2020中考数学复习(北京)重点专题九 新定义问题
2024年北京初三九年级上学期数学期末考《新定义》
2024年1月九上期末——新定义1.【东城】28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y =3x +6的“和距离”d 的取值范围．2.【西城】28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S -，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．备用图（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A -，()3,2B -，()2,2C -，()0,2D -中，有可能是由点R 经过一次“90°对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．3.【海淀】28.在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”.（1）如图、正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C -.①在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P -中，正方形T 的“伴随切点”是________；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(),1T t t +，正方形T 的边长为2.若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN △为等边三角形，直接写出t 的取值范围.4.【朝阳】28．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (t -2，0)，B (t +2，0).对于点P 给出如下定义：若∠APB=45°，则称P 为线段AB 的“等直点”．（1）当t =0时，①在点），（22201+P ，），（042-P ，）-，（2223-P ，），（524P 中,线段AB 的“等直点”是________；②点Q 在直线y =x 上，若点Q 为线段AB 的“等直点”，直接写出点Q 的横坐标．（2）当直线t x y +=上存在线段AB 的两个“等直点”时，直接写出t 取值范围．5.【石景山】28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定义：若点C 在弦AB 的垂直平分线上，且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点13(22A ,，13(22B -,．在点1(00)C ,，2(10)C ,，3(11)C ,，4(20)C ,中，弦AB 的“关联点”是；（2）若点1(0)2C ,是弦AB 的“关联点”，直接写出AB 的长；（3）已知点(02)M ,，(0)15N ,．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．6.【丰台】28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x轴上的点P，给出如下定义：将线段AB绕点P旋转180°可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P 为中心的“关联线段”．（1）如图，已知点A（-2，-1），B（-2，0），C（-2，１），D（-1，1），在线段AC，BD，CD中，⊙O以点P 为中心的“关联线段”是；x的取值范围；（2）已知点E（-4，1），线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标F （3）已知点E（m，1），若直线y=-x+2m上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．备用图7.【昌平】28.对于在平面直角坐标系xOy 中⊙T 和⊙T 外的点P ，给出如下定义：已知⊙T 的半径为1，若⊙T 上存在点Q ，满足PQ ≤2，则称点P 为⊙T 的关联点.（1）如图1，若点T 的坐标为（0，0），28题图1①在点1P （3，0），2P （3，-2），3P （-2，2）中，是⊙T 的关联点的是____________；②直线2y x b =+分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，若线段AB 存在⊙T 的关联点，求b 的取值范围；（2）已知点C （0，D （1，0），T （m ，1），△COD 上的每一个点都是⊙T 的关联点，直接写出m 的取值范围.28题图28.【通州】28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．给出如下定义：过O 外一点P 做直线与O 交于点M 、N ，若M 为线段PN 的中点，则称线段PN 是O 的“外倍线”。
完整版)北京中考数学新定义题目汇总
完整版)北京中考数学新定义题目汇总28.对于平面内的圆C和圆C外一点Q，定义如下：若过点Q的直线与圆C存在公共点，记为点A、B，设$k=\frac{AQ+BQ}{CQ}$，则称点A（或点B）是圆C的“k相关依附点”。
特别地，当点A和点B重合时，规定$AQ=BQ$，$k=\frac{2AQ^2}{CQ^2}$。
已知在平面直角坐标系$xOy$中，$Q(-1,0)$，$C(1,0)$，圆C的半径为$r$。
1) 当$r=2$时。
①若$A_1(0,1)$是圆C的“k相关依附点”，则$k$的值为$\frac{3}{2}$。
② $A_2(3,0)$是否为圆C的“2相关依附点”：否。
2) 若圆C上存在“k相关依附点”点M。
①当$r=1$，直线QM与圆C相切时，$k$的值为$2$。
②当$k=3$时，$r$的取值范围为$[\sqrt{\frac{3}{2}},2]$。
3) 若存在$r$的值使得直线$y=-3x+b$与圆C有公共点，且公共点是圆C的“3相关依附点”，则$b$的取值范围为$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。
28.在平面直角坐标系$xOy$中，点M的坐标为$(x_1,y_1)$，点N的坐标为$(x_2,y_2)$，且$x_1\neq x_2$，$y_1\neq y_2$，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于$x$轴，$y$轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”。
1) 已知点$A(2,0)$，$B(0,23)$，则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为$60^\circ$。
2) 若点$C(1,2)$，点$D$在直线$y=5$上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，则直线$CD$的表达式为$y=5$。
3) 圆O的半径为2，点$P(m,1)$。
若在圆O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，则$m$的取值范围为$[-1,3]$。
28.对于平面上两点A、B，定义如下：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A、B的“确定圆”。
北京市中考数学新定义问题解题策略
