计算方法 试题A 答案
计算机算法试题（含答案）
计算机算法试题（含答案）算法设计与分析试卷一、填空题（20分，每空2分）1、算法的性质包括输入、输出、＿＿＿、有限性。
2、动态规划算法的基本思想就将待求问题＿＿＿＿＿、先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3、设计动态规划算法的4个步骤：（1）找出＿＿＿＿，并刻画其结构特征。
（2）＿＿＿＿＿＿＿。
（3）＿＿＿＿＿＿＿。
（4）根据计算最优值得到的信息，＿＿＿＿＿＿＿。
4、流水作业调度问题的johnson算法：（1）令N1=＿＿＿,N2={i|ai>=bj};（2）将N1中作业依ai的＿＿＿。
5、对于流水作业高度问题，必存在一个最优调度π，使得作业π（i）和π（i+1）满足Johnson不等式＿＿＿＿＿。
6、最优二叉搜索树即是＿＿＿的二叉搜索树。
二、综合题（50分）1、当（a1,a2,a3,a4,a5,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为∑ak(2<=k<=4)＿＿＿＿（5分）2、由流水作业调度问题的最优子结构性质可知，T（N，0）=＿＿＿＿＿＿（5分）3、最大子段和问题的简单算法(10分)int maxsum(int n,int *a,int & bestj){intsum=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=i;j<=n;j++)int thissum=0;for(int k=i;k<=j;k++)＿＿＿＿＿;if(thissum>sum){sum=thissum;＿＿＿＿＿＿；bestj=j;}} return sum;}4、设计最优二叉搜索树问题的动态规划算法OptimalBinarysearchTree (15分)Void OptimalBinarysearchTree(int a,int n,int * * m, int* * w){for(int i=0;i<=n;i++) {w[i+1][i]=a[i]; m[i+1][i]=＿＿＿＿;}for(int r=0;r<n;r++)< p="">for(int i=1;i<=n-r;i++){int j=i+r;w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];m[i][j]=＿＿＿＿＿＿;s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<=j;k++){int t=m[i][k-1]+m[k+1][j];if(＿＿＿＿＿) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}m[i][j]=t; s[i][j]=k;}}5、设n=4, (a1,a2,a3,a4)=(3,4,8,10), (b1,b2,b3,b4)=(6,2,9,15) 用两种方法求4个作业的最优调度方案并计算其最优值（15分）三、简答题（30分）1、将所给定序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有哪三种情形(10分)答：2、由0——1背包问题的最优子结构性质，可以对m（i,j）建立怎样的递归式 (10分)3、0——1背包求最优值的步骤分为哪几步（10分）参考答案：填空题：确定性分解成若干个子问题最优解的性质递归地定义最优值以自底向上的方式计算出最优值构造最优解 {i|ai<="" p="">依bi的非增序排序min{bπ(i),aπ(i+1)}≥min{bπ(i+1),aπ(i)}最小平均查找长度综合题：20 min{ai+T(N-{i},bi)}(1=<i<=n) 0="" besti="i" m[i+1][j]="" p="" t<m[i][j]<="" thissum+="a[k]">法一：min(ai,bj)<=min(aj,bi)因为 min(a1,b2)<=min(a2,b1)所以1→2 (先1后2)由 min(a1,b3)<=min(a3,b1)得1→3 （先1后3）同理可得：最后为1→3→4→2法二：johnson算法思想N1＝{1，3，4} N2＝{2}N11＝{1，3，4} N12＝{2}所以N11→N12得：1→3→4→2简答题：1 、（1）a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。
(完整版)数学05级计算方法试题A
大连理工大学应用数学系 数学与应用数学专业2005级试卷课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为_______；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-102求得的近似值为 ，用Simpson 公式求得的近似值为 。
1．设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-<x 时，满足0)(=x s ，则其可表示为 。
4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f ,=]2,1,0[f ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为 。
5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代公式为： 。
6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000101000-A ，则A 的Jordan 标准型是 ；7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A ；8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，00)(u t u =的向后（隐式）Euler 法的显式化的格式为： 。
