第3讲 变量相关关系与统计案例
高考数学(理)一轮复习课件：统计与概率-3变量间的相关关系与统计案例(人教A版)
第3课时 变量间的相关关系与统计案例
考纲下载 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点 图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、 方法及其简单应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
y2 总计
x1
a
x2
2
总计 b
21 73 25 27 46
则表中a、b处的值分别为( )
A．94、96
B．52、50
C．52、54
D．54、52
答案：C 解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54，故选C.
5. [原创]某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的 作用，把 500 名使用过血清的人与另外 500 名未使用血清 的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种血清 不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算得 K2 ≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论 中，正确结论的序号是________．
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
随机变量 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）， 其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为“两
个分分类类变变量量有有关关系系”的方法称为两个分类变量的独立性
nn
（xi － x ）（y i－ y ）
ii＝＝11
为：^b=
, ^a=y-y-－－^b^bx-x- .
完整版变量间的相关关系统计案例
完整版变量间的相关关系统计案例引言：经济学中一个重要的分支是相关关系的研究，通过统计分析不同变量之间的相关性，可以帮助我们理解变量之间的关系。
本文以汽车生产数量和国内生产总值（GDP）为例，通过统计分析两者之间的相关关系，展示相关分析在实际问题中的应用。
方法：本案例采用了经济学中常用的相关分析方法，包括Pearson相关系数和散点图。
本文使用了国在过去10年内的汽车生产数量和GDP的数据。
汽车生产数量的数据来自国家汽车协会，GDP数据来自国家统计局。
分析过程：1.数据收集和整理：将过去10年内的每年汽车生产数量和GDP数据整理成一个数据表格，便于后续分析。
2.描述统计分析：计算汽车生产数量和GDP的均值、标准差和极差等描述性统计量，以了解数据的整体情况。
3.散点图绘制：将每年的汽车生产数量和GDP数据绘制成散点图，横轴表示汽车生产数量，纵轴表示GDP，每个散点表示一个年份。
4.相关性分析：计算汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数，该系数介于-1和1之间。
系数为正则表示两者正相关，系数为负则表示两者负相关，系数越接近于1或-1，则相关性越强。
结果：1.描述统计分析结果显示，过去10年内每年的汽车生产数量均值为X辆，标准差为X辆，极差为X辆；每年GDP的均值为X万元，标准差为X万元，极差为X万元。
2.散点图显示，汽车生产数量和GDP呈现出一定的正相关趋势。
随着汽车生产数量的增加，GDP也有相应增加的趋势。
3. 相关性分析结果显示，汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数为X。
由于该系数为正数且接近于1，可以得出结论：汽车生产数量与GDP存在着强正相关关系。
讨论：本案例通过相关分析的方法，探讨了汽车生产数量与GDP之间的关系。
研究结果表明，两者之间存在着强正相关关系，即汽车生产数量的增加会促进GDP的增长。
可能的解释是汽车工业作为一个重要的制造业部门，对于经济的增长有着显著的贡献。
高考知识点变量间的相关关系与统计案例
第3节变量间的相关关系与统计案例最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.知识梳理1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距.其中，b回归直线一定过样本点的中心(x，y).3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：其中21()ni i i y y =-∑是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 4.独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为则随机变量K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.[常用结论与微点提醒]1.求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本中心点(x ，y ).2.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的y^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()(2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势.()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.(必修3P90例题改编)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：则y对x的线性回归直线方程为()A.y^＝2.3x－0.7B.y^＝2.3x＋0.7C.y^＝0.7x－2.3D.y^＝0.7x＋2.3解析易求x＝9，y＝4，样本点中心(9，4)代入验证，满足y^＝0.7x－2.3.答案 C3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的相关指数R2为0.98B.模型2的相关指数R2为0.80C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.25解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.答案 A4.(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.答案 D5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.解析K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案5%考点一相关关系的判断【例1】(1)已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性()A.甲B.乙C.丙D.丁解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z 正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x 与z负相关.(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.答案(1)C(2)D规律方法 1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.3.线性回归直线方程中：b^>0时，正相关；b^<0时，负相关.【训练1】(1)某公司在2018年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，则()A.月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B.月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C.月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D.月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝c1e c2x拟合时的相关指数为R21，用y^＝b^x＋a^拟合时的相关指数为R22，则R21>R22；③x，y之间不能建立线性回归方程.解析(1)从统计图表中看出，月收入的中位数是12(15＋17)＝16，收入增加，则支出也增加，x与y正线性相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1e c2x拟合比用y^＝b^x＋a^拟合效果要好，则R21>R22，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误.答案(1)C(2)①②考点二线性回归方程及应用【例2】(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.规律方法 1.(1)正确理解计算b^，a^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.(2)回归直线方程y^＝b^x＋a^必过样本点中心(x，y).2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.(2)本例中y 与x 不具有线性相关，先作变换，转化为y 与w 具有线性相关，求出y 关于w 的线性回归方程，然后进一步求解.【训练2】 (2018·日照调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 012，z ＝y －5得到下表2：表2(1)求z 关于t 的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？b ^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a ^＝z －b ^t －＝2.2－3×1.2＝－1.4， 所以z ^＝1.2t －1.4.(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入z^＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y^＝1.2x－2 410.8.(3)因为y^＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.考点三独立性检验【例3】某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解(1)利用分层抽样，300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75.所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2的观测值 k ＝300×（45×60－165×30）275×225×210×90＝10021≈4.762＞3.841.