北京市中考数学新定义问题解题策略In the Beijing city junior high school math exam, a new type of problem called "definition problem" has been introduced in recent years. This type of problem requires students to understand and apply mathematical concepts in a broader context. It challenges students to think critically and creatively, rather than simply regurgitating memorized formulas. As a result, many students find these problems to be more difficult and intimidating than traditional math problems.在北京市初中数学考试中，近年来引入了一种新类型的问题，称为“定义问题”。
这种问题要求学生在更广泛的背景下理解和应用数学概念。
它挑战学生进行批判性和创造性思考，而不仅仅是简单地重复记忆的公式。
因此，许多学生发现这些问题比传统数学问题更难，更具威胁性。
To effectively tackle these new types of problems, students need to adopt a strategic approach that goes beyond rote memorization. One key strategy is to carefully read and analyze the problem statement, paying close attention to any given definitions or constraints. This will help students establish a clear understanding ofwhat is being asked and avoid misinterpretation. Additionally, students should try to relate the problem to real-life situations or other math concepts they have learned, as this can provide valuable context and insights.为了有效解决这些新类型的问题，学生需要采取一种超越简单记忆的策略。
2020年九年级数学中考总复习新定义专题训练测试卷含参考答案及试题解析
2020年九年级数学中考总复习新定义专题训练测试卷一．选择题（共20小题）1．对于有理数x，我们规定{x}表示不小于x的最小整数，如{2.2}＝3，{2}＝2，{﹣2.5}＝﹣2，若{}＝3，则x的取值可以是（）A．10B．20C．30D．402．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝﹣x+12与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA（点P与点O，A不重台）上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．3个B．5个C．7个D．9个二．填空题（共20小题）3．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒数点”．直线y＝﹣2x+1上有两点A，B，它们的“倒数点”点A′，B′均在反比例函数的图象上．若AB＝，则k＝．4．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（﹣2，﹣2）．（，），…，都是等值点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（，），且当m≤x≤3时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a ≠0）的最小值为﹣9，最大值为﹣1，则m的取值范围是．三．解答题（共60分）5．（10分）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．（1）已知点A（4，0）；①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为；（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．6．(10分）定义：把函数y＝（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y＝（m＜0）的图象叫做负值双曲线．（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y＝（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．①求直线l的解析式和m的值；②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（10分）【阅读理解】设点P在正方形ABCD内部，当点P到正方形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．举例：如图，正方形ABCD中，若P A＝PD，则称点P为边AD的“等距点”．【解题运用】已知，点P在边长为a的正方形ABCD内部．（1）设点P是边AD的“等距点”，求证：点P也是边BC的“等距点”；（2）若点P是边BC的“等距点”，连接P A，PB，求△P AB周长的最小值（用含a的式子表示）；（3）若点P是边CD的“等距点”，连接PB，PC，PD，当PB＝a，且sin∠ADP•sin∠BPC＝cos2θ时，求锐角θ的度数．8．（15分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M 有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A（1，），B（5，），连接AB．（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，）、D （t+6，），求实数t的取值范围；（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y＝过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围．9．（15分）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．2020年九年级数学中考总复习新定义专题训练测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．对于有理数x，我们规定{x}表示不小于x的最小整数，如{2.2}＝3，{2}＝2，{﹣2.5}＝﹣2，若{}＝3，则x的取值可以是（）A．10B．20C．30D．40解：有题意得：，解不等式①得：x＞16，解不等式②得：x≤26，不等式组的解集为16＜x≤26，20符合x的取值范围．故选：B．2．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝﹣x+12与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA（点P与点O，A不重台）上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．3个B．5个C．7个D．