高等代数

高等代数其实是代数学基础，在数学系课程中相对比较简单。

因为其高度形式化和抽象化，初学者往往不适应。

就内容而言，高等代数除了多项式的基础外主要是线性代数，包括行列式、线性方程组、矩阵和线性空间。

作为数学分支的代数具有与初等数学中代数不同的特点。

初等代数主要就是计算，方程的求根或式子的化简。

在本科数学专业教学计划上，从高等代数开始，经过抽象代数，最后到群和环等专业选修课，代数学演变成对带有运算的结构进行刻画、分类等研究的学科。

这种形式化，在一定程度上体现了现代数学高度抽象化的特点。

在学习高等代数书时，要注意下列几点。

第一，适应研究对象的抽象和扩展。

高等代数开篇，就会引入数域的概念，作为数系概念的抽象。

数域概念的特点是突出了数的两种运算的特性。

随着学习的深入，会相继出现过去没有接触过的新研究对象，如映射、高维向量、矩阵、线性空间、变换等。

这些新的研究对象分别由各自的运算规律而界定。

这样将个别的演算抽象出共同的规律，并因此实现理论应用的广泛性。

因此，对新的研究对象要特别注意所定义的相应运算。

第二，深入理解等价和化简的概念。

等价是相同和相等关系的抽象和推广，用自反、对称和传递3个性质刻画。

高等代数中有大量的等价关系，如线性方程组的同解、矩阵的等价、矩阵的合同、矩阵的相似、线性空间的同构等。

每种等价的结构，可用种最简单的形式代表，这样就有了各种标准形。

构造标准形的过程就是在保持等价的前提下化简。

各种等价类的标准形式的数量特征也很重要，如秩、维数、惯性指数等。

第三，注意不同结构的联系。

特别是矩阵是高等代数的核心内容。

矩阵可以表示线性方程组，矩阵可以表示给定基下的线性变换，对称矩阵对应着二次型。

第四，熟悉化繁为简的常用技巧。

在许多证明中，善于把问题转化为实质相同但更简单的形式。

这类过程常用“不失一般性”开头。

可以把向量组或矩阵的行或列重新排列，也可以选择线性空间的特定组基，或者直接写成矩阵的某种标准形式。

在计算行列式等题目中，善于递推、类比等。

求和号的应用也能突出问题的本质而略去重复繁复的枝节。

上次说高等代数，感觉意犹未尽，现在再补充几句。

就高等代数内容而言，我自己概括为3点加2块，如果不算抽象代数的入门知识的话。

3点的内容比较规整，多项式，行列式和线性方程组。

这些内容各种书籍的差别也不大。

多项式及其代数方程论后续课或许还要学到，而行列式和线性方程组基本都是本课程中封闭的专题。

行列式比较特殊，而代数方程组是重要的具体例子，整门课程的内容包括后面提到的矩阵和空间都可以在其中应用。

2块的内容就多些，1块是矩阵论，另一块是线性空间及其线性影射。

两者实质上关系密切，但逻辑上也可以基本独立。

侧重矩阵的讲法比较实用，主要是计算，但没有反映出线性代数的几何意义。

如果是从事概率统计、线性系统、稳定性等应用领域，矩阵论很重要。

因此，矩阵理论是不少学校的工科研究生的必修学位课。

侧重空间的讲法概念清晰，数学上看也更高级，但具体计算上有欠缺。

如果单纯从代数学甚至核心数学的角度而不考虑应用，空间和变换或许更重要。

有限维空间到泛函分析中发展为无限维，而不掌握对偶空间就难以理解微分几何中的余切丛。

随着线性系统分析的几何方法的兴起，从事系统控制等应用领域现在也要很好掌握线性空间等概念。

不同的教材各有侧重。

现在的教学基本要求是两者兼顾，因此现行教材中两者大体均衡，典型的如北大的《高等代数》。

传统的苏联线性代数教材，如有译本的《线性代数基础》、《线性空间引论》和《线性代数学》都是侧重空间和变换，矩阵理论另外有课程。

还有堪称经典的Finite-Dimensional Vector Spaces也是主要从线性空间角度展开。

国内教材有些是偏重矩阵讲法的，如许以超《代数学引论》和谢邦杰的《线性代数》。

这两块在高等代数中的内容仅是基础，深入学习研究还有专门课程。

从高等代数学习的角度，还要有算法的概念。

所谓算法是指完成一个特定工作所需要的具体操作程式。

高等代数中很多定理的证明都是所谓构造性的，证明存在就是找出来。

矩阵在各种等价关系下的标准型，也由相应的算法确定。

线性空间中也有算法问题，典型的如标准正交基的构造。

学习高等代数时还要注意实数域与复数域的差别。

实数域在分析意义上是完备的，但在代数意义上不完备。

复数才是完备的，所有方程都有根。

高等代数有些结论是对一般数域都成立的，这种结论要弱些。

典型的例子是在合同关系下，不同数域的对称矩阵的标准形式不一样。

当然，线性空间本身也可以与数域无关的方式定义，不过这样就属于抽象代数的内容了。

A Survey of Modern Algebra和《抽象代数学2线性代数》就包括从更统一也更抽象的观点讲述线性代数。

当然，这种论述一定是侧重空间和影射的。

所谓高等代数，其实是代数学基础，包括多项式、线性代数和抽象代数简介。

因为抽象代数后面专门有课程，而多项式的内容也不多，因此高等代数的主要部分是线性代数。

因此，有些名为线性代数的教材其实也是高等代数，这些教材往往有多项式的附录。