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 规律方法 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0.|ad －bc |越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad －bc |越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表： (2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）计算K 2的观测值k ；(3)比较观测值k 与临界值的大小关系，作统计推断.【训练3】 (2018·合肥质检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？ (2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为105180＝712. (2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：则K 2的观测值为k ＝180×（60×45－30×45）2105×75×90×90＝367≈5.142 9>5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用独立性检验法算得K 2的观测值为5，又已知P (K 2≥3.841)＝0.05，P (K 2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( )A.有95%的把握认为“X 和Y 有关系”B.有95%的把握认为“X 和Y 没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”解析依题意K2的观测值为k＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y有关系”.答案 A2.(2018·石家庄模拟)下列说法错误的是()A.回归直线过样本点的中心(x，y).B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D.在回归直线方程y^＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y^平均增加0.2个单位解析根据相关定义分析知A，B，D正确，C中对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误. 答案 C3.(2017·汉中模拟)已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：^＝b^x＋a^，则大致可以判断()根据上述数据得到的回归方程为yA.a^>0，b^>0B.a^>0，b^<0C.a^<0，b^>0D.a^<0，b^<0^>0，a^<0.解析作出散点图，画出回归直线直观判定b答案 C4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，K 2的观测值为k ＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 根据独立性检验的定义，由K 2的观测值为k ≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案 A5.(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A.160B.163C.166D.170解析 由已知得x ＝22.5，y ＝160， ∵回归直线方程过样本点中心(x ，y )， 且b^＝4，∴160＝4×22.5＋a^，解得a^＝70.∴回归直线方程为y^＝4x＋70，当x＝24时，y^＝166.答案 C二、填空题6.(2017·西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，^为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________.解析由x＝30，得y＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.答案687.(2018·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________.附表：解析由列联表计算K2的观测值k＝50（22×12－8×8）230×20×20×30≈5.556>5.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025.答案0.0258.(2018·长沙雅礼中学质检)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得回归直线方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度.解析根据题意知x＝18＋13＋10＋（－1）4＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40.所以a^＝40－(－2)×10＝60，y^＝－2x＋60.所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.答案68三、解答题9.(2018·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.注：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝110. 所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×110＝3(人). 抽取的5人中，三名男用户记为a ，b ，c ，两名女用户记为r ，s ，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab ，ac ，ar ，as ，bc ，br ，bs ，cr ，cs ，rs . 其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar ，as ，br ，bs ，cr ，cs . 故所求的概率为P ＝610＝0.6. (2)由题意，得K 2的观测值为k ＝80（30×20－20×10）2（30＋20）（10＋20）（30＋10）（20＋20） ＝163≈5.333>5.024. 又P (K 2≥5.024)＝0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.10.(2018·惠州模拟)某市春节期间7家超市广告费支出x i (万元)和销售额y i (万元)数据如下表：(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；(2)若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：y ^＝－0.17x 2＋5x ＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R 2分别约为0.93和0.75，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出3万元时的销售额.∴a^＝y－b^x＝42－1.7×8＝28.4，故y关于x的线性回归方程是y^＝1.7x＋28.4.(2)∵0.75<0.93，∴二次函数回归模型更合适.当x＝3时，y^＝33.47.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额为33.47万元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·济南调研)济南市地铁R1线预计2019年年底开通运营，地铁时代的到来能否缓解济南的交通拥堵状况呢？某社团进行社会调查，得到的数据如下表：则下列结论正确的是()附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）A.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”B.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”C.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”D.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”解析 由2×2列联表，可求K 2的观测值， k ＝（48＋30＋12＋20）（20×48－12×30）2（48＋30）（48＋12）（12＋20）（30＋20） ≈5.288>3.841.由统计表P (K 2≥3.841)＝0.05，∴有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”. 答案 A12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________. 解析 x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5， y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5.回归直线一定经过样本中心(x ，y )， 即6＋n 5＝－3.2⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.答案 1013.(2018·湖南百所重点中学阶段性诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？ (2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.解 (1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)， 第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元). 第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)， 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)∵x ＝2.5，y ＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54， ∴b^＝54－4×2.5×530－4×2.52＝0.8，∴a ^＝5－2.5×0.8＝3. 因此线性回归方程为y ^＝0.8x ＋3. 当x ＝8时，y ^＝0.8×8＋3＝9.4.∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元.。
【精品课件】新教材一轮复习北师大版第10章第3讲变量间的相关关系、统计案例课件
求得回归方程^y＝0.67x＋54.9.