9个解：∵直线l：y＝﹣x+12与x轴、y轴分别交于A、B，∴A（16，0），B（0，12），∴OB＝12，OA＝16，∴AB＝＝20，∴sin∠BAO＝＝，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM＝P A，设P（x，0），∴P A＝16﹣x，∴⊙P的半径PM＝P A＝﹣x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取1，6，11，3个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是3．故选：A．二．填空题（共2小题）3．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒数点”．直线y＝﹣2x+1上有两点A，B，它们的“倒数点”点A′，B′均在反比例函数的图象上．若AB＝，则k＝﹣．解：如图过点A作AC⊥x轴，过B点作CB⊥y轴，BC交AC于点C∴∠ACB＝90°∵直线y＝﹣2x+1交x轴，y轴于E点，D点∴E（，0），D（0，1）∴tan∠ODE＝∵AC∥OD∴∠CAD＝∠ODE∴tan∠CAD＝且AB＝＝∴BC＝1，AC＝2设A（a，﹣2a+1），∴若B点在A点下方，则B（a+1，﹣2a﹣1）若B点在A点上方，则B（a﹣1，﹣2a+3）∵它们的“倒数点”点A′，B′均在反比例函数的图象上∴a＝﹣或a＝∴A1（，），或A2（，﹣）∴A1'（﹣4，），A2'（，﹣2）∴k＝﹣4．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（﹣2，﹣2）．（，），…，都是等值点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（，），且当m≤x≤3时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a ≠0）的最小值为﹣9，最大值为﹣1，则m的取值范围是﹣1≤m≤1．解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为＝，解得a＝﹣2，c＝﹣．故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣2x2+4x﹣3＝﹣2（x﹣1）2﹣1，如图，该函数图象顶点为（1，﹣1），由于函数图象在对称轴x＝1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当m≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+4x﹣3的最小值为﹣9，最大值为﹣1，∴﹣1≤m≤1，故答案为：﹣1≤m≤1．三．解答题（共5小题）5．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．（1）已知点A（4，0）；①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，则点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）．；（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．解：（1）①如图，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR，则OR＝AR．过点R作RH ⊥OA于点H，∴OH＝HA，∵以线段OA为底的等腰△OAR恰好是点O，A的“生成三角形”，∴RH＝OA＝4．∴OR＝，答：该三角形的腰长为．（2）②如图所示：若A为直角顶点时，点B的坐标为（1，0）或（7，0）；若B为直角顶点时，点B的坐标为（1，0）或（3，0）综上，点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）．（2）由图可得：若N为直角顶点：﹣1﹣≤x N≤0；若M为直角顶点：﹣6≤x N≤﹣2；综上，﹣6≤x N≤0．答：点N的横坐标x N的取值范围为：﹣6≤x N≤0．6．定义：把函数y＝（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y＝（m＜0）的图象叫做负值双曲线．（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y＝（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的一点，过点P作x轴的平行线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．①求直线l的解析式和m的值；②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）①当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；②无论x取何值，y＞0；③图象与坐标轴没有交点；④图象分布在第一、二象限，等等；（2）①设直线l的解析式为y＝kx+b．∵直线l过点A（﹣1，0）和点B（﹣2，﹣1），∴解得，∴直线l的解析式为y＝x+1．∵双曲线y＝（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1），∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，即：m的值为﹣2；②若存在，设点P的坐标为（p，p+1），则点M（，p+1），点N（﹣，p+1）．∴S△AMN＝|﹣﹣|×|p+1|＝2，若点P在线段AB上，则S△APM＝（p﹣）×[﹣（p+1）]＝（﹣P2﹣P+2）．∵S△AMN＝4S△APM，∴2＝4×（﹣P2﹣P+2），即P2+P﹣1＝0．解得p1＝，p2＝（舍去），若点P与点B重合，△APM不存在；若点P在线段AB的延长线上，则S△APM＝（﹣p）×[﹣（p+1）]＝（P2+P﹣2）．∵S△AMN＝4S△APM，∴2＝4×（P2+P﹣2），即P2+P﹣3＝0．解得p3＝，p4＝（舍去）．故存在点P（，）和（，），使得S△AMN＝4S△APM．7．【阅读理解】设点P在正方形ABCD内部，当点P到正方形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．举例：如图，正方形ABCD中，若P A＝PD，则称点P为边AD的“等距点”．【解题运用】已知，点P在边长为a的正方形ABCD内部．（1）设点P是边AD的“等距点”，求证：点P也是边BC的“等距点”；（2）若点P是边BC的“等距点”，连接P A，PB，求△P AB周长的最小值（用含a的式子表示）；（3）若点P是边CD的“等距点”，连接PB，PC，PD，当PB＝a，且sin∠ADP•sin∠BPC＝cos2θ时，求锐角θ的度数．（1）证明：如图1中，连接PB，PC．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∵P A＝PD，∴∠P AD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，∴△BAP≌△CDP（SAS），∴PB＝PC，∴点P也是边BC的“等距点”；（2）如图2中，∵点P是边BC的“等距点”，∴点P在线段BC的垂直平分线上，连接BD交MN于点P，连接P A，此时P A+PB的值最小，即△P AB的周长最小，周长的最小值＝AB+P A+PB＝AB+PD+PB＝AB+BD＝a+a．（3）如图3中，∵点P是边CD的“等距点”，∴由（1）可知：点P也是边AB点，∴P A＝PB，∵PB＝AB＝a，∴P A＝AB＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴∠P AB＝∠PBA＝60°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠DAP＝∠CBP＝30°，∵AD＝AP，BP＝BC，∴∠ADP＝∠APD＝∠BPC＝∠BCP＝75°，∵sin∠ADP•sin∠BPC＝cos2θ，∴cos2θ＝sin75°•sin75°＝cos215°，∴锐角θ＝15°．