姓名： 学号：院系：班级： 授课教师：张宏伟 装订线9．设001.211=a 12为x 的近似值，且2105.0-⨯≤-a x ，则a 至少有 位有效数字；10．将()T4,3=x ，化为()T0,5=y 的Householder 矩阵为： ；11．=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=kk 0105.00； 12．用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。
13．若()()∑⎰=≈nk kkx f A dx x f 01()2≥n 为Newton-Cotes 求积公式，则=∑=nk k kx A，若为Gauss 型求积公式，则=∑=nk k k x A 04。
《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2.docx
《计算方法》期中复习试题、填空题:1、 已知f(1) =1∙0, f(2) =1.2, f(3) =1∙3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得3[f(x)dx^—、 1,用三点式求得f (I^ _________ 。
答案：2.367, 0.25 2、f(1)= -1, f(2) =2, f(3)二1,则过这三点的二次插值多项式中X2的系数为 __________ ，拉格朗日插值多项式为 _________________________ 。
1 1L 2(X)W (X V (X -3—3)二(X -I)(X -2)3、近似值X * =0.231关于真值X = 0.229有(2 ) 位有效数字;4、设f (X)可微,求方程x = f (x)的牛顿迭代格式是()X n - f(X n )X n 1 =Xn -答案1-f (X n)5、对 f(x)=x 3X 1,差商 f[0,1,2,3] =( 1 ), f[0,1,2,3,4] =( 0 )； &计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差；7、用二分法求非线性方程 f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n 次后的误差限为&已知f(1) = 2, f(2) = 3, f ⑷=5.9 ,则二次 NeWtOn 插值多项式中 X 2系数为(0.15 )；I11.3-1 .31 I L f (x)dx L f (x)dx fc- [ f (—) + f( ------ )]11、 两点式高斯型求积公式O T(X)dx≈( 022.、32 3),代数精度为(5 );y=10+A 1+J T 一_^12、 为了使计算XT (XT)(X")的乘除法次数尽量地少，应将该表答案：-1，1y =10 (3 (4 -6t)t)t,t =xT_ ,为了减少舍入误差，应将表达式达式改写为一 2001 -一 1999 改写为 .2001 J99913、 用二分法求方程f(x) =x 3∙ X" =0在区间［0,1］内的根,进行一步后根的所在区间为0.5 , 1, 进行两步后根的所在区间为 0.5 , 0.75 。
计算方法期末试题及答案
计算方法期末试题及答案1. 选择题1.1 下面哪种方法不适合求解非线性方程组？A. 牛顿迭代法B. 二分法C. 割线法D. 高斯消元法答案：D1.2 在计算机中，浮点数采用IEEE 754标准表示，64位浮点数的指数部分占用几位？A. 8位B. 11位C. 16位D. 64位答案：B1.3 对于一个矩阵A，转置后再乘以自身得到的是：A. AB. A^2C. A^TD. I答案：B2. 填空题2.1 假设一个函数f(x)有一个根，使用二分法求解，且初始区间为[a,b]。
若在第k次迭代后的区间长度小于等于epsilon，那么迭代次数不超过：log2((b-a)/epsilon) + 1次。
2.2 求解线性方程组Ax=b的高斯消元法的计算复杂度为：O(n^3)，其中n表示矩阵A的维度。
2.3 牛顿迭代法是利用函数的局部线性化来求解方程的方法。
3. 解答题3.1 请简要说明二分法的基本原理和步骤。
答案：二分法是一种不断将区间二分的方法，用于求解函数的根。
步骤如下：1) 确定初始区间[a, b]，其中f(a)和f(b)异号。
2) 计算区间中点c = (a + b) / 2。
3) 如果f(c)等于0或小于某个给定的误差限，则c为近似的根。
4) 如果f(a)和f(c)异号，则根在[a, c]，令b = c；否则根在[c, b]，令a = c。
5) 重复步骤2-4，直至找到满足要求的根或区间长度小于误差限。
3.2 简要描述高斯消元法的基本思想和步骤。
答案：高斯消元法是一种求解线性方程组的方法，基本思想是通过行变换将方程组化为上三角形式，然后通过回代求解。
步骤如下：1) 将增广矩阵[A | b]写为增广矩阵[R | d]，其中R为系数矩阵，d为常数向量。
2) 从第一行开始，选取一个非零元素作为主元，通过行变换使得主元下方的元素为0。
3) 对剩余的行重复步骤2，直至得到上三角形矩阵。
4) 从最后一行开始，依次回代求解未知量的值。
计算方法试题及答案(新)
1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、 已知近似值2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
六年级数学上册专项复习-常见的百分率及其计算方法试题含解析
