《程伟巅峰数学》2015版新课标高考备战特训讲义之一
2015年成人高考高中起点数学冲刺讲义
2015成人高考高中起点数学（文史财经类）冲刺真题训练讲义1说明：我们根据近年来高起点考试内容及实体的分析与研究，按考试中出现的知识点及题型进行分类归纳，可以使大家一目了然地看出：哪些知识是必考的，考试题型是什么，此题型在近年的试卷中考到的难易程度是什么。
第一章 集合、不等式、简易逻辑与统计初步【考点精解与真题训练】一、集合的概念1．集合 具有某种属性的事物的全体称为集合。
集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，如}{5,6,7,8A =。
2.元素 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。
元素常用小写字母a 、b 、c 等表示。
集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。
3.元素与集合的关系 个体与整体的关系。
如果a 是集合A 的元素，记作a A ∈，读作a 属于A ；如果a 不是集合A 的元素，记作a A ∉（或a A ∈），读作a 不属于A 。
4. 有限集、无限集、单元素集、空集（1）有限集 含有有限个元素的集合，如}{1,2,3A =。
（2）无限集 含有无限个限个元素的集合，如}{A x x =-∞<<+∞。
（3）单元素集 只有一个元素的集合，如}{1A =。
（4）空集 不含任何元素的集合，空集用∅(不是希腊字母的φ)表示。
空集不是无；它是内部没有元素的集合。
若将集合想象成一个袋子和它里面的事物，则空集就是里面没装事物的空袋子。
空集∅是任何集合的子集. 二、集合的表示法1．列举法 列举法是把集合的元素一一写在大括号里的表示法，如}{1,2,3A =。
2．描述法 把集合中的元素的公共特性写在大括号里的表示法，如 方程260x x +-=的根组成的集合A 可写成}{260B x x x =+-=； 三、集合与集合的关系和运算1．交集 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ， 读作“A 交B ”。
}{A B x x A x B =∈∈ 且交集的性质：（1）A A A = ； （2）A ∅=∅ ； （3）A B B A = （交换律） 4．并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ， 读作“A 并B ”。
11397-高考-数学笔记-正式课
y1+y2=2pk2+2m ������1 ������2 = ������2
X1+x2=-2pk Y1+Y2=2pm
y1+y2=2pk2-2m y1y2=m2
|AB|=2√������√1 + k 2 √pk 2 − 2m
抛物线的全方位秒杀 【典型例题 1】
第52 53 54讲
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =γ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 已知 AB 在抛物线 C:x 2 = 4y上，点（0，4）满足������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1) 求证：������������ (2) 设抛物线 C 过 AB 两点的切线交于点 N 1. 求证点 N 在一条定直线上 2. 设 4≤ x ≪ 9 求直线 MN 在 X 轴上截距的取值范围
4 4 2 主视图
3
2
侧视图
3 俯视图
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
4 3 5
主视图 3
侧视图
俯视图
2 1 1 1
. √3
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。 4 8 主视图 4 侧视图
4 4 俯视图
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2
(2) 由(1)可得 |AB|= 1 K | x1 x2 | 故SAOB 1 |AB|h= 2 2|t| 1+2k2 ? t2 1 2k2
2 1 k2 1 2k2 t2 1 2k2
第50,51讲
抛物线的全部秒杀 开口向右： y 2 =2px Δ>0 Δ=p-2km>0 X1+x2= X1X2=
2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.3.1等差数列、等比数列
(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n∈N*)． ③等比数列中，q≠－1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等比数 列．
注意：(1)a2 n＝an－1an＋1 是 an－1，an，an＋1 成等比数列的必要不充 分条件． (2)利用等比数列前 n 项和的公式求和时，不可忽视对公比 q 是否为 1 的讨论.
(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． ③等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等差数列．
注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成 an＝pn ＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝An2＋Bn 的形式(p，q，A， B 为常数)．
014＝(a1＋a3＋a5＋„＋a2 013)＋(a2 007
1－21 007 21－21 007 ＋a4＋a6＋„＋a2 014)＝ ＋ ＝3×21 1－2 1－2 B.