8．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A（1，），B（5，），连接AB．（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是P2和P3；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，）、D （t+6，），求实数t的取值范围；（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y＝过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围．解：（1）如图1：由“亲近点”的定义可以判断OP2与OP3与AB线段有公共点，∴线段AB的“亲近点”是P2与P3，故答案为P2和P3；（2）线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，∵t+6＞t，∴O、A、C在一条直线上，O、B、D在一条直线上，此时线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，∴＝，∴t＝3，∴，∴t＝，∴≤t≤3；（3）y＝过点B，∴b＝6，∴y＝﹣x+6，如图2：过原点的直线与⊙A相切于点F，连接OA，过点A作AG⊥x轴，∵OA＝2，AF＝1，∴∠AOF＝30°，∵AG＝，OG＝1，∴∠AOG＝60°，∴∠FOG＝30°，当⊙E与⊙A的切线相切时，⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”，∴OP⊥PE，∵Q（6，0），∴PQ＝3，∵⊙E的半径PE＝2，∴EQ＝5，∴E点横坐标n＝6﹣＝；如图3：当⊙E与y轴相切时，⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”，∴E点横坐标n＝2，∴2≤n≤；9．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为18；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．解：（1）①如图1，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，面积为3×6＝18；故答案为：18，18．②∵M（4，1），N（﹣2，3），∴|x M﹣x N|＝6，|y M﹣y N|＝2．又∵m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n＝﹣1或5．（2）如图2，①易得点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+4，可得x分别为，；结合图象可知：≤m≤；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+4，可得x分别为﹣，；∴点P的坐标为（﹣，7）或（，﹣3）；（3）如图3，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），∴，，∴，同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y＝﹣，∴抛物线的解析式y＝x2+或y＝﹣x2+．。
北京中考数学新定义题目汇总
2018西城一模28．对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）． 已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为． （1）如图，当时，①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________．②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙上存在“相关依附点”点， ①当，直线与⊙相切时，求的值． ②当时，求的取值范围．（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的附点”，直接写出的取值范围．C C Q Q C A B AQ BQk CQ+=A B C k A B AQ BQ =2AQ k CQ =2BQCQxOy (1,0)Q -(1,0)C C r1r 1(0,1)A C k k 2(1A +C 2C k M 1r =QM C k k =r r y b =+C C b x2018平谷一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，点N 的坐标为，且，，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O ，点P的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2018石景山一模28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为，点的坐标为， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为，若直线上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线上， 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围．()11,x y ()22,x y 12x x ≠12y y ≠(1,0)-B (3,3)(0,0)y x b =+9π(0)P m ，y x =9πm2018怀柔一模28. P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．2018海淀一模28．在平面直角坐标系中，对于点和⊙，给出如下定义：若⊙上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在⊙上，则称为⊙的反射点．下图为⊙的反射点的示意图．（1）已知点的坐标为，⊙的半径为，①在点，，中，⊙的反射点是____________； ②点在直线上，若为⊙的反射点，求点的横坐标的取值范围； （2）⊙的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是⊙的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．⋅2xOy P C C T O P OT 'P C P C C P A (1,0)A 2(0,0)O (1,2)M (0,3)N -A P y x =-P A P C x 2y P C C x2018朝阳一模28. 对于平面直角坐标系中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ； ②在直线y =2x+b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN ，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．2018东城一模28．给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2， ，.