灰色预测总结汇总
灰色预测模型公式
灰色预测模型公式灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测模型的公式可以表示为：$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。
灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。
系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。
灰色预测模型的建模步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。
2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系统的发展规律。
3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。
4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。
5. 模型预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测。
灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以用来预测各种经济指标、环境数据、自然灾害等，为决策提供科学依据。
同时，灰色预测模型还可以用于评估和分析系统的可持续发展能力，帮助企业和机构合理规划和管理资源。
灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它通过利用系统自身的信息和规律，建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测理论详解
单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
目录
灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
灰色预测理论
灰元，即灰信息。建立在关联空间上的灰极限，灰导数和灰代数，为灰色系统的分析和 建模奠定了数学基础。灰信息是客观存在的，无视它的存在或简单地用白数代替，对 很多复杂的系统来说，只会带来描述和分析的失真，反映不出系统的本质特征。邓聚 龙教授大胆冲破传统观念的束缚，认识到了灰信息的价值，他用灰度来度量灰信息的不确
导致此种情况产生的原因主要在于传统GM (1, 1) 模型的建模机理存在一些问题,
主要有两方面:
一、是其背景值构造方法对高增长序列往往产生较大的滞后误差；
二、是其用来计算拟合与预测值的白化响应式是GM (1, 1) 模型的白化模型的解, 并不是GM (1, 1) 模型的定义型推导出来的，而是借用的近似解—当发展系数
Y
x
(
0
)
(
3
)
3
.3
3
7
x(0) (4) 3.390
x
(
0
)
(
5
)
3
.6
7
9
灰色预测理论的那点事
第5步：对参数列 aˆ [a,进b]行T 最小二乘估计。得：
灰色预测原理及实例
灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。
灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。
二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。
首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。
2、灰色模型在电力行业的应用。
灰色预测GM(1,1)
南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。
原始序列X (0)：表1 南昌市民用汽车保有量年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：构造累加生成序列X (1)； 第二步：计算系数值；通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到：α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749%第三步：得出时间响应预测函数模型为：()()858996.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X第四步：进行灰色关联度检验。
真实值：{24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值：{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。
【数学建模】灰色预测模型（预测）
【数学建模】灰色预测模型（预测）文章目录•一、算法介绍•o 1.灰色预测模型o 2.灰色系统理论o 3. 针对类型o 4. 灰色系统o 5. 灰色生成o 6. 累加生成o7. GM（1，1）模型o▪推导▪精度检验▪精度检验等级参照表•二、适用问题•三、算法总结•o 1. 步骤•四、应用场景举例•o 1. 累加生成o 2. 建立GM（1，1）模型o 3. 检验预测值•五、MATLAB代码•六、实际案例•七、论文案例片段（待完善）灰色预测模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解，如果想直接使用请跳转至——四、五另外之前看过一篇比较完整的【数学建模常用算法】之灰色预测模型GM，作者：張張張張视频回顾一、算法介绍1.灰色预测模型灰色预测模型(Gray Forecast Model)是通过少量的、不完全的的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。
2.灰色系统理论灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测。
目前常用的一些预测方法(如回归分析等)，需要较大的样本，若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。
灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
3. 针对类型灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。
二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。
目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.4. 灰色系统灰色系统是黑箱概念的一种推广。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色预测
式中：1、
为第k个点与的绝对误差；
ˆ 2、 min min X 0 k X 0 k 为两级最小差；
ˆ 3、 max max X 0 k X 0 k 为两级最大差；
4、ρ称为分辨率， 0<ρ<1,一般取ρ=0.5；
1 n r k n k 1
1 1
x ( 0) (i ) ， k
i 1
1,2,n
为 X (1) 的紧邻生成序列： Z
(1)
z
(1)
1 (1) (1) (k ) ( x (k ) x (k 1)) ， k 2,3 , n 2
(1)
其中， Z 称
( z (2), z (3), , z (n))
1998
199
2000
试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对 Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。
解：1）设时间序列为
X
( 0)
x (1), x (2), x (3), x (4)
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
=（27260，29547，62411，35388）
27260 ,42033 .5,73012 .5,106912
于是，
z (1) (2) 1 42033 .5 1 B z (1) (3) 1 73012 .5 1 (1) 106912 1 z (4) 1
x ( 0 ) (2) 29547 Y x ( 0 ) (3) 32411 ( 0 ) 35388 x (4)
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减 生成,均值生成,级比生成等。
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灰色系统建模 灰色系统理论在建模中的应用:灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更高，计算更简便。常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍. 累加生成:
(0)(0)(0)(0)(0)
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)
[(1),(2),,()],,[(1),(2),,()],:xxxxxnxxxxxnxx令为原始序列,记生成数为如果与之间满足如下关系
(1)(0)1()();1,2,,(21)kixkxikn
,1AGO一次累加生成则称为记为 累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的的,递增的数列. 累减生成:累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆.