零件数 x(个) 10 20 30 40 50
加工时间 y(min) 62
75 81 89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__6_8__.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
[解析] 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a， 则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名 男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评 价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
考点一
相关关系的判断——自主练透
(1)(2021·四 川 资 阳 模
拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关
系的研究中，研究人员获得了一组样
本数据，并制作成如图所示的人体脂
肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是 ( )
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第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表 示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计
20
20
20
算得xi＝60，yi＝1 200，
第3讲 变量间的相关关系与统计案例
K
2
a b a c c d b d
n ad bc
2
[审题视点] 第(2)问由a＝40，b＝30，c＝160，d＝270，代 入公式可求K2，由K2的值与6.635比较断定．第(3)问从抽样 方法说明．
6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量 称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为 {x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 总计 c a＋c c＋d b＋d a＋b＋c＋d d
解析 从散点图看，散点图的分布成团状，无任 何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．
考向二
独立性检验
【例2】(2010·全国新课标)为调查某地区老年人是否需要志愿者 提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人， 结果如下： 性别
是否需要志愿者 需要 不需要 男 女 40 160 30 270
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对 于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散 布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关 系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条 直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这 条直线叫回归直线．
5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误 差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
R2
y
n i 1 n i 1
变量间的相关关系统计案例
其中两个变量x、y具有相关关系的图是
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
解析：由散点图知③④具有相关关系．
答案： C
()
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2.如图所示，有5组(x，y)数据，去 掉________组数据后，剩下的4组 数据具有较强的线性相关关系． 解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系， 故去掉D. 答案： D
男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110
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由χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d算得，
χ2＝110×60×405×0×306－0×205×0202≈7.8.
附表：
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
多考查基本思想的应用及基本运算.
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一、变量间的相关坐标，另一个变量的相应
取值为纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图形叫 做散点图． 三、回归直线方程与回归分析 (1)直线方程＝a＋bx，叫做Y对x的 回归直线方程 ，b 叫
做 回归系数 ．要确定回归直线方程，只要确定a与回 归系数b.
n
n
xi－ x 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
r＝
n xiyi－n－x －y
i＝1
n
xi2－n－x 2n yi2－n－y 2
i＝1
i＝1
＝
.
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(4)样本相关系数r具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1,
线性相关程度 越强 ；|r|越接近0，线性相关程度越弱．
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四、独立性检验 (1)2×2列联表：
A.^y＝－2x＋100
习题-变量间的相关关系、统计案例
10.3 变量间的相关关系、统计案例基础篇 固本夯基考点一 变量间的相关关系1.(2022届陕西宝鸡期末,4)下列两个变量具有相关关系的是( ) A.正方体的体积与棱长 B.汽车匀速行驶时的路程与时间 C.人的体重与饭量 D.人的身高与视力 答案 C2.(2021西南名校联盟联考,3)已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46,0.79, -0.92,0.85,则( )A.甲组数据变量间的线性相关程度最强B.乙组数据变量间的线性相关程度最弱C.丙组数据变量间的线性相关程度最强D.丁组数据变量间的线性相关程度最强 答案 C3.(2020陕西铜川二模,5)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且y ^=2.347x-6.423; ②y 与x 负相关且y ^=-3.476x+5.648; ③y 与x 正相关且y ^=5.437x+8.493; ④y 与x 正相关且y ^=-4.326x-4.578. 其中不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 D4.(2020陕西榆林三模,3)如图所示,给出了样本容量均为7的A,B 两组样本数据的散点图,已知A 组样本数据的相关系数为r 1,B 组样本数据的相关系数为r 2,则( )A.r 1=r 2B.r 1<r 2C.r 1>r 2D.无法判定 答案 C5.(2022届四川资阳一诊,4)我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务,脱贫攻坚战取得全面胜利,历史性地解决了绝对贫困问题,并全面建成了小康社会.现就2013—2019 年年末全国农村贫困人口数进行了统计,制成如下散点图:据此散点图,下面 4个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人口数y 和年份代码x 的回归方程类型的是( )A.y=a+bxB.y=a+bx C.y=a+be x D.y=a+bln x 答案 A6.(2022届四川绵阳阶段测试,3)某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行了调查,5家商场的价格x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示:价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y(件)1110865按公式计算,y 与x 的回归直线方程是y ^=-3.2x+a ^,相关系数|r|=0.992,则下列说法错误的是( ) A.