在A （1，0），B （1，1），三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N ，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °； ②在第一象限内有一点E，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；xOy 5=22,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭22,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()2,0C 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()3,m m③点F 在直线上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 的横坐标的取值范围．2018丰台一模28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (，0)，E (0，1)，F (0，)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．2018房山一模 28. 在平面直角坐标系xOy P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1. ①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ； ②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，,且23y x =-+F x 1212ky x=21y ax ax =-+()11Ax ,y ()22B x ,y，求二次函数图象的顶点坐标.2018门头沟一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为，点N 的坐标为，且，,我们规定：如果存在点P ，使是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为，点D 为点E 、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径的取值范围.备用图1 备用图2018顺义一模28．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线、给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P 为“曲心”． 122x x -=11(,)x y 22(,)x y 12x x ≠12y y =MNP ∆r (1,4)(1,2)r 1L 2L 1L 2L 1Q 2Q 12PQ PQ 1L 2L 12PQ PQ图12L 1例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为、（都是常数）的两个同心圆、，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线与抛物线、分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．2018通州一模28.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与或轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距”.例如在下图中，点，，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”.特别地，当与某条坐标轴平行(或重合)时，线段的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点，，则_______=AO D ，_______=BO D ； ② 点在直线上，请你求出的最小值；（2）点是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点是直线上一动点.请你直接写出点与点之间“直距”的最小值.1r 2r 1C 2C 12''r O M O N r =1C 2C 12r r y kx =2y x =212y x =212y x =21y x m=x y PQ D ()1,1P ()3,2Q =3PQ D PQ PQ ()2,1A -()2,0B -C 3y x =-+CO D E F 24y x =+E F EF 图2C 2C 1NMO'。
2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析
2020年中考总复习专题新定义一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．专题新定义参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，则＝﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，则a＝1或ka﹣1＝0，若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，∴3*4＝3×（3﹣4）3＝3×（﹣1）3＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则关于x的方程变为+＝1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，故x＝3是原分式方程的解，故答案为：x＝3．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），综上，x＝1或﹣2，故答案为：1或﹣27．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），∴N（﹣5，2）．设直线MN的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴设A（k，﹣），∵A，B是一对“互换点”，∴B（﹣，k），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围0＜r＜3﹣或r＞．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，∴点C的坐标为（2，3），∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．故答案为：6．（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，∴∠ABO＝45°，∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．∵点M到y轴的距离为3，∴点M的坐标为（3，3）．∵点M，N的“X矩形”的面积为4，∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，此时r＝OE﹣MN＝3﹣，∴0＜r＜3﹣；如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，∵MN＝3，∴BF＝MN＝．在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，∴OF＝＝，∴r＞．故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．第21页（共21页）。
2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析