－3，故选
答案 B
考点二
等差、等比数列的判定与证明
【例 2】 (2014· 陕西卷)设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系
考点一
等差、等比数列基本量的计算
【例 1】 (2014· 湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1， a2，a5 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 是否存在正整数 n， 使得 Sn>60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 课件 第二讲 保分题——模板解,分分必保
4＋3 10
3，
⇒12 分
所以，△ABC 的面积为 S＝12acsin B＝8
3＋18 25 .
⇒14 分
[解题模板]
第 1 步：利用三角恒等变换公式转化等量关系．如本 ↓ 例应用降幂公式和正弦二倍角公式及辅助角
公式，将已知等式转化为 sin2A－π6＝ sin2B－π6； 第 2 步：求角．在指明角的范围的情况下，结合三角
[规范解答]
(1) 由题意得1＋c2os 2A－1＋c2os 2B＝ 23sin 2A－
23sin 2B， ⇒2 分
即
3 2 sin
2A－12cos
2A＝
3 2 sin
2B－12cos
2B，
⇒3 分
sin2A－π6＝sin2B－π6. ⇒4 分 由 a≠b，得 A≠B，又 A＋B∈(0，π)，
得 2A－π6＋2B－π6＝π， ⇒5 分
1213－15 ＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝16＋1213－2n1＋1 <16＋16＝
由 2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得 kπ－38π≤x≤kπ ＋π8，k∈Z. ⇒12 分
所以 f(x)的单调递增区间为kπ－38π，kπ＋π8，k ∈Z. ⇒13 分
第 1 步：三角函数式的化简，一般将三角函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b 的形式．如本例中将 f(x)化为 f(x)＝
问题三 数列的通项与求和
[例 3] (2014·广东高考)(14 分)设各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 Sn 满足 S2n－(n2＋n－3)Sn－ 3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求 a1 的值； (2)求数列{ an} 的通项公式； (3)证明：对一切正整数 n，有a1a11＋1＋a2a21＋1 ＋…＋anan1＋1<13.
江西师大附中2015届高三精讲材料新课标模拟1数学(文)修改版
江西师大附中2015届高三精讲材料新课标模拟1数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 R M N ⋂=ð( ) A ()0,2 B ()0,2 C [)1,2 D ()0,+∞2．设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=⋅21z z （ ） A ．5- B.5 C ．i +-4 D ．i --43．已知命题p ：函数()f x x a =+在(,1)-∞-上是单调函数，命题q ：函数()log ()a f x x a =+（0a >且1a ≠）在(2,)-+∞上是增函数，则p ⌝成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概 率是（ ）A. 14B. 13C. 27D. 125．一平面截一球得到直径为25cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是（ ）A ．12 cm 3B ．36πcm 3C ．646πcm 3D ．108πcm 36.变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是（ ） A. 3k <- B. 1k > C. 31k -<< D. 11k -<<7.某班有24名男生和26名女生，数据1a ，2,a …50,a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W -.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（ ）A. 0,50M W T A +>=？ B. 0?,50M WT A +<= C. 0?,50M W T A -<= D. 0?,50M WT A ->=8.偶函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(ω为正整数，||2πϕ<），且()f x 在(,)63ππ上递减，则()f x 的周期不可能是（ ）A ．2πB ．πC ．23πD ．2π9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）10.在平面坐标系xOy 中，抛物线22y px =的焦点F 与椭圆22162x y +=的左焦重合，点A 在抛物线上，且||4AF =，若P 是抛物线准线上一动点，则||||PO PA +的最小值为（ ）A. 6B. 242+C. 213D. 45+11．设向量a,b 满足1||||1,,2()()||||2==⋅=---=--a b a b a c b c a c b c ，则||c 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．112.已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．任何一个三次函数都有“拐点”，且其“拐点”恰好就是该函数的对称中心．设函数32115()33212f x x x x =-+-，则1220142015()()()()2016201620162016f f f f ++++=L （ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．1007.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
2015 高考数学冲刺备战课程讲义
【典例十】将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 函数解析式是（ ）
个单位，再向上平移1 个单位，所得图象的 4
2 B． y 2sin x
2 A． y 2 cos x
C． y 1 sin 2 x 4
D． y cos 2x
【典例十一】已知 a cos x,sin x ， b sin x, cos x ，记 f x a b ，要得到函数
的图象，可以将函数 y cos 2x 的图象（ 6
）
A．向右平移 C．向左平移
个单位长度 6 个单位长度 6
B．向右平移 D．向左平移
个单位长度 3 个单位长度 3
x R, 0 的最小正周期为 ，为x 的图象，只要将 y f x 的图象（
A．向左平移 C．向左平移
个单位长度 8 个单位长度 4
B．向右平移 D．向右平移
个单位长度 8 个单位长度 4
【典例十三】为了得到 y sin 2 x
【典例五】下图是函数 y A sin x x R 在区间
5 , 上的图象.为了得到这 6 6
）
个函数的图象，只要将 y sin x x R 的图象上所有的点（
A．向左平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向左平移
1 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 3 2 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3 1 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 6 2
1 C． y sin x 10 2
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)11.2 古典概型文档专练 文
§11.2 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ m n .4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )2．(2013·某某)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16 答案 C解析 从A 、B 中任意取一个数，共有6种情形，两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，∴P ＝26＝13.3．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( ) A.23B.14C.25D.15 答案 C解析 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.4．(2013·某某)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．答案 23解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4种排法，故P ＝46＝23.5．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案 25解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.题型一 基本事件与古典概型的判断例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？思维启迪 判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”．解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法． 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等， 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，，而白球有5个，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111故一次摸球摸到白球的可能性为5，11，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．(1)下列问题中是古典概型的是()A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果．