这门课程我特别喜欢，看的书也就多些。

用的教材是北大编的《高等代数》。

特点我在“数学学习漫谈5”专门说过，就不重复了。

这本书当年下过大功夫，解答了全部习题包括补充题。

书上也写了大量的批注。

大概是自己单本教材最下功夫的。

参考书中我最喜欢的是本重印的许以超《代数学引论》。

该书是作者在北大和科大的讲稿，内容还包括解析几何和抽象代数。

该书强调矩阵的应用，空间和变换的内容相对少些。

矩阵论的深度超过初级课程的水平。

而且比较高级的问题与基本内容交织在一起。

例如，通常教材都会讲两个方阵乘积的行列式，而该书讲的是两个矩阵乘积的行列式，自然复杂的多。

该书后面的一些内容我没看，题目也没有全做。

感觉该书的论证比较严格，而且求和号运用的很巧妙。

看了该书以后，再也不用把求和号逐项写出，而且也容易适应后来的重复哑元的求和约定。

或许是受该书影响，我写文章必须喜欢写出求和号而不用求和约定，有次给女儿看我的论文，好多4重求和。

线性代数还看过些印象深刻的书。

一本是谢邦杰的《线性代数》，非常灵活的运用矩阵分块，简介了广义逆，而且把容易的内容放在前面，还有些定理的证明比较独特巧妙，不过我现在想不起来是那些定理了。

另本是张远达的《线性代数原理》，讲解的比较仔细，而且习题有提示甚至答案；内容也有所扩充，有些矩阵分析和矩阵论的专题。

还有本是蒋尔雄等《线性代数》，写法比较算法化，初学感到有些高深，其实习惯了反而容易；也有矩阵分析的初步，还有广义逆。

后来，我研究中需要用到广义逆，我至少知道有这样的现成工具，可以去翻专著现学现用。

讲广义逆的入门性教材不多，谢邦杰的是另个例外。

还有些书读过印象不深刻。

多是些重印的《高等代数》，有张禾瑞和郝鈵新的，周伯勋的，还有王湘浩和谢邦杰的。

新书有武汉大学数学系的《线性代数》。

俄苏教材译本也不能不读。

我特别喜欢的是马力茨夫院士的《线性代数基础》，内容讲解的很细致，有些菲赫金格尔茨讲微积分的风格；只是最后的多重张量让我很困惑，每行也能读懂，但不知道要干什么。

后来知道这是康德哲学的境界，至于黑格尔的哲学大概每句读来都觉得不通。

两位名家的盖尔芳德《线性代数学》和希洛夫的《线性空间引论》，当时真没看出什么好处。

后来体会都有打通线性代数和泛函分析的尝试。

这3本书都是很正宗的线性代数，主要讲空间和变换，关于矩阵的内容比较少。

甘特马赫的两卷本《矩阵论》体大虑周，借阅过才知道是线性代数的后续课。

我自己感觉高等代数的底子还是很扎实的。

后来考北大硕士时，“解析几何与高等代数”考了89分。

考虑到解析几何还是弱些，高等代数应该是很不错。

附：数学专业参考书整理推荐4：代数1前面说过代数有吃掉几何的倾向，所以有许多与时俱进的《代数与几何》。

不过还是建议分开学，一门一门的打好基础。

许多所谓的简明教程，还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。

不建议使用。

1《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材，有着悠久的传统。

目前通常使用的是第三版。

也是各大学的考研指定用书。

这本书更多以教师为主，给了教师以很大的发挥空间，受到教师的普遍欢迎。

不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。

讲到了所有应该讲的内容。

2《高等代数》张禾瑞，郝鈵新被各个师范大学的数学系广泛使用，和1同分天下。

张禾瑞已经去世，但书已经出到第五版。

3《线性代数》李烔生，中国科学技术大学出版社中科大的书一向比较难。

4《线性空间引论》叶明训，武汉大学出版社5《高等代数学》张贤科，清华大学出版社6《线性代数与矩阵论》许以超，高等教育出版社以上三本是一份书单上写的，拿了过来，不过我知道5还是不错的7《代数学引论》柯斯特利金一本和菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》齐名的伟大数学著作。

一本传世经典，没有什么可多说的。

最近刚刚有新译本出版，共分了三册，但都不是很厚，也不贵。

8《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫9《高等代数习题集》法捷耶夫，索明斯基8，9是前苏联的经典代数习题集分别有两千道和一千道题，做完会打下非常好的基本功。

10《高等代数》丘维声著书写的不错，不过是北京大学数学系用书，北京大学的教学内容和重点一贯与国内其他大学的不太一样，而且邱维声采用了与其他教材完全不同的编排方式，所以用这本书研也许有一些不适应。

建议用来作参考书而不是教材。

11《高等代数习题集》杨子胥著相对8，9很容易买到，很多人用来做考研的参考书，而且符合所谓的教学或考研大纲。

12《线性代数》蒋尔雄，高锟敏，吴景琨著名为线性代数，实际上是一本高等代数教材。

是一本非常老的为当时计算数学专业编写的书。

市面上根本找不到，但各大学的藏书中肯定会有。