2019年中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习

第六章圆

第二十二讲圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】

一、圆的定义及性质：

1、圆的定义：

⑴形成性定义：在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做

⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合

2、弦与弧：

弦：连接圆上任意两点的叫做弦

弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类

3、圆的对称性：

⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴

⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的

2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；

3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

二、垂径定理及推论：

1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】

三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角

2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧

推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角

有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、圆接四边形：

定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

性质：圆接四边形的对角。

【名师提醒：圆接平行四边形是圆接梯形是】

【重点考点例析】

考点一：垂径定理

例1（2018•）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm．

【思路分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD

在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．

【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AE=8cm，CF=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴EO=6cm，OF=8cm，

∴EF=OF-OE=2cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，

∵AB=16cm，CD=12cm，

∴AF=8cm，CE=6cm，

∵OA=OC=10cm，

∴OF=6cm，OE=8cm，

∴EF=OF+OE=14cm．

∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．

故答案为：2或14．

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．

考点二：圆周角定理

例2 （2018•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC 为直径作⊙O交AB于点D．

（1）求线段AD的长度；

（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

【思路分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD ⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD 的长．

（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．

【备考真题过关】

一、选择题

1.（2018•相山区）如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等

B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D．以上说法都不对

2．（2018•）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）

A．8cm B．5cm

C．3cm D．2cm

3．（2018•临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）

A． B． C． D．

4．（2018•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）

A B．

C．D．8

5．（2018•）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）

A．13寸B．20寸