答案(1)D(2)8解析(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果．题型二古典概型的概率例2(2013·某某)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2)如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．思维启迪计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏．解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．某次会议有6名代表参加，A 、B 两名代表来自甲单位，C 、D 两名代表来自乙单位，E 、F 两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，求： (1)代表A 被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表中，恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位的概率是多少？ 解 (1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．其中代表A 被选中的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，共5种．故代表A 被选中的概率为515＝13.(2)随机选出的两名代表中，恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位的结果有9种，分别是(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．所以“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为915＝35.题型三 古典概型与统计的综合应用例3(2013·某某)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定组别 A B C D E 人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．思维启迪 各组抽取人数的比率是相等的，因此，由B 组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ＝915＝0.6.六审细节更完善典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题)↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316(注意细节，P 1＝\f(3,16)是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对,立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规X 解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分] (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.[10分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.[12分]温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规X ，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n <m ＋2的概率转化成n ≥m ＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规X 解答是做好此类题目的基本要求．方法与技巧1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法列举法、列表法、树状图法． 失误与防X1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A 组 专项基础训练一、选择题1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16 答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13，故选B.2．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136B.19C.536D.16 答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.3．(2013·某某)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910 答案 D解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.4．第12届全运会于2013年在某某举行，运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115B.25C.35D.1415 答案 C解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C.5．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12 答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P ＝1536＝512，故选A.二、填空题6．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．答案 512解析 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足b >a 的，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.7．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．答案 34解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.8．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．答案1 4解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.三、解答题9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a⊥b的概率为236＝1 18.(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为636＝1 6.10．(2013·某某)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以P (B )＝615＝25.B 组 专项能力提升1．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 答案 D解析 如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.2．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.12B.23C.34D.56 答案 D解析 所有事件有6×6＝36(种)，若满足条件， 则y ′＝2mx 2－n ≥0对x ≥1恒成立， 又m >0，即(2mx 2－n )min ＝2m －n ，即2m ≥n ，而2m <n 有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，则2m ≥n 共30种．∴P ＝3036＝56.3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625 答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4．袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．答案 310解析 因为袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.5．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．答案 1667解析 易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}， 则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个． A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，∴所求概率为1667.6．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。
2015年高考数学高考前训练之一
第 2 页 共 20 页
2
x y 22 2 ，
理解 5. 同理解 4， 若公比为 q ， xy ( x y ) 1 ( x 1)( y 1) 2 ，说明 x 1, 2 , y 1成等比数列， 则 x 1
2 2 , y 1 2q (q 0) ，所以 x y f (q ) 2q 2 2 2 2 ，即理 q q 2 2q 2 的最小值 q
训练方法及内容
1.语言化理解题意 语言化理解题意是指，根据命题的形式进行三种语言的转化理解，如，对下列试题的理 解： 试题：已知x＞0，y 0, xy ( x y ) 1, 求x y的最小值 理 解 1. 由 于 x＞0，y 0 ， 所 以 xy 和 x y 有 关 系 ： xy (
2 时， z x y 取得最小值 2 2 2
2.数学思想方法的理解与解答 数学思想方法贯穿于中学数学的始终，它不仅是数学学科功能的方法也是解决数学问 题的核心方法，如 y
试题： “已知 a
2
b 2 1, x 2 y 2 1 ，求证： ax by 1 ”
l
证法 1（ 数形结合法） （如图 2）因为直线 l : ax by 0 经过 圆 x 2 y 2 1 的圆心 O，所以圆上任意一点 M ( x, y ) 到直 线 ax by 0 的距离都小于或等于圆半径 1， | ax by | d | ax by | 1 ax by 1. 即 a2 b2
M· d O x
图2 方程法的证法： 令 A(a, b), B ( x, y ) 是圆 x 2 y 2 1 上的两点， 当直线 AB 的斜率 k 不存在时，
ax x 2 , by y 2 y 2 ax by x 2 y 2 1. ax by 1.