变量x,y 线性负相关且相关性较强 B.a ^=40C.当x=8.5时,y 的估计值为12.8D.相应于点(10.5,6)的残差为0.4 答案 D7.(2020兰州一诊,7)近五年来某草场羊只数与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示.年份 1 2 3 4 5 羊只数(万只) 1.4 0.9 0.750.60.3 草场植被指数1.14.315.6 31.349.7根据表及图得到以下判断:①羊只数与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r 1,去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2,则|r 1|<|r 2|; ③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数为2万只时的草场植被指数. 以上判断中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 B8.(2020课标Ⅱ,18,12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120x i =60,∑i=120y i =1 200,∑i=120(x i -x )2=80,∑i=120(y i -y )2=9 000,∑i=120(x i -x)(y i -y)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由. 附:相关系数 r=∑i=1n(x i -x)(y -y)√∑i=1(x i -x)2∑i=1(y i -y)2,√2≈1.414.解析(1)由已知得样本平均数y =120∑i=120y i =60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12 000.(2)样本(x i ,y i )(i=1,2,…,20)的相关系数 r=∑i=120(x i -x)(y -y)√∑i=1(x i -x)2∑i=1(y i-y)2=√80×9 000=2√23≈0.94.(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.考点二 独立性检验1.(2022届黑龙江月考,8)某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查,根据独立性检验原理,处理所得数据之后发现,有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关,则K 2的观测值可能为( )P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A.K2=3.206B.K2=6.625C.K2=7.869D.K2=11.208答案C2.(2022届山西运城期中,7)为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验.根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是()答案D3.(2020宁夏石嘴山二模,4)通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,计算得到K2的观测值k≈4.892,参照下表,得到的正确结论是()P(K2≥k0)0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.024A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”答案C4.(2021四川南充阆中中学4月质检,6)若由一个2×2列联表中的数据计算得K2=4.013,那么有的把握认为两个变量有关系.()P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.95%B.97.5%C.99%D.99.9%答案A5.(2021安徽黄山二模,7)给出下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于0,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1; ③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好;④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说,k 越大,“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 C6.(2022届河南焦作模拟,17)第32届夏季奥运会于2021年7月23日至8月8日在日本举行,为了解某校学生对奥运会是否关注,随机调查了该校200名学生,统计结果如表:关注 不关注 合计 女生 34 51 85 男生 66 49 115 合计100100200(1)分别估计该校女生和男生关注奥运会的概率;(2)能否有99%的把握认为该校女生和男生对奥运会的关注度有差异? 参考公式及数据: K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.050 0.010 0.001k3.8416.635 10.828解析 (1)估计该校女生关注奥运会的概率约为3485=25;男生关注奥运会的概率约为66115. (2)由题表中数据可知K2=200×(34×49-66×51)2100×100×85×115=13623≈5.913. 因为5.913<6.635,故没有99%的把握认为该校女生和男生对奥运会的关注度有差异.7.(2022届昆明质检,17)“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款,某学校140名教师均在微信好友群中参与了“微信运动”,对运动10 000步或以上的教师授予“运动达人”称号,低于10 000步称为“参与者”.为了解教师们的运动情况,选取了教师们在某日的运动数据进行分析,统计结果如下:运动达人 参与者 合计 男教师 60 20 80 女教师 40 20 60 合计10040140(1)根据上表说明,能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关; (2)从获得“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动,若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式,求抽取的2人都为女教师的概率. 参考公式:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K 2≥k 0) 0.050 0.0100.001k 03.8416.635 10.828解析 (1)∵K2=140×(60×20-40×20)280×60×100×40≈1.167<3.841,∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.(2)根据分层抽样方法得:参赛的男教师有60100×5=3人,参赛的女教师有40100×5=2人,抽取的男教师记为A,B,C;女教师记为a,b.从抽取的这五名教师中随机选取2名,有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共10种选法,其中2人都是女教师的选法有ab 一种,故抽取的2人都为女教师的概率P=110.8.(2019课标Ⅰ,17,12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到列联表:满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828.解析 (1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)K2=100×(40×20-10×30)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.综合篇 知能转换考法一 线性回归方程的求解与应用1.(2022届四川模拟,8)已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(5,6),则回归直线方程为( ) A.y ^=-0.15x+1.23 B.y ^=-2.38x+1.23C.y ^=1.23x-2.38 D.y ^=1.23x-0.15 答案 D2.(2022届哈尔滨模拟,10)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间具有线性相关关系,利用下表中的五组数据求得回归直线方程为y ^=b ^x+a ^,根据该回归方程,预测当x=8时,y ^=84.8,则b ^=( )x23456y 25 37 50 56 64A.9.4B.9.5C.9.6D.9.8 答案 C3.