六年级上册专项复习：常见的百分率及其计算方法一、选择题（共7题；共14分）1.六（3）班有49人上课，有1人请假，六（3）班今天的出勤率是（）%.A. 98B. 96C. 94D. 922.一次植树活动中，有100棵成活，有10棵没有成活，这批树的成活率是（）A. 100%B. 90.9%C. 90%D. 10%3.在含糖率为5％的糖水中，糖占水的（）.A. B. C.4.下面各容器中盛水的高度相同，且容器的底面积也相同，分别把a克盐（a＞0）全部溶解在各容器的水中，（）的含盐率最高.A. B. C.D.5.甲、乙、丙、丁四个杯子中都盛有糖水，甲杯中含糖1.2%，乙杯中的糖和水分别为3克和297克，丙杯中含水98.7%，丁杯中原含糖3克水240克，后来又加了70克水.则四杯糖水含糖百分比最低的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.出勤率（）A. 大于100%B. 小于100%C. 小于或等于100%D. 大于或等于100%7.首饰的含金量一般用“12K”“18K”“20K”“24K”等表示.“24K”表示百分之百的足金，“12K”表示含金量是50%.如果一件质量为60克的首饰中，金的质量大约有51克，你认为这件首饰的含金量用（）表示比较合适.A. 12KB. 18KC. 20KD. 24K二、判断题（共4题；共8分）8.一批产品，合格的有120件，不合格的有30件，合格率是80%.（）9.第一车间昨天出勤50人，缺勤2人，缺勤率是4％.（）10.一次抽奖活动的中奖率是50%，抽两次一定能中奖.（）11.投篮时命中的与未命中的次数比为7：10，则命中率是70%.（）三、填空题（共7题；共9分）12.机场因天气原因，昨天只有24个航班正点到达，其他26个航班都晚点.昨天该机场航班到达的正点率是________%.13.用一批小麦种子进行发芽试验，结果480粒发芽，20粒没有发芽，种子的发芽率是________.要确保2400粒发芽，需这种种子________粒.14.用50粒大豆做发芽试验，2粒没发芽.大豆的发芽率是________.15.五一班有学生60人，近视率达25%，近视的人数是________人.16.用长5分米，宽4分米的长方形硬纸板剪一个最大的正方形，那么这个硬纸板的损耗率是________.17.妈妈买了20枝康乃馨，一星期后有16枝存活，两星期后还有3枝存活，康乃馨一星期的存活率是________％？两星期的存活率是________％？18.今天老师留了8道数学题，弟弟做错了一道，弟弟计算的正确率应是________四、解答题（共3题；共15分）19.王林参加射击比赛，打了20组子弹，每组10发.有10发子弹没有打中目标，请你算一算，王林射击的命中率是多少？20.快速反应，只列式不计算.一个面粉厂用甲等麦子40吨磨出面粉38吨.甲等麦子的出粉率是多少?21.学校有学生1200人，体育测验中没有达标的有12人，体育达标率和未达标率各是多少？(按达标率、未达标率的顺序填写)答案解析部分一、选择题1.【答案】 A【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】49÷（49+1）×100%=49÷50×100%=0.98×100%=98%故答案为：A.【分析】根据出勤率的公式：出勤率=出勤人数÷（出勤人数+请假人数）×100%，据此列式解答.2.【答案】 B【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】100÷（100+10）×100%=100÷110×100%=0.909×100%=90.9%故答案为：B.【分析】植树的成活率=成活的棵数÷（成活的棵数+没有成活的棵数）×100%，据此列式解答.3.【答案】 C【考点】百分率及其应用【解析】【解答】解：5%÷（1-5%）=，所以糖占水的.故答案为：C.【分析】糖水的含糖率是5%，把糖水看成单位“1”，那么糖占5%，水占1-5%=95%，所以糖占水的几分之几=糖占糖水的百分之几÷水占糖水的百分之几.4.【答案】 A【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】将a克盐溶解在这4种容器中，水量最小的容器中的含盐率最高.故答案为：A【分析】含盐率=盐的质量÷盐水的质量×100%.由于本题盐的质量相同，故哪个容器中的水量最小，那个容器中的含盐率就最高.根据题目的条件，个容器底面积相同，可以看出A容器中的含盐率最高.5.【答案】 D【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】乙、3÷（3+297）=3÷300=0.01=1%丙、1-98.7%=1.3%丁、3÷（240+70）=3÷310≈0.0097=0.97%1.3%＞1.2%＞1%＞0.97%故答案为：D【分析】根据“糖的质量÷糖水（糖的质量+水的质量）的质量=含糖量”求出乙和丁杯中的含糖量；根据“1-含水量=含糖量”计算出丙杯中的含糖量.最后比较大小.6.【答案】 C【考点】百分率及其应用【解析】【解答】解：出勤率小于或等于100%.故答案为：C.【分析】出勤率=×100%，因为实际到的人数≤应该到的人数，所以出勤率小于或等于100%.7.【答案】 C【考点】百分率及其应用【解析】【解答】24×（×100%）=24×85%=20.4（K）≈20（K）故答案为：C.【分析】根据题意可知，先求出含金率，用金的质量÷首饰的质量×100%=含金率，然后用24K×含金率=含金量，据此列式解答.二、判断题8.【答案】正确【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】解：合格率：120÷（120+30）×100=120÷150×100%=80%，原题计算正确. 故答案为：正确.【分析】合格率=合格零件数÷零件总数×100%，用加法计算零件总数，然后根据公式计算.9.【答案】错误【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】2÷（50+2）×100%≈0.038×100%=3.8%故答案为：错误【分析】缺勤率=缺勤人数÷（出勤人数+缺勤人数）×100%.10.【答案】错误【考点】百分率及其应用【解析】【解答】解：一次抽奖活动的中奖率是50%，抽两次不一定能中奖.原题说法错误. 故答案为：错误.【分析】中奖率是50%，抽1次就有可能中奖，但是抽2次也不能保证一定能中奖.11.【答案】错误【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】解：命中率是7÷（7+10）≈41.2%.故答案为：错误.【分析】投篮时命中的与未命中的次数比为7：10，那么命中的次数占7份，未命中的次数占10份，命中率=×100%.三、填空题12.【答案】 48【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】24÷（24+26）×100%=24÷50×100%=0.48×100%=48%故答案为：48.