2020年中考总复习专题新定义一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．专题新定义参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，则＝﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，则a＝1或ka﹣1＝0，若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，∴3*4＝3×（3﹣4）3＝3×（﹣1）3＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则关于x的方程变为+＝1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，故x＝3是原分式方程的解，故答案为：x＝3．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），综上，x＝1或﹣2，故答案为：1或﹣27．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），∴N（﹣5，2）．设直线MN的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴设A（k，﹣），∵A，B是一对“互换点”，∴B（﹣，k），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围0＜r＜3﹣或r＞．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，∴点C的坐标为（2，3），∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．故答案为：6．（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，∴∠ABO＝45°，∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．∵点M到y轴的距离为3，∴点M的坐标为（3，3）．∵点M，N的“X矩形”的面积为4，∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，此时r＝OE﹣MN＝3﹣，∴0＜r＜3﹣；如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，∵MN＝3，∴BF＝MN＝．在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，∴OF＝＝，∴r＞．故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．第21页（共21页）。
新定义最新2020北京地区期末试题分类精选新定义类型北京特色
2020学年九年级数学上北京地区期末数学试卷分类新定义试题精选含答案解析1．在平面直角坐标系xOy 中，已知(,)P a b ，(,)R c d 两点，且a c ≠，b d ≠，若过点P 作x 轴的平行线，过点R 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S ，连接PR ，则称PRS ∆为点P ，R ，S 的“坐标轴三角形”．若过点R 作x 轴的平行线，过点P 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S '，连接PR ，则称RPS ∆'为点R ，P ，S '的“坐标轴三角形”．右图为点P ，R ，S 的“坐标轴三角形”的示意图．（1）已知点(0,4)A ，点(3,0)B ，若ABC ∆是点A ，B ，C 的“坐标轴三角形”，则点C 的坐标为 (3,4) ；（2）已知点(2,1)D ，点(,4)E e ，若点D ，E ，F 的“坐标轴三角形”的面积为3，求e 的值．（3）若O (,4)M m ．若在O 上存在一点N ，使得点N ，M ，G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求m 的取值范围．【分析】（1）由“坐标轴三角形”的定义可得出答案；（2）由条件可得1|2|332DEF S e ∆=-⨯=，解方程即可得出e 的值； （3）可得直线MN 为y x b =+或y x b =-+，①当直线MN 为y x b =+时，当直线MN 平移至与O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值，求出b 的最小值为3-，m 的最大值为47m b =-=，当直线MN 平移至与O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值，b 的最大值为3，m 的最小值为41m b =-=，可求出范围，②当直线MN 为y x b =-+时．同理可得，4m b =-，当3b =时，1m =-，当3b =-时，7m =-，可求出m 的取值范围是71m --． 【解答】解：（1）点(0,4)A ，点(3,0)B ，4OA ∴=，3OB =，ABC ∆是点A ，B ，C 的“坐标轴三角形”， (3,4)C ∴，故答案为：(3,4)．（2）点(2,1)D ，点(,4)E e ，点D ，E ，F 的“坐标三角形”的面积为3， ∴1|2|332DEF S e ∆=-⨯=， |2|2e ∴-=，4e ∴=或0e =，（3）由点N ，M ，G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN 为y x b =+或y x b =-+， ①当直线MN 为y x b =+时，由于点M 的坐标为(,4)m ，可得4m b =-，由图可知，当直线MN 平移至与O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值．此时直线MN 记为1M 1N ，其中1N 为切点，1T 为直线1M 1N 与y 轴的交点．△O 11N T 为等腰直角三角形，1ON ，13OT ∴== b ∴的最小值为3-，m ∴的最大值为47m b =-=．当直线MN 平移至与O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值． 此时直线MN 记为2M 2N ，其中2N 为切点，2T 为直线2M 2N 与y 轴的交点．△22ON T 为等腰直角三角形，2ON =∴23OT =． b ∴的最大值为3，m ∴的最小值为41m b =-=，m ∴的取值范围是17m ，②当直线MN 为y x b =-+时．同理可得，4m b =-，当3b =时，1m =-，当3b =-时，7m =-，m ∴的取值范围是71m --．综上所述，m 的取值范围是17m 或71m --．2．如图，在平面内，点Q 为线段AB 上任意一点，对于该平面内任意的点P ，若满足PQ 小于等于AB ，则称点P 为线段AB 的“限距点”．（1）在平面直角坐标系xOy 中，若点(1,0)A -，(1,0)B ．①在的点(0,2)C ，(2,2)D --，(0,E 中，是线段AB 的“限距点”的是 E ；②点P 是直线y x 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围．（2）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)A t ，(,1)B t -．若直线y =上存在线段AB 的“限距点”，请直接写出t 的取值范围【分析】（1）①C 、D 到AB 的最短距离2，2AB =，C 、D 不是线段AB 的“限距点”；当(0,E 时，E 到AB E 是线段AB 的“限距点”；②以(1,0)为圆心，2为半径做圆，以(1,0)-为圆心，2为半径做圆，两圆与直线y =+的交点为P ，结合图象可得131P x --；（2）如图，以(,1)A t 为圆心，2为半径做圆，以(,1)B t -为圆心，2为半径做圆，两圆与直线y =+P 533t -． 