(2021甘肃二模,7)某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导,推进绿色发展,现要订购一批苗木,苗木长度与售价如下表:苗木长度x(厘米) 38 485868 7888 售价y(元)16.8 18.8 20.8 22.8 2425.8由表可知,苗木长度x(厘米)与售价y(元)之间存在线性相关关系,回归方程为y ^=0.2x+a ^,则当苗木长度为150厘米时,售价大约为( ) A.33.3元 B.35.5元 C.38.9元 D.41.5元 答案 C4.(2021西安中学二模,4)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y ^=0.85x-85.71. ①y 与x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心(x ,y );③若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg; ④若该大学某女生身高为170 cm,则其体重必为58.79 kg. 则上述判断不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A5.(2020中原名校质量考评,7)根据最小二乘法,由一组样本数据(x i ,y i )(其中i=1,2,…,300)求得的回归方程是y ^=b ^x+a ^,则下列说法正确的是( )A.至少有一个样本点落在回归直线y ^=b ^x+a ^上B.若所有样本点都在回归直线y ^=b ^x+a ^上,则变量间的相关系数为1 C.对所有的解释变量x i (i=1,2,…,300),b ^x i +a ^的值一定与y i 有误差 D.若回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率b ^>0,则变量x 与y 正相关 答案 D6.(2021江西八校4月联考,14)如图,根据已知的散点图得到y 关于x 的线性回归方程为y ^=b ^x+0.2,则b ^= .答案 1.67.(2022届江西顶级名校调研,18)根据国际疫情形势以及传染病防控的经验,加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段,我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作.某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式,积极开展疫苗接种社会宣传工作,消除群众疑虑,提高新冠疫苗接种率,让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用.自宣传开始后村干部统计了本村200名居民(未接种)5天内每天新接种新冠疫苗的情况如下表:第x 天 1 2 3 4 5 新接种人数y1015192328(1)建立y 关于x 的线性回归方程;(2)假设全村共计2 000名居民(均未接种过新冠疫苗),用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天.参考公式:回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i 2-nx2,a ^=y -b ^x .解析 (1)x =1+2+3+4+55=3,y =10+15+19+23+285=19,则b ^=10+30+57+92+140-5×3×1912+22+32+42+52-5×32=225,a ^=19-225×3=295,故y 关于x 的线性回归方程为y ^=225x+295.(2)设a n =225n+295,数列{a n }的前n 项和为S n ,易知数列{a n }是等差数列, 则S n =n(a 1+a n )2=n (225+295+225n+295)2=115n 2+8n,因为S 6=127.2,S 7=163.8,所以10S 6=1 272,10S 7=1 638,又2 000×80%=1 600(人),所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天.8.(2021广西贵港港北模拟,17)某个体服装店经营各种服装,在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系如下表:x 3456789y66 69 73 81 89 90 91(1)求x ,y ;(2)若y 与x 线性相关,请求纯利润y(元)与每天销售件数x 的回归直线方程. 参考数据及公式:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i2-nx 2,a ^=y -b ^x ,∑i=17x i 2=280,∑i=17x i y i =3 487. 解析 (1)x =17×(3+4+5+6+7+8+9)=6,y =17×(66+69+73+81+89+90+91)=5597. (2)设回归直线方程为y ^=b ^x+a ^.∵∑i=17x i 2=280,∑i=17x i y i =3 487,∴b ^=3 487-7×6×5597280-7×36=13328=4.75,a ^=5597-6×4.75≈51.36.∴回归直线方程为y ^=4.75x+51.36.9.(2021成都郫都模拟,18)某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额,统计结果如下表:年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y/百亿元912172126(1)请根据上表提供的数据,用相关系数r 说明y 与x 的线性关系的强弱(线性相关系数保留三位小数);(统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量x 的取值x i ,变量y 的观测值为y i (1≤i ≤n),则两个变量的相关系数的计算公式为r=∑i=1n(x i -x)(y -y)√∑i=1(x i -x)2∑i=1(y i -y)2.统计学认为,对于变量x,y,如果r ∈[-1,-0.75],那么负相关很强;如果r ∈[0.75,1],那么正相关很强;如果r ∈(-0.75,-0.30]或r ∈[0.30,0.75),那么相关性一般;如果r ∈[-0.25,0.25],那么相关性较弱)(2)求出y 关于x 的线性回归方程,并预测2020年该网站“双11”当天的交易额. 参考公式:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y -b ^x ,参考数据:√1 860≈43.1.解析 (1)根据题表中的数据,可得x =15×(1+2+3+4+5)=3,y =15×(9+12+17+21+26)=17, 则∑i=15(x i -x )(y i -y )=(1-3)×(9-17)+…+(5-3)×(26-17)=43;√∑i=15(x i -x)2∑i=15(y i -y)2=√10×186≈43.1,所以r=∑i=15(x i -x)(y -y)√∑i=15(x i -x)2∑i=15(y i-y)2=4343.1≈0.998,所以变量y 与x 的线性相关性很强. (2)由(1)可得x =3,y =17,∑i=15(x i -x )(y i -y )=43,∑i=15(x i -x )2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,所以b ^=∑i=15(x i -x)(y i -y)∑i=15(x i -x)2=4310=4.3,则a ^=y -b ^x =17-4.3×3=4.1.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=4.3x+4.1.令x=6,可得y ^=4.3×6+4.1=29.9,故预测2020年该网站“双11”当天的交易额为29.9百亿元.思路分析 (1)利用已知条件求解相关系数,判断即可;(2)根据公式求出回归直线方程的系数,得回归直线方程,然后把x=6代入,求出结果进行预测即可.考法二 独立性检验的应用1.(2022届河南月考,9)某外语学校要学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习,为了解选择第二外语的倾向与性别的关系,随机抽取100名学生,得到下面的数据表:选择德语 选择日语 男生 15 35 女生3020根据表中提供的数据可知( ) 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k2.7063.841 6.635 7.87910.828A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为选择第二外语的倾向与性别无关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为选择第二外语的倾向与性别有关C.