【分析】根据题意，要求航班到达的正点率，用航班正常到达的数量÷（航班正常到达的数量+晚点的航班数量）=这个机场航班到达的正点率，据此列式解答.13.【答案】 96%；2500【考点】百分率及其应用【解析】【解答】480÷（480+20）×100%=480÷500×100%=0.96×100%=96%2400÷96%=2500（粒）故答案为：96%；2500.【分析】已知发芽的种子数量与没有发芽的种子数量，要求种子的发芽率，用种子的发芽率=发芽的种子数量÷（发芽的种子数量+没有发芽的种子数量）×100%，据此列式计算；要求实验的种子总量，用发芽的种子数量÷种子的发芽率=实验的种子数量，据此列式解答.14.【答案】 96％【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】解：（50-2）÷50×100%=96%，所以大豆的发芽率是96%.故答案为：96%.【分析】大豆的发芽率=×100%，其中发芽的粒数=做试验的总粒数-没发芽的粒数，据此代入数据作答即可.15.【答案】 15【考点】百分率及其应用【解析】【解答】60×25%=15（人）.故答案为：15.【分析】已知五一班的总人数与近视率，要求近视的人数，用总人数×近视率=近视的人数，据此列式解答.16.【答案】 20%【考点】长方形的面积，正方形的面积，平面图形的切拼，百分数的应用--求百分率【解析】【解答】解：5×4=20（平方分米），4×4=16（平方分米），（20-16）÷20=4÷20=20%故答案为：20%.【分析】剪出的最大的正方形与长方形的长相等，分别计算出长方形和正方形的面积.用长方形面积减去正方形面积求出损耗的部分，用损耗的部分除以长方形的面积即可求出损耗率.17.【答案】 80；15【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】16÷20×100%=0.8×100%=80%3÷20×100%=0.15×100%=15%故答案为：80；15.【分析】此题主要考查了百分率的应用，根据成活率=成活的棵数÷总棵数×100%，据此列式解答.18.【答案】 87.5%【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】（8-1）÷8=7÷8=0.875=87.5%故答案为：87.5%.【分析】此题主要考查了百分率的应用，根据正确率=正确的题数÷答题总数×100%，据此列式解答.四、解答题19.【答案】解：（20×10-10）÷（20×10）×100%=190÷200×100%=95%答：王林射击的命中率是95%.【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【分析】命中率=命中目标的发数÷打的总发数×100%，根据公式计算.用每组的发数乘组数即可求出一共打的发数.20.【答案】解：38÷40×100％【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【分析】出粉率=面粉重量÷麦子重量×100%，根据出粉率的计算方法计算即可.21.【答案】 99％,1％【考点】百分数的应用--求百分率【解析】【解答】体育达标率：（1200-12）÷1200×100%=1188÷1200×100%=0.99×100%=99%体育未达标率：1-99%=1%答：体育达标率是99%，未达标率是1%.【分析】体育达标率=×100%，体育未达标率=1-体育达标率，据此列式解答.。
计算方法习题 (1)
《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值，准确数位是（ 210- ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （))((!2)(b x a x f --''ξ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52）。
4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ，解得149,71821==x x 。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。
⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ， 9611612)(2=⨯≤M x R 。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
计算方法作业集及答案
计算⽅法作业集及答案第⼀章数值计算基本常识⼀.填空题1. ⽤四舍五⼊得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。
2. ⽤四舍五⼊得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。
3. ⽤四舍五⼊得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。
4. ⽤四舍五⼊得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。
5. 设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。
6. 设x*=0.231是真值x=0.229的近似值，则x*有_____位有效数字。
7. 设x*=0.23是真值x=0.229的近似值，则x*有_____位有效数字。
8. 设x=2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值x*=_____。
9. 设x=2.3149541…，取4位有效数字，则所得的近似值x*=_____。
10. 若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
11. 若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