【解答】解：（1）①当(0,2)C 时，C 到AB 的最短距离2，2AB =， C ∴不是线段AB 的“限距点”； 当(2,2)D --时，D 到AB 的最短距离2，2AB =， D ∴不是线段AB 的“限距点”；当(0,E 时，E 到AB 2AB =，E ∴是线段AB 的“限距点”； 故答案为E ； ②如图：以(1,0)为圆心，2为半径做圆，以(1,0)-为圆心，2为半径做圆，两圆与直线y P ， ∴131P x --；（2）如图，以(,1)A t 为圆心，2为半径做圆，以(,1)B t -为圆心，2为半径做圆，两圆与直线y P ，∴533t -．3．在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A t ，(2,0)B t +，(,1)C n ，若射线OC 上存在点P ，使得ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，0t =，①若0n =，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是 (0,2) ； ②若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是 ．【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知2==，由此即可解决OP AB问题．②如图2中，当OP AB⊥轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决=时，作PH x问题．（2）如图31⊥轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作A，B．首-中，作CH y先证明30∠=︒，由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线COHOC与A，B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．解：（1）①如图1中，由题意(0,0)C，A，(2,0)B，(0,1)点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴==，OP AB2P∴．(0,2)故答案为：(0,2)．②如图2中，当OP AB⊥轴于H．=时，作PH x在Rt POH ∆中，1PH OC ==，2OP AB ==OH ∴，观察图象可知：若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1时，n <（2）如图31-中，作CH y ⊥轴于H ．分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作A ，B ．由题意C 1)，CH ∴=1OH =，tan CH COH OH∴∠= 60COH ∴∠=︒，当B 经过原点时，(2,0)B -，此时4t =-，射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，∴射线OC 与A ，B 只有一个交点，观察图象可知当42t -<-时，满足条件，如图32-中，当点A 在原点时，30POB ∠=︒，此时两圆的交点P 在射线OC 上，满足条件，此时0t =，如图33-中，当B 与OC 相切于P 时，连接BP ．OC ∴是B 的切线，OP BP ∴⊥，90OPB ∴∠=︒，2BP =，30POB ∠=︒，241cos602PB OB ∴===︒，此时422t =-=， 如图34-中，当A 与OC 相切时，同法可得4OA =，此时4t =，此时符合题意．如图35-中，当A 经过原点时，(2,0)A ，此时2t =，观察图形可知，满足条件的t 的值为：24t <，综上所述，满足条件t 的值为42t -<-或0t =或24t <． 故答案为：42t -<-或0t =或24t <．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)A ，点B 在x 轴上，以AB 为直径作C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点．例如，图1中的Q 为点P 的一个离点．（1）已知点(0,3)P ，Q 为P 的离点．①如图2，若(0,0)B ，则圆心C 的坐标为 (0,1) ，线段PQ 的长为 ； ②若(2,0)B ，求线段PQ 的长；（2）已知12PA ，直线:3(0)l y kx k k =++≠．①当1k =时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ； ②记直线:3(0)l y kx k k =++≠在11x -的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围．【分析】（1）①如图可知：(0,1)C ，在Rt PQC ∆中，1CQ =，2PC =； ②如图，过C 作CM y ⊥轴于点M ，连接CP ，CQ ，(0,1)M ．在Rt ACM ∆中，由勾股定理可得CA ，CQ =Rt PCM ∆中，由勾股定理可得PC ．在Rt PCQ ∆中，由勾股定理可得PQ ==（2）①当1k =时，4y x =+，(4,)Q t t -，P 的纵坐标为4时，PQ 与圆C 相切，设(,0)B m ，则圆心为(2m C ，1)，由CQ PQ ⊥，可求CQ 的解析式为12m y x =-++，Q 点横坐标为3442m t -=-，则(25,1)C t -，再由CQ AC =，得到6t =或2t =；②3y kx k =++经过定点(1,3)-，PQ 是圆的切线，AO 是圆的弦，则有2PQ PA PO =，当0k <时，Q 点的在端点(1,3)-和(1,23)k +之间运动，当(0,4)P 时，PQ =，以P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点(0,4-，此时1k =-，当(0,3)P 时，PQ =(1,23)Q k +，2143k +=，所以21k --；当0k >时，当(0,4)P 时，PQ =，以P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点(0,4+，此时1k =+，当(0,3)P 时，PQ ，(1,23)Q k +，2143k +=1k <+ 【解答】解：（1）①如图可知：(0,1)C ，在Rt PQC ∆中，1CQ =，2PC =，PQ ∴=，故答案为(0,1)②如图，过C 作CM y ⊥轴于点M ，连接CP ，CQ ． (0,2)A ，(2,0)B ，(1,1)C ∴．(0,1)M ∴．在Rt ACM ∆中，由勾股定理可得CA =．CQ ∴=(0,3)P ，(0,1)M ，2PM ∴=．在Rt PCM ∆中，由勾股定理可得PC ．在Rt PCQ ∆中，由勾股定理可得PQ ==（2）①如图1：当1k =时，4y x =+，(4,)Q t t ∴-，12PA ，P ∴的纵坐标为4时，PQ 与圆C 相切，设(,0)B m ， (2mC ∴，1)， CQ PQ ⊥，CQ ∴的解析式为12my x =-++， Q ∴点横坐标为342m -， ∴3442m t -=-， 410m t ∴=-，(25,1)C t ∴-， CQ AC =，22(25)12(1)t t ∴-+=-， 6t ∴=或2t =， t ∴的最大值为6；故答案为6． ②11x -，3y kx k =++经过定点(1,3)-， PQ 是圆的切线，AO 是圆的弦，2PQ PA PO ∴=， 当0k <时，Q 点的在端点(1,3)-和(1,23)k +之间运动，当(0,4)P 时，PQ =，以P 为圆心，PQ 长为半径的圆与y 轴交于点(0,4-，此时1k =-，当(0,3)P 时，PQ = (1,23)Q k +，2∴+=，143k∴=k∴=，k2∴--；1k当0k>时，当(0,4)P时，PQ=，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点(0,4+，此时1k=+当(0,3)P时，PQ=(1,23)Q k+，2k∴+=，143∴=k∴=，kk<+∴15．