有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关D.有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关答案D2.(2020江西吉安、抚州、赣州一模,5)千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A 的100天日落和夜晚天气,得到如下2×2列联表:夜晚天气下雨未下雨日落云里走出现255未出现2545临界值表P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828并计算得到K2≈19.05,下列小波对地区A天气的判断不正确的是()A.夜晚下雨的概率约为12B.未出现“日落云里走”,夜晚下雨的概率约为514C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关D.出现“日落云里走”,有99.9%的把握认为夜晚会下雨答案D3.(2020湖南衡阳八中月考,5)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:喜欢应用统计课程不喜欢应用统计课程男生205女生1020附表:P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式:K2=n(ad-bc)2,其中n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为喜欢“应用统计”课程与性别有关B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为喜欢“应用统计”课程与性别无关C.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关D.有99.99%以上的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别无关答案A4.(2020安徽蚌埠三模,15)某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况,随机抽取国内、国外各100名客户代表,了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度,得到如图所示的等高条形图,则有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关(填“能”或“不能”).P(K2≥k)0.0500.0100.0050.001k 3.841 6.6357.87910.828附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).答案能5.(2021山东青岛一模,15)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果,调查了105名学员,统计结果为接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过,接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名.根据统计结果,认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2≥k)0.050.0250.0100.001k 3.841 5.024 6.63510.828答案0.0256.(2022届吉林重点高中月考,19)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车,被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下,新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况,得到数据如下:购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200 (1)根据表中数据,判断是否有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关;(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位,参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查,并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物,求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率. 参考公式:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K 2≥k 0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828解析 (1)由题表得K2=200×(100×30-20×50)2120×80×150×50=1009≈11.111>10.828.所以有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关.(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位,其中男性车主有100150×6=4人,记为a,b,c,d;女性车主有50150×6=2人,记为E,F.从这6位车主中随机抽取2位车主包含的基本事件有:ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF,共15种. 至少有1位女性车主包含的基本事件有:aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF,EF,共9种.故所求概率P=915=35. 7.(2022届山西长治质检,17)为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效,某机构日前联合医院进行了小规模的调查.结果显示,相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状,该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查,得到统计数据如下表:无疲乏症状有疲乏症状总计 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 总计225m275(1)求2×2列联表中的数据x,y,m,t 的值,并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关; (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出4人,再从这4人中随机抽取2人作进一步调查,求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率. 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k2.072 2.7063.841 5.0246.635解析 (1)t=150+25=175,x=225-150=75,y=100-75=25,m=25+25=50,所以K 2的观测值k=275×(150×25-75×25)2225×50×100×175≈4.910 7>3.841,故有95%的把握认为有疲乏症状与使用新药有关.(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出4人,其中无疲乏症状的有75100×4=3人,记为a,b,c;有疲乏症状的有25100×4=1人,记为D,则从这4人中随机抽取2人的情况有ab,ac,aD,bc,bD,cD,共6种,这2人中恰有1人有疲乏症状的情况有aD,bD,cD,共3种.故所求概率P=36=12. 8.(2021安徽五校联盟联考(二),18)网购是当前人们购物的新方式,某公司为了改进营销方式,随机调查了100名市民,统计了不同年龄的人群网购的人数如下表:年龄段(岁) (0,20) [20,40) [40,60) [60,100) 网购人数 26 32 34 8 男性人数1510105(1)若把年龄在[20,60)的人称为“网购迷”,否则称为“非网购迷”,请完成下面的2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为网购与性别有关;网购迷非网购迷总计男性 女性 总计(2)若从年龄小于40岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人,再从中抽取两人,求两人年龄都小于20岁的概率. 附:K2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K 2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.001k2.7063.841 6.635 10.828解析 (1)由题中信息完善2×2列联表如下表所示:网购迷 非网购迷 总计 男性 20 20 40 女性 46 14 60 总计6634100∴K2=100×(20×14-46×20)266×34×40×60≈7.605>6.635,故有99%的把握认为网购与性别有关.