12. 若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
13. ⽤3.15作为π的近似值有_____位有效数字。
14. ⽤3.14作为π的近似值有_____位有效数字。
15. ⽤3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。
解答:1. 3、0.5*10-32. 3、0.5*10-33. 0.5*10-2、0.725%4. 0.5*10-4、0.00628%5. 16. 27. 28. 2.31509. 2.31510. 0.05%11. 0.007%12. 0.001%13. 214. 315. 5⼆.选择题1. 3.141580 是π的近似值,有( )位有效数字。
研究生计算方法试题(A
11. 设用 n 等分[0,1]区间的复化梯形公式求积分 当n ≥ 时，保证误差不超过
∫e
0
1
x
dx ,
1 －4 × 10 2
12. 设 f(x,y)关于 y 满足李普希兹（Lipschitz）条件，即： | f ( x, y1 ) − f ( x, y 2 ) |≤ L | y1 − y 2 | , y n 是用欧拉（Eular）公式 求得的方程 ⎨
9. f ( x) = x + 3 x + 1 在 [-1,1] 上的一次最佳一致逼近多项式是 10. 用 求 解
∫
b
a
f ( x)dx 的 梯 形 公 式 T =
H = (b − a) f (
a+b ) 作组合，得到具有高精度的求积公式 S，则 S= 2
b−a ( f (a) + f (b)) 和 中 矩 形 公 式 2
⎧ y ' = f ( x, y ) 在 x n 处的近似值，记 en = y ( x n ) − y n ⎩ y ( x0 ) = y 0
x
为整体截断误差，则 en 所满足的关系式为 en ≤ 13.设 f ( x) = e ，用分段线性插值求 f ( x) 在区间 [0,1] 中的近似 时，绝对误差 ≤ 1 × 10 值，则当等分区间的步长 h ≤ 14.初等反射阵（Householder 阵）的全部可能的特征值是 15.设 A = ( aij ) n×n ， A
(k ) k →∞
−6
(k ) = (aij ) n×n ，则 lim A ( k ) = A 的定义是
二、（14 分） 1)试导出解
y n +1
⎧ y ' = f ( x, y ) 的中点折线法： ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y 0 = y n −1 + 2hf ( x n , y n ) n=1,2,…
数值计算方法期末试题及答案
一、选择题（每小题4分，共20分）1。
误差根据来源可以分为四类,分别是（ A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差;B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差;C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差.2。
若,则其六阶差商（ C ）A. 0； B 。
1； C 。
2； D. 3 。
3。
数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）A 。
0； B. 1； C 。
2； D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法 （ B ）A. 都发散;B 。
都收敛C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；D 。
Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5。
对于试验方程，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）A 。
； B. ；C. ；D. ；二、填空题（每空3分,共18分）1。
已知，则 ， 16 ，2. 已知，则 f (x ）的线性插值多项式为，且用线性插值可得f （7）= 2。
6 。
3。
要使的近似值的相对误差界小于0。
1％,应至少取 4 位有效数字.三、利用下面数据表，1。
用复化梯形公式计算积分的近似值; 解：1.用复化梯形公式计算 取 1分2。
用复化Simpson 公式计算积分的近似值。
（要求计算结果保留到小数点后六位）。
（14分）解:用复化辛甫生公式计算 取 8分四、已知矩阵，求矩阵A 的Doolittle 分解。
(10分)解:用紧凑格式法2分5分8分10分五、用Newton 迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。
(12分）解： ，6分8分， 11分故，方程的近似根为1。
8974 12分六、对下面线性方程组 （12分）1。
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计算方法试题A 答案大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dx e x ⎰-102求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。
1． 设函数()1,0,1)(3-∈S x s ，若当1-<x 时，满足0)(=x s ，则其可表示为()()33323111)(+++-+++=x c x c x c x s 。
4．已知12)2(,6)1(,0)0(===f f f ,则=]1,0[f 6 ,=]2,1,0[f 0 ，逼近)(x f 的Newton 插值多项式为x 6。
5．用于求()01=--=x e x f x 的根0=x 的具有平方收敛的Newton 迭代公式为：1121---⨯-=+k k x k x k k e x e x x 。
