到同时出发的上海开往南京的车１辆， 接下来２ ｈ内又遇到８辆（含出上海站的 １辆），总计１７辆，正如图６中的交点数．
２
●数学活动韶程讲崖●
中等数学
熬⑧亳爨皤鳓渔镳遵鳓鲤
吴勇贫
（江苏省南通市第一‘Ｉ’学，２２Ｙ０∞１）
（本讲适合初中） 在数学竞赛中，有关运动的数学应用题 可谓“长盛不衰”．本文撷取几道数学竞赛中 的趣味运动题，谈谈几种常见的解法．
１．２７：—ｓ－—２７．
①９
Ｊ２ｘ—Ｙ’
ｔｌ：＝掣．
②
收稿日期：２００５—０６—０３修回日期：２００５—０９—１９
‘
ｅ－Ｏｄ
。
所以，ｂ＝１０，记号为（６，１０）．
注：因为本题要求只求第一次“相对”，故
也可采用列表法．
例８ 大客车在沪宁高速公路上行驶
４ ｈ可从南京抵达上海．已知每隔半小时有
一辆大客车从南京开往上海，同时也有一辆
大客车从上海开往南京．一名旅客乘班车从
南京到上海，那么，他在整个旅行过程中可以
遇到从上海开往南京的大客车多少辆？（包
圈．
图３
（１９９５，东方航空杯上海市初中数学竞赛）
讲解：如图４
所示，当这个圆从
左边Ａ位置运动到
两圆上部中间的凹
１
处时，它转了喜圈；
Ｊ
图４
在中间任一圆上滚
动时则转了妻圈，共４次；最后它滚至Ｂ位
置时又是妻圈．因此，一共滚动了
寻＋｛×４＋了２＝寻（圈）．
例７如图５，正方形ＡＢＣＤ的周长为
４０ｉｎ，甲、乙两人分别从Ａ、Ｂ同时出发，沿正
许多运动题常常是时间（ｔ）、距离（Ｓ）、 速度（”）的函数．对这类问题可先建立一定
４
的函数关系，再利用函数的性质使问题获解．
例５ 如图２，在梯形ＡＢＣＤ中，有
ＡＤ／／ＢＣ，ＡＢｊ－ＢＣ，ＡＤ＝８ ａｎ，ＢＣ＝１６ ｅｍ，
ＡＢ＝６ ｅｍ．动点』
Ｄ
简、Ⅳ分别从点
Ｂ、ｃ同时出发，
沿ＢＣ、ＣＤ方向 在ＢＣ、ＣＤ上运 动，点Ｍ、Ⅳ运动
吴勇贫， WU Yong-pin 江苏省南通市第一中学,226001
中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2006，""(2) 0次
本文链接：/Periodical_zdsx200602001.aspx 授权使用：华中师范大学(hzsfdx)，授权号：3852d944-9533-4a1f-b539-9dc200c5d7c9
火车的车身长是——ｍ．
（２００２，湖北省初中数学竞赛） 讲解：首先将两个速度单位换算成：行人 １ ｍ／ｓ，骑车人３ ｍ／ｓ．设火车车身长为１ ｉｎ，火 车速度为ｗ ｍ／ｓ．依题意有 ｆｌ＝（口一１）×２２， 【ｌ＝（口一３）×２６． 解得ｌ＝２８６，＂＝ｔ４． 故这列火车的车身长为２８６ ｍ．
２通过解（证）不等式求解
男孩儿向上走扶梯３遍，向下走楼梯２｛遍． Ｕ 因此，男孩儿第一次追上女孩儿时走了
３×２７＋２７１×５４＝１９８级台阶．
Ｕ
注：数学竞赛中的不定方程问题通常可 用列表法求解，
例２与铁路平行的一条公路上有一行
２００６年第２期
人和一骑车人同时向南行进，行人的速度是 ３．６ ｋｍ／ｈ，骑车人的速度是１０，８ ｋｍ／ｈ．如果 一列火车从他们背后开来，其通过行人的时 间是２２ ｓ，通过骑车人的时间是２６ ｓ，则这列
为Ｙｍ．依题意知４５０＋Ｙ＝３３ｘ，７６０一Ｙ＝２２ｘ．解得
＊＝２２，Ｙ＝２７６所以，ｔ＝ａ＋２７，０（Ｆ＞０，ｏ＞Ｏ）．（２）当
ｄ：３２４，１２≤Ｆ＜１５时，由（１）得扛—兰％．又３４≤
一２２＜３７，则等ｃ器≤普．）
数学竞赛中的趣味运动题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
图１
能追上甲？请说 明理由．
（１９９８，山东省初中数学竞赛） 讲解：设ＡＤ＝ＢＣ＝ｎ ｍ，ＡＢ＝ＣＤ＝ｂ ｍ，
型一型 又设乙第一次追上甲的时间是在出发后的第 ７４—６５— ９
分钟，乙第一次追上甲所跑过的路程为
掣×７４（ｍ）．
ｐ：！！掣÷（２。＋２ｂ） 这时，乙跑过的圈数为Ｐ，则
２丐万可。４＋页丽 ３７（２ａ ４－ｂ）＾．３８ａ＋ｂ
万方数据
善②侍得１Ｆ等２习＝黑ｉ’朋刘 三一幽
４一ｓ一１８’
解得５＝５４． 因此，扶梯露在外面的部分是５４级．
（２）由（１）知Ｙ＝２ｘ． 设男孩儿第一次追上女孩儿时走过扶梯 ｍ遍，走过楼梯ｎ遍，则女孩儿走过扶梯 ｍ一１遍，走过楼梯ｎ一１遍，男孩儿上扶梯 ４＊级／ｒａｉｎ，女孩儿上扶梯３＊级／ｍｉｎ．则
１７＋瓦２—１ｒ＋——－‘ ５４ｍ．５４ｎ ５４（ｍ一１）．５４（ｎ一１）
故署＋号＝里｝＋旦｝，即
６ｎ＋，ｎ＝１６．
由于ｍ、ｎ中必有一个是正整数，且０≤ ｍ—ｎ≤１．于是，可得表ｌ