(2)年龄在(0,20)、[20,40)的网购男性分别有15人、10人.按分层抽样的方法随机抽取5人,从年龄段(0,20)内抽取3人,分别记为1、2、3;从年龄段[20,40)内抽取2人,分别记为a 、b,从中随机抽取2人的可能结果有(1,2)、(1,3)、(1,a)、(1,b)、(2,3)、(2,a)、(2,b)、(3,a)、(3,b)、(a,b),共10个.用A表示“两人年龄都小于20岁”这一事件,则事件A包含的结果为(1,2)、(1,3)、(2,3),共3个.故事件A发生的概率P(A)=310.9.(2021安徽黄山二模,17)2021年3月5日,人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息,人社部表示正在研究延迟退休改革方案,两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查,随机调查了50人,他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如下表.月收入(单位:百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数123534(1)根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异;月收入不低于55百元月收入低于55百元合计赞成不赞成合计(2)若采用分层抽样法从月收入在[25,35)和[65,75]的被调查人中选取6人进行跟踪调查,并随机给其中3人发放奖励,求获得奖励的3人中至少有1人月收入在[65,75]的概率.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828解析(1)2×2列联表如下:月收入不低于55百元月收入低于55百元合计赞成71118不赞成32932合计104050则K2=50×(7×29-3×11)210×40×32×18≈6.27<6.635,所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异.(2)按照分层抽样的方法可知,月收入在[25,35)的抽取4人,记为a,b,c,d,月收入在[65,75]的抽取2人,记为A,B,则从6人中任取3人的所有情况为{A,B,a}、{A,B,b}、{A,B,c}、{A,B,d}、{A,a,b}、{A,a,c}、{A,a,d}、{A,b,c}、{A,b,d}、{A,c,d}、{B,a,b}、{B,a,c}、{B,a,d}、{B,b,c}、{B,b,d}、{B,c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d},共20种, 其中至少有1人月收入在[65,75]的情况有16种, 所以3人中至少有1人月收入在[65,75]的概率为1620=45.应用篇 知行合一应用 回归模型的应用1.(2020课标Ⅰ,5,5分探索创新情境)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y=a+bxB.y=a+bx 2C.y=a+be xD.y=a+bln x 答案 D2.(2022届宁夏顶级名校月考,20实际生活)“金山银山不如绿水青山;绿水青山就是金山银山.”复兴村借力“乡村振兴”国策,依托得天独厚的自然资源开展乡村旅游,乡村旅游事业蓬勃发展.复兴村旅游协会记录了近八年的游客人数,见下表.年份2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年2020 年 年份代码x 1 2 345678 游客人数y (百人)4816 32 51 71 97122为了分析复兴村未来的游客人数变化趋势,公司总监分别用两种模型对变量y 和x 进行拟合,得到了相应的回归方程,绘制了残差图.残差图如下(注:残差e ^i =y i -y ^i ):模型①y ^=bx 2+a;模型②y ^=dx+c.(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由; (2)根据(1)中选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留两位小数); (3)根据(2)中求出的回归方程来预测2021年的游客人数(结果保留整数). 其中,z=x2,z =18∑i=18z i .参考数据:∑i=18(x i -x )·(y i -y )=728∑i=18(x i -x )2=42∑i=18(z i -z )·(y i -y )=6 868∑i=18(z i -z )2=3 570∑i=18z i =204∑i=18y i =400附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y -b ^x .解析 (1)选择模型①.理由:根据残差图可以看出, 模型①的估计值和真实值相对比较接近;模型②的残差相对比较大,所以模型①的拟合效果相对较好.(2)由(1)可知y 关于x 的回归方程为y ^=bx 2+a.令z=x 2,则y ^=bz+a,由题中所给数据得b ^=6 8683 570≈1.92,又z =18∑i=18z i =2048=25.5,y =4008=50,所以a ^=50-1.92×25.5=1.04,所以y 关于x 的回归方程为y ^=1.92x 2+1.04. (3)将x=9代入回归方程,可得y ^=1.92×92+1.04≈157, 则2021年游客人数大约为157百人. 3.(2021哈尔滨三中一模,19实际生活)宁夏西海固地区,在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态,20世纪90年代,党中央和自治区政府决定开始吊庄移民,将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫,党中央作出推进东西部对口协作的战略部署,其中确定福建对口帮扶宁夏,在福建人民的帮助下,原西海固人民实现了快速脱贫,下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计:年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x12 3 4 5 人均年收入y(千元) 1.32.85.78.913.8现要建立y 关于x 的回归方程,有两个不同回归模型可供选择,模型一y^(1)=b ^x+a ^;模型二y ^(2)=c ^x 2+d ^,即使画出y 关于x 的散点图,也无法确定哪个模型拟合效果更好,现用最小二乘法原理,已经求得模型一的方程为y ^=3.1x-2.8.(1)请你用最小二乘法原理,结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程(计算结果保留到小数点后一位);(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好(已经计算出模型一的残差平方和为∑i=15(y i -y ^i )2=3.7).参考数据:∑i=15t i y i -5ty ∑i=15t i2-5t 2≈0.52,其中t i =x i 2,i=1,2,3,4,5.参考公式:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v ^=α^+β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^=∑i=1nu i v i -nuv ∑i=1nu i 2-nu 2,α^=v -β^u .解析 (1)令t=x 2,则模型二可化为y 关于t 的线性回归问题, t =1+4+9+16+255=11,y =1.3+2.8+5.7+8.9+13.85=6.5, 则由参考数据可得c ^=∑i=15t i y i -5ty ∑i=15t i2-5t 2≈0.52≈0.5,d ^=y -c ^t =6.5-0.52×11≈0.8, 则模型二的方程为y ^(2)=0.5x 2+0.8. (2)由模型二的回归方程可得,y ^1(2)=0.5×1+0.8=1.3,y ^2(2)=0.5×4+0.8=2.8,y ^3(2)=0.5×9+0.8=5.3,y ^4(2)=0.5×16+0.8=8.8,y ^5(2)=0.5×25+0.8=13.3,∴∑i=15(y i -y ^i (2))2=02+02+0.42+0.12+0.52=0.42<3.7,故模型二的拟合效果更好.创新篇 守正出奇创新 统计与统计案例的综合应用。
第三节 变量间的相关关系、统计案例(数学建模八)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案 D
^^ ^
^
^
解析 由回归直线方程 y = bx+ a,知当 b>0时,y与x正相关;当 b<0时,y与x负
相关,∴①④一定不正确.故选D.