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）
m3 .
A． 3 C． 5
B． 4 D． 6
【典例十七】某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积（
）
A．有最大值 2 C．有最大值 6
B．有最大值 4 D．有最小值 2
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８
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9 3 B． cm 2 9 3 D． cm 4
【典例三十九】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A． 60 C． 100
B． 80 D． 120
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【典例六】一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为______ m3 .
【典例七】如图1 3 ，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和 俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________.
2 3 6 2 3 2 2
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【典例三十三】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（
）
A． 32 C． 48
B． 16 16 2 D． 16 32 2
【典例三十四】某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是___________.
【典例三十五】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于__________.
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【典例二十八】如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几 何体的表面积为（ ）
A． 15 3 3 C． 30 6 3
B． 9 3 D． 18 3
【典例二十九】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A． 38 2 C． 38
3 D． 2 2
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【典例三十八】一个几何体按比例绘制的三视图（单位： cm ）如图所示，该几何体的体积 为（ ）
7 3 A． cm 3 7 3 C． cm 2
B． 32 8 17 D． 80
【典例二十七】已知一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的侧面积是（
）
A． 1 2 C． 4 2
B． 3 2 D． 5 2
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A． 4 3 C． 2 3
B． 4 D． 2
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【典例十二】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm ） ，可得这 个几何体的体积是（ ）
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【典例二十三】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_________.
【典例二十四】若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 _______ cm 3 .
【典例二十五】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A． 2 3 C．
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【典例一】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（
）
1 3 A． cm 3
B． 1cm3 D． 2cm 3
C． 2cm3
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【典例四】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
560 3
B．
580 3
C． 200
D． 240
【典例五】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（
）
A． C．
11 2 9 2
B． 5 D． 4
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B． 38 2 D． 38
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【典例三十】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（
）
A． 28 6 5 C． 56 12 5
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【典例四十三】如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1 ，则该 几何体的体积为（ ）
A．
1 2
B． D．
）
A． 4 C． 8
B． 6 D． 12
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【典例十六】 设某几何体的三视图如下 （尺寸的长度单位为 m ） ． 则该几何体的体积为 （
【典例八】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.
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【典例九】已知某三棱锥的三视图（单位： cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（
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【典例三十六】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．
1 3
B．
2 3
C． 1
D． 2
【典例三十七】某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体 的体积为 （ ） cm 3 .
A． 6 3
3 C． 6 2
B． 2 3
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3 【典例十八】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2 ，则正视图中的 x 的值是
（ ）
A． 2 C．
3 2
B．9 2D． 3来自【典例十九】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于________.
【典例二十】已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（
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【典例十四】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（
）
A． C．
8
6
3
B． D．
8 2
6
3
6
6
3
9 2
6
3
【典例十五】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（
4 3 3
B． 2 5 D．
5 3 3
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【典例二十六】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A． 48 C． 48 8 17
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《程伟巅峰数学》 《 2015 高考数学冲刺备战最强课程》 《专用课程讲义》
第一辑 《 “神级结论”秒杀< 立体几何小题>与<平面解析几何 小题>< 一>》
）
A． 12 C． 6
B． 9 D． 3
【典例四十七】如图， 一个空间几何体的正视图、 侧视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直角边长为 2 ，那么这个几何体的体积为（ ）
A． C．
1 3 4 3
B．
2 3
D． 2
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【典例二】一个几何体的三视图如图所示（单位： m ） ，则该几何体的体积为________ m3 .
【典例三】若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_________.