姓名： 学号：院系：班级： 授课教师：张宏伟装订线6．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000101000-A ，则A 的Jordan 标准型是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100000或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000010；7．设A 是n 阶正规矩阵，则=2A ()A ρ；8．求解一阶常微分方程初值问题t u t t u +-=')1()(2，00)(u t u =的向后（隐式）Euler 法的显式化的格式为：()211111+++-++=n n n n t h ht u u 。
9．设001.211=a 12为x 的近似值，且2105.0-⨯≤-a x ，则a 至少有 5 位有效数字；10．将()T 4,3=x ，化为()T0,5=y 的Householder 矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453； 11．=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=kk 0105.00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302； 12．用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为()2,1，进行二步后根所在区间为()2,5.1。
13．若()()∑⎰=≈nk k k x f A dx x f 01()2≥n 为Newton-Cotes 求积公式，则=∑=nk k k x A 021，若为Gauss 型求积公式，则=∑=n k k k x A 0451。
14．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122151A ，则在Schur 分解H URU A =中，R 可取为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001。
15．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A ，则=tA e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t , =t e t d d A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010。
二、（8分）已知近似值21.11=a ，65.32=a ，81.93=a 均为有效数字，试估计算术运算3213a a a a ⋅+的相对误差界。
解：由已知，21110211021--⨯=⨯≤-n k a x ；2221021-⨯≤-a x；2331021-⨯≤-a x。
令()3321321,,x x x x x x x f +⋅=，()3321321,,a a a a a aa f +⋅=，由函数运算的误差估计式 ()-321,,x x x f ()321,,a a a f ≈()()11321,,1a x a a a f x -'+()()22321,,2a x a aa f x -'+()()33321,,3a x a aa f x -'()()()332321223111321a x a a a a x a a a x a a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+-=从而，相对误差可写成()()()≤-321321321,,,,,,a a a f a a a f x x x f 3321332321223111321a a a a a x a aa a x a a a x a a +⋅-⋅-+-+-﹟三、（15分）设线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+74243433212121x xx x x x x （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出)det(A （要有换元、消元过程）；（2）试问用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi 、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。
解：（1）→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛741240134031→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛741240314013→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛31343103803804013⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛44003803804013 故，()Tx 1,1,1=，324000380013)1()det(-=⨯-=A 。
（2）由于Gauss-Seidel 迭代法的特征值满足：()()=--U D L λd et ()0943*******3223=-=-=λλλλλλλλλλ，则()9,0,0=S -G B λ，故()19>=S -G B ρ，从而Gauss-Seidel 迭代法发散。
又由于Jacobi 迭代法的迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=04121003030J B ，()=-J B I λdet ()99412103323-=-=λλλλλλλ，则()3,3,0-=J B λ，故()13>=J B ρ，从而Jacobi 迭代法发散。
（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=741240314013~A 是严格对角占有的，故Jacobi 和Gauss-Seidel迭代法均收敛。
且新的方程组与原方程组同解。
