中考几何专题复习-手拉手模型-旋转全等型
完整word版中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型
中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：，归纳掌握其基本特征．1.了解并熟悉“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．2.借助“手拉手模型”举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．3.二、教学重难点：，学会用旋转构造全等．1.挖掘和构造“手拉手模型”用旋转构造全等的解题方法最优化选择．2.三、教学过程：D 1.复习旧知EH为等边三角形，从中你能得出师：如图，△ABD，△BCE GF哪（1）△ABE CAB 4）△BFG为等边三角形CFB （3）些结论？DBFDBC≌△（2）△ABG≌△生：△≌△EGB （……）BH平分∠AHCB，F，四点共圆（8G7＝6DGH）（5△AGB∽△（）∠DHA60°（）H，，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，与△DBC师：我们再来重点研究△ABE 还有什么共同特征呢？．B，即同一个顶点B生：它们有同一个字母经过怎样的图形运动得到？看作由△ABE师：我们也可以把△DBC 60°得到．生：绕点B顺时针旋转2.引入新课，谁可以将这个模型的师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．．师：我们可以称之为“共顶点”师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．师：3.小题热身3图1图2图．＝____BECAD于，则AF°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥4511．如图，△BAD中，∠BAD＝．＝______AECE＝4，则ABC△和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，2．如图2，．＝_______＝5，则EFBEEAF＝45°，＝3，DF，正方形3．如图3ABCD中，∠题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．2师：我们来看第1，第BCD．C逆时针旋转90°得△AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点生：题1中，等线段是．60°得△CBEB，△ABD绕点D顺时针旋转，共顶点是题2中，等线段是AB，BC 题，这里有“手拉手模型”吗？师：我们再来看第3 生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？．，共顶点是A生：等线段是AD，AB 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？90°．AE旋转，绕点A逆时针旋转生：将90°，你是如何思考的？师：为什么是逆时针旋转逆AE，那么将ADAB绕点A逆时针旋转90°即为全等的三角形，生：我准备构造一个和△ABE GD，证明全等．AG时针旋转90°可得，连接师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？“共顶点”的线段，将其旋转．生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？．步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”“共顶点”的线段旋转．：选择其中一个三角形，将其中经过2步骤．：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等步骤3 线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？F三点共线．G，D，生：连接GD后，要证明4.例题精讲A度数．，求∠ADC，DC＝3，BD＝5：等边△例1ABC中，AD ＝4 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？D要构造全等，该怎样旋转？CB生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？A，A为“共顶点”，我选择的旋转线段生：我发现AB＝AC E也要绕，所以△ADC60是AD，因为AC绕点A顺时针旋转°到AB D°．点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60BC【解答】≌△也为等边三角形．易证△AEBBE，DE．则△ADE绕点将ADA顺时针旋转60°到AE，连接°AEB＝∠ADC＝150BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠，∴ADCCOD＝?AOB?2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，例DA的长度为OD BC试求以AD、、OC＋BOC＝90?．若△的面积为1，三边长的三角形的面积．O师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角CB形？即是以△BCE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定O生：将OD绕点逆时针旋转90°至OE 的长度为三边长的三角形．、BCOC＋ODAD、【解答】D．易证OE，连接BE如图，将OD 绕点O逆时针旋转90°至A OD＋、OCBCBCEADOAD△≌△OBE，＝BE，∴△即是以AD、E．＝22＝SOEOC长度为三边长的三角形．又∵＝，∴S BOC△BCE△O CB5.自主练习DA ACBABC＝∠，CD＝3，∠1．如图，在四边形ABCD中，AD＝4 ．45°，则BD的长为_________＝∠ADC＝，并写出解决方法．师：请找出隐含的“手拉手模型”BC绕点ADA．方法是将CA生：“等线段”是和BA，“共顶点”是°．顺时针旋转90A E为边，向外做正方，以ABC2．如图，在△中，BC＝2，ABAC＝2 ．BE形ACDE，连接，则BE最大值为_________D师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．A．EA，“共顶点”是A生：“等线段”是CA和C A逆时针旋转90°．方法是将AB绕点B师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？°．也绕点生：△ABC，因为AC是逆时针旋转90°到AE，所以ABA逆时针旋转90是等边三角形，BCB上，AB＝1，＝2，△ACDA3．如图，点在⊙D面积的最大值．求△BCD ，并写出解决方法．师：请找出隐含的“手拉手模型”A C．CA和CD，“共顶点”是“等线段”是生：BC°．C逆时针旋转60方法是将CA绕点附：自主练习解答E≌△EACAD1．如图，将绕点A顺时针旋转90°至AE，易证△°，DAB，可得CE＝BD，又∵∠＝90＝45°，∴∠CDEEDA DA2222＋3CDCDEDECD＝3，＝24，则Rt△中，CE＝＋DE＝241 ＝(42)CB41 DB，∴＝41∴CE＝，≌△EAFCAB，易证△°至绕点如图，将2.ABA逆时针旋转90AF E．由三，∴ABAFBAFRt2BCEF 可得＝＝．△中，＝＝2BF2＝D4. BEBF＋EFBE角形三边关系易知，≤，∴最小值为F ABC．CBDE，过点E作EF⊥C3.如图，将CB绕点逆时针旋转60°至CE，连接D，＝3，CBA≌CED 则DE＝1，EF△于作F于，过点DDG⊥CBG．易证E边上的高，可证作DGDG＜DE＋EF．过E A S，．＝，当D，EF三点共线时，DGDE＋EF即高的最大值为1＋3BCDmax△ GCBF13 3×（×＝21＋）＝＋12DEABFC．。