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方法技巧 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从 左上角到右下角,两个变量负相关. (2)相关系数:r>0时,正相关:r<0时,负相关. (3)线性回归方程: b^ >0时,正相关: b^ <0时,负相关.
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(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤ 一条直线附近 ,就称这 两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. (4)最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的⑥ 距离的平方和最小 的方法 叫做最小二乘法.
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(5)回归方程
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(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01),并据此判断是否可用线性回 归模型拟合y与x的关系.(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归 模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高,某光照控制仪商家为该基地提供了部分
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总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
(2)独立性检验
利用随机变量
(其中 n＝a＋b＋c＋
d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
步骤如下：
①计算随机变量 K2 的观测值 k，查表确定临界值 k0：
P(K2 ≥k0) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
1．下面是一个 2×2 列联表：
y1
x1
a
x2
22
合计
b
其中 a，b 处填的值分别为(
y2 21 25 46 )
A．94 72
B．52 50
C．52 74
D．74 52
总计 73 47 120
解析 由 a＋21＝73，得 a＝52，a＋22＝b，得 b＝74.故选 C.
解析 答案
2．(2019·湖南衡阳联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A，B 两个变
第十章 统计、统计案例 第3讲 变量相关关系与统计案例
1
PART ONE
基础知识整合
1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关 关系；与函数关系不同，相关关系是一种非 01 ___确__定__性____关系． (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的 这种相关关系称为 02 ___正__相__关____，点分布在左上角到右下角的区域内，两 个变量的相关关系为 03 __负__相___关____．
(3)回归分析 ①定义：对具有 06 ____相__关__关__系_____的两个变量进行统计分析的一种常 用方法． ②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)中，－x ＝1n(x1＋…＋xn)， －y ＝1n(y1＋…＋yn)，a^ ＝－y －b^ －x ，(－x ，－y )称为样本点的中心．
0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过
P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)的前提下不能推
断“X 与 Y 有关系”．
①分类变量
可用变量的不同“值”表示个体所属的 11 ____不__同__类__别______的变量称为
分类变量．
②2×2 列联表
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其 样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
解析 因为 y＝－0.1x＋1 的斜率小于 0，故 x 与 y 负相关．因为 y 与 z 负相关，可设 z＝b^ y＋a^ ，b^ <0，则 z＝b^ y＋a^ ＝－0.1b^ x＋b^ ＋a^ ，故 x 与 z 正相
关．
解析 答案
4．通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的
2．回归方程与回归分析 (1)线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 04 ___一__条__直__线____附近，就称 这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程 ①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 05 __距__离___ __的__平__方__和___最小的方法叫做最小二乘法． ②回归方程：方程y^＝b^ x＋a^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^ ，b^ 是待定数．
列联表．参照附表，能得到的正确结论是( )
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
A．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有
关”
D．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别
1．相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关 系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．从散点图看相关性 正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内； 负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内． 3．回归直线y^＝b^ x＋a^ 必过样本点的中心．
3．(2019·湖北荆州模拟)已知相关变量 x 和 y 满足关系 y＝－0.1x＋1， 相关变量 y 与 z 负相关．下列结论中正确的是( )
A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关
C．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关
D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关
量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差
平方和 m，如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现的 A，B 两变量有更强的线性相关性( )
A．甲
Br 越大，m 越小，线性相关性越强，故选 D.
解析 答案
③相关系数
，当 r>0 时，两变量 07 ___正____
相关；当 r<0 时，两变量 08 ___负____相关；当|r|≤1 且|r|越接近于 1，相关程
度 09 ____越__强_____；当|r|≤1 且|r|越接近于 0，相关程度 10 ____越__弱______．
3．独立性检验
(1)独立性检验的有关概念
下表：
广告费用 x(万元)
4
2
3
5
销售额 y(万元)
49 26 39 54
答案
附：
P(K2≥k0) k0
0.05 3.841
解析 由列联表中的数据可得
,
0.010 6.635
0.001 10.828
≈7.822>6.635，故有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关”．故选 A.
解析
5．(2020·山西太原摸底)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如