Jacobi 、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式分别为： ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-=+++)(2)(1)1(3)(1)1(2)(2)1(12741431431k k k k k k k x x x x x x x 和 ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-=++++++)1(2)1(1)1(3)(1)1(2)(2)1(12741431431k k k k k k k x x x x x x x #四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题),()(u t f t u ='，00)(u t u =的数值方法()n n n n n n f f f hu u u ++=--++++12128382121①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解u u 20-='，1)0(=u 。
为使方法绝对稳定，求出步长h 的取值范围并以10=u ，11=u 初值，01.0=h 为步长，求出)02.0(u 的近似值2u 。
解：（1）注意，83,1,81,1,21,21210210====-=-=βββααα，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯+-+-==⨯+-+-==⨯+-+-==++--==+--=481)8321(!31)221(!410)8321(21)221(610)8321()421(210)83181(212012121344233210C C C C C 故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：)(481)4(4n t u h -。
（2）令，()02112121)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=λλλλλρ，得11=λ，212-=λ，满足根条件；又方法阶13>=p ，故此差分格式收敛。
（3）又对于模型问题：u u μ='(0<μ), 取h h μ=0831********1812121831)()(22=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-h h h h h h h h λλλλλσλρ而要使得 1<λ 的充要条件为：238418318121183121<-+-=-+-<-+h h h h h h而 23841<-+-h h 自然成立。
现在再由 hhh h 38443884--<-+得h h h 448444-<+<+-⇔h h h -<+<+-1211由 h h 211+<+-，可推出02<<-h ，即()0,2-∈h 。
#五、（15分）（1） 用Schimidt 正交化方法，构造[1,1]-上以1)(≡x ρ权函数的正交多项式系：)(0x φ，)(1x φ，)(2x φ，)(3x φ;（2）构造计算11(),f x dx -⎰ 具有5次代数精度的数值求积公式；（3） 利用2)的结果求出⎰40sin dx xx的数值解。
解：由⇒=+512n 2=n ，即应构造具有3个Gauss 点的求积公式。
首先 构造3次正交多项式，令()==323052052032032013202x x x x φ()05205203203201-+x 05205203232022052003203202x -35203203203202x +3278158x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+258458825454525271515273⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=x xx x 22532135323-=；令()03=x φ即得，()02251135122511351233=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x x φ，得532251352,0±=±=x，01=x 取()1=x f ，x ，2x ，令 ()dx x f ⎰-11()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=53053210f A f A f A 即得到方程组：2102A A A ++=，2053530A A +-=，20535332A A += 解之，得9520==A A ，981=A ，从而具有5次代数精度Gauss 求积公式()dx x f ⎰-11()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈53950985395f f f （2）()t x +=12，则有()()()dt t f dx x f ⎰⎰-+=114122()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯≈53125285312592f f f dx x x ⎰40sin ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯≈53125312sin 52sin 1653125312sin 592 15210515210sin 9502sin 93215210515210sin 950+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯≈()(361050515210sin 2sin 128151*********sin -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈六、证明题（5分）任选一题1．设n n ⨯∈C B A ,均为可逆矩阵，且齐次线性方程组()0=+x B A 有非零解，证明：对于n n ⨯C 中的任何矩阵范数⋅，都有11≥-B A 。