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：O及O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切O于点A，PB切O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：OP是Q的直径，OAP OBP∴∠=∠=90(︒)（填推理的依据）．PA OA∴⊥，PB OB⊥．OA，OB为O的半径，PA∴，PB是O的切线．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用圆周角定理证明90OAP OBP ∠=∠=︒即可． 【解答】解：（1）补全图形如图．（2）完成下面的证明． 证明：OP 是Q 的直径，90OAP OBP ∴∠=∠=︒ （直径所对的圆周角是直角）， PA OA ∴⊥，PB OB ⊥． OA ，OB 为O 的半径，PA ∴，PB 是O 的切线．故答案为90，直径所对的圆周角是直角．6．对于平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -和点(3,0)B ，线段AB 和线段AB 外的一点P ，给出如下定义：若4590APB ︒∠︒时，则称点P 为线段AB 的可视点，且当PA PB =时，称点P 为线段AB 的正可视点．（1）①如图1，在点1(3,6)P ，2(2,5)P --，3(2,2)P 中，线段AB 的可视点是 2P ，3P ； ②若点P 在y 轴正半轴上，写出一个满足条件的点P 的坐标： ． （2）在直线y x b =+上存在线段AB 的可视点，求b 的取值范围；（3）在直线y x m =-+上存在线段AB 的正可视点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）①如图1，以AB 为直径作圆G ，则点P 在圆上，则90APB ∠=︒，若点P 在圆内，则90APB ∠>︒，以1(2C ，5)2为圆心，AC 为半径作圆，在点P 优弧AEB 上时，45APB ∠=︒，点P 在优弧AEB 内，圆G 外时，4590APB ︒<∠<︒；以1(2D ，5)2-为圆心，AD 为半径作圆，在点P 优弧AFB 上时，45APB ∠=︒，点P 在优弧AFB 内，圆G 外时，4590APB ︒<∠<︒；分别判断点1P ，2P ，3P 的位置即可求解；②观察图象可求解；（2）分别求出直线y x b =+与圆C ，圆D 相切时，b 的值，即可求解；（3）线段AB 的正可视点的定义，可得线段CQ 和线段DW 上的点为线段AB 的正可视点，将点的坐标代入可求解．【解答】解：（1）①如图1，以AB 为直径作圆G ，则点P 在圆上，则90APB ∠=︒，若点P 在圆内，则90APB ∠>︒，以1(2C ，5)2为圆心，AC 为半径作圆，在点P 优弧AEB 上时，45APB ∠=︒，点P 在优弧AEB内，圆G 外时，4590APB ︒<∠<︒；以1(2D ，5)2-为圆心，AD 为半径作圆，在点P 优弧AFB 上时，45APB ∠=︒，点P 在优弧AFB 内，圆G 外时，4590APB ︒<∠<︒；点1(3,6)P ，2(2,5)P --，3(2,2)P1PC AC ∴=>=，则点1P 在圆C 外，则145APB ∠<︒，2P D AC ==，则点2P 在圆D 上，则245AP B ∠=︒， 352PG BG ==，点3P 在圆G 上，则390AP B ∠=︒， ∴线段AB 的可视点是2P ，3P ，故答案为：2P ，3P ；②由图1可得，点P 的坐标：(0,3)P （答案不唯一，纵坐标p y 6)p y ． （2）如图2，设直线y x b =+与圆C 相切于点H ，交x 轴于点N ，连接BH ，45HNB HBN ∠=∠=︒，NH BH ∴=，90NHB ∠=︒，且NH 是切线，BH ∴是直径，BH ∴=，10BN ∴=， 7ON ∴=，∴点(7,0)N -07b ∴=-+， 7b ∴=，当直线y x b =+与圆D 相切 同理可求：8b =-87b ∴-（3）如图3，作AB 的中垂线，交C 于点Q ，交D 于点W ，直线y x m =-+上存在线段AB 的正可视点，∴线段CQ 和线段DW 上的点为线段AB 的正可视点．点1(2C ，5)2，点1(2D ，5)2-，点1(2Q ，52+，点1(2W ，52--分别代入解析式可得：3m ∴=，32m =+，2m =-，22m =--，m ∴的取值范围：22m -或53232m +．。
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解：由题意知，点A坐标为(6，0)，点B坐标为(0，2 3)， 则在Rt△AOB中，OB＝2 3 ，OA＝6，∴∠OAB＝30°. 如解图①，当⊙C与线段AB相切时， 即有一个公共点P，则CP＝2， ∴在Rt△ACP中，AC＝4， ∴此时点C坐标为(2，0)；
例1题解图①
专题九 新定义问题
如解图②，当⊙C的横坐标2＜xC≤4时，⊙C与线段AB有两个公共点； 如解图③，当⊙C的横坐标4＜xC≤8时，⊙C与线段AB有一个公共点. 综上所述，当⊙C与线段AB有公共点时，xC的取值范围是2≤xC≤8.
直线l与⊙O相离
直线l与⊙O相切
直线l与⊙O相交
专题九 新定义问题
【作法提示】如解图：
第2题解图
专题九 新定义问题 典例精讲
例1 直线l：y＝－ 3 x＋2 3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙C的圆心在x轴
3 上，半径为2，若⊙C与线段AB有公共点，求圆心C的横坐标xC的取值范围.
例1题图
专题九 新定义问题
专题九 新定义问题（必考）
【专题解读】本题是一道创设情境、引入新的数学概念的探索性问题，从 运动与变化的角度观察图形、分析问题，发现问题间的区别和联系，创造 性地解决问题，主要考查数形结合、类比与归纳的数学思想方法，考查抽 象概括能力、发现问题并解决问题的能力，考查创新意识.在解题过程中， 要重视分析动点轨迹及临界状态.
拓展2解图①
专题九 新定义问题
当圆心C在点A右侧时，如解图②，同理可得点C坐标为(3，0).
拓展2解图②
综上所述，圆心C的横坐标xC的取值范围为－9≤xC≤3.
拓展1解图
专题九 新定义问题
拓展2 直线l：y＝ 3 x＋ 3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙C的圆心在x
3
轴上，半径为1，若⊙C与直线l相离，且直线l上存在一点与⊙C上一点的最小 距离不大于2，求圆心C的横坐标xC的取值范围.
拓展2题图
专题九 新定义问题
解：由题意知，点A坐标为(－3，0)，点B坐标 为(0， 3 )，可得∠OAB＝30°. 如解图，过点C向直线l作垂线，交⊙O于点D， 交直线l于点P， 当圆心C在点A左侧时，如解图①， 当⊙C上一点与直线l的最小距离为2时， 即在Rt△ACP中，DP＝2，CD＝1，∴AC＝6， 即点C坐标为(－9，0)；
例1题解图②ຫໍສະໝຸດ 例1题解图③专题九 新定义问题
拓展1 在上述条件下，若⊙C与直线AB有公共点，求圆心C的横坐标xC 的取值范围.
拓展1题图
专题九 新定义问题
解：由例1题知，当圆心在点A左侧且⊙C与直线AB相切时，点C坐标为(2，0)； 同理，当圆心在点A右侧且⊙C与直线AB相切时，如解图，可得点C坐标为(10，0). 综上，当⊙C与直线AB有公共点时，xC的取值范围是2≤xC≤10.
专题九 新定义问题
热身小练习
1、点与圆的距离 已知⊙O及点P，请在⊙O上找到点M、N，使得PM最短，PN最长.
点P在⊙内
点P在⊙上
点P在⊙外
专题九 新定义问题
【作法提示】如解图：
第1题解图
专题九 新定义问题
2、直线与圆的距离 已知⊙O及直线l，在⊙O上找到点M、N，使得点M到直线l的距离最小，点N到 直线l的距离最大.