()()(),,:rr
ixrxi令为次生成数列对作次累减生成记为
其基本关系式为
(0)()()(1)()(0)()(0)()(2)()(1)()(1)()()()(1)()(1)()[()]()[()][()][(1)][()][()][(1)](25)[()][()][(1)]rrrrrrrr
iririrxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk
(0)(1)(),(0)0,;(0)1(0)11.ikkikki式中为次累减即无累减为1次累减,即与时刻两个零次累减量求差,为次累减,即与时刻两个次累减量求差
(25):从式还可得到以下关系 (1)()(0)()(0)()()()1(1)(1)11(1)[()][()][(1)]()(1)(26)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk
(2)()(1)()(1)()(1)(1)1(2)(2)11(2)[()][()][(1)]()(1)(27)()()()rrrrrkkrriirxkxkxkxkxkxixixk
:同理可得 ()()()[()]()(28)irrixkxk
()()(0)[()]()(29)rrxkxk (29),,.,,.:1,rrr从式可以看出对次生成数列作次累减即还原为非生成数列事实上累加中包含着累减累减中包含着累加比如时有 1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)()()()()(1)()(210)kkiixkxixixkxkxk
(0)(1)(1)()()(1)xkxkxk
进一步有(1)()()()()(1)(211)rrrxkxkxk
.均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的方法.对数列端点值的生成,我们无法采用均值生成填补空缺,只能采用级比生级比生成.成是级比级比生(k成在建模中可以获得较好的灰)与光滑比(k)生成指数律.的总称. (0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()],(),(),XxxxnKk设序列为原始序列
称为级比为光滑比其表达式为 (0)(0)(0)(1)()()/(1)()()/(1)(212)kxkxkkxkxk
(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)
[(1),(2),,(1),()],(1)(1),()(),(1)()Xxxnnxnxnxxn设为端点是空穴的序列若用右邻的级比生成用的左邻级比生成则称和为级比生成 GM(1.1)模型建模机理 GM(1.1)原理步骤 原始数列：
(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()Xxxxn
对(0)X进行一次累加，得到新数列： (1)(1)(1)(1)(1),(2),,()Xxxxn
(1)0,()()kixkxi其中
于是(0)()xk的GM（1.1）白化形式的微分方程为： (1)(1)(216)dxaxudt
其中，a,u为待定系数，将（2-16）式离散化，即得： (1)(1)(1)((1))((1))(217)xkazxku
其中，(1)(1)((1))xk为(1)x在（k+1）时刻的背景值 因为：(1)(1)(1)(1)(0)((1))(1)()(1)(218)xkxkxkxk (1)(1)(1)1(1)((1)())(219)2zkxkxk
将（2-18），（2-19）式代入（2-17）式，得 (0)(1)(1)1(1)[(()(1))](220)2xkaxkxku
将（2-20） (1)(1)(0)
(1)(1)(0)
(0)(1)(1)
1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3)(221)2()1((1)())12xxxxxxxnxnxn
(1)(1)(0)
(1)(1)(0)
(0)(1)(1)
1((1)(2))12(2)1((2)(3))1(3),2()1((1)())12xxxxxxYBxnxnxn
令
[]Tau为待辨识参数向量，则（2-21）可写成：
(222)YB 参数向量可用最小二乘法求取，即 1ˆˆˆ[,]()TTTauBBBY
把求取的参数代入（2-16）式，并求出其离散解
ˆ(1)(1)
ˆˆˆ(1)[(1)](224)
ˆˆakuuxkxeaa
(0)(1)(1)ˆˆ(1)
ˆˆˆ(1)(1)()
ˆ(1)[(1)](225)ˆaakxkxkxkuexea
还原到原始数据得 (224),(225)(1.1),(1.1).GMGM式称为模型的时间相应函数模型它是模型灰色预测的具体计算公式
（GM1.1）模型的精度检验 模型选定之后,一定要经过检验才能判定其是否合理,只有通过检验的模型才能用来作预测,灰色模型的精度检验一般有三种方法:相对误差大小检验法,关联度检验法和后验差检验法.下面对这三种方法做个简单介绍. 1 级比检验： 为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 原始数列：
(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()Xxxxn
级比表达式为： 2 后验差检验法 (0)(0)2212
ˆ(1.1)(231),(232),,GMXXESS设按建模法所求出的如所示残
差如所示原始序列及残差序列的方差分别为和则
2(0)21122211[()]1[()](235)nknkSxkxnSeken
(0)1111,(),()nnkkxxkeeknn其中
计算后验差比为： 21/(236)CSS 计算小误差概率： 1()0.6745(237)pPekeS
1212
,.CpCCSSSSC指标和是后验差检验的两个重要指标.指标越小越好越小表示大而越小大表示原始数据方差
大,即原始数据离散程度大.小表示残方差小,即残差离散程度小.小就表明尽管原始数据很离散,而模型所得计算值与实际值之差并不太离散.
1,,0.6745,,,.ppCp指标越大越好越大表明残差与残差平均值之差小于给定值的点较多即拟合值(或预测值)分布比较均匀.按两个指标可综合评定预测模型的精度模型的精度由后验差和小误差概率共同刻划.一般地,将模型的精度分为四级,见表2-1
21表精度检验等级参照表 模型精度等级 均方差比值C 小误差概率p 1级（好） C<=0.35 0.95<=p 2级（合格） 0.353级（勉强） 0.54级（不合格） 0.65
,,MaxpC模型的精度级别的级别于是的级别
3 序列光滑度的理论分析
*[(1),(2),,()],:[(1),(2),,()],,()0.5()0.5(1),1,2,,;,(1),:3.1XxxxnZXZzzznzkzkzkknXxnX设序列是的均值生成序列其中是某一可导函数的代表序列我们将删去后所得的序列仍记为定若满足义
11**11(1),()();(2)max()()max()()kiknknkxkxixkxkxkzk
当充分大时
,(1),(2).X则称为光滑序列称为序列光滑条件