2020年中考备考专题复习讲义------手拉手模型(PDF版无答案)
手拉手模型类型一、旋转型全等1．等边三角形条件：如图1，△OAB ，△OCD 均为等边三角形.结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =60°；③EO 平分∠AED .④O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆证明：如图2，∵△OAB ，△OCD 均为正△∴OA=OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =60°∴∠AOB+∠BOC =∠COD+∠BOC ∴∠AOC=∠BOD ∴△OAC ≌△OBD∴∠OAC=∠OBD∴∠BAE+∠ABE=∠OAB －∠OAC+∠ABO+∠OBD=∠OAB+∠ABO=120°∴∠AEB =60°作OM 、ON 分别⊥AC 、BD 于点M 、N∵S △OAC =S △OBD ，AC =BD∴OM =ON∴EO 平分∠AED ∴∠OEA =∠OED =∠OBA =∠OCD =60°∴O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆；点E 为△OBC 的费马点(仅图2)2．等腰直角三角形条件：如图3，△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形.结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB =90°；③EO 平分∠AED.④O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆证明：如图4，∵△OAB ，△OCD 均为等腰Rt △∴OA=OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°∴∠AOB+∠BOC =∠COD+∠BOC ∴∠AOC=∠BOD ∴△OAC ≌△OBD ∴∠OAC=∠OBD∴∠BAE+∠ABE=∠OAB －∠OAC+∠ABO+∠OBD=∠OAB+∠ABO=90°∴∠AEB =90°作OM 、ON 分别⊥AC 、BD 于点M 、N∵S △OAC =S △OBD ，AC =BD ∴OM =ON ∴EO 平分∠AED∴∠OEA =∠OED =∠OBA =∠OCD =45°∴O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆(四边形OMEN 是正方形)OB DAC EO BD A C E图1OB DACE OBD ACE图3O B DA CE N M 图2OBD A CEN M 图43．任意等腰三角形条件：如图5，△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD.结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=∠AOB ；③EO 平分∠AED.④O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆证明：证明：如图6，∵OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD∴∠AOB+∠BOC =∠COD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD ∴△OAC ≌△OBD∴∠OAC=∠OBD∴∠BAE+∠ABE=∠OAB －∠OAC+∠ABO+∠OBD=∠OAB+∠ABO∴∠AEB =∠AOB作OM 、ON 分别⊥AC 、BD 于点M 、N∵S △OAC =S △OBD ，AC =BD ∴OM =ON∴EO 平分∠AED∴∠OEA =∠OED =∠OBA =∠OCD∴O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆模型二、旋转型相似1．一般情况条件：如图7，CD //AB ，将△OCD 旋转至右图位置.结论：①△OCD ∽△OAB ，△OAC ∽△OBD ；②延长AC 交BD 于点E ，则∠BEC=∠BOA.③O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆证明：∵CD //AB ，旋转∴△OCD ∽△OAB ，∠COD =∠AOB∴∠COD －∠COB =∠AOB －∠COB ，OC ：OA =OD ：OB ∴∠AOC =∠BOD ∴△OAC ∽△OBD∴∠OAC =∠OBD∴∠BAE+∠ABE=∠OAB －∠OAC+∠ABO+∠OBD=∠OAB+∠ABO ∴∠BEC=∠BOA=∠DOC ∴O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆2．特殊情况条件：如图9，CD //AB ，∠AOB=90°，将△OCD 旋转至右图位置.结论：右图中①△OCD ∽△OAB ，△OAC ∽△OBD ；②连接AC ，BD 交于点E ，则∠BEC =∠BOA ；③BD AC =OD OC =OBOA =tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ；⑤连接AD ，BC ，则AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；⑥S 四边形ABCD =12AC ·BD (对角线互相垂直的四边形).⑦O 、A 、B 、E 四点共圆，O 、D 、C 、E 四点共圆(证明可参考以上方法)O BDA CE OBD A CE图5OB D ACOB D ACE 图9OB D AC OBD AC图7E O B DACENM 图6OBD AC图8E中考真题1．[2019·滨州]如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为()DBCAMOA ．4B ．3C ．2D ．12．[2018·东营]如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ．给出下列结论：①BD ＝CE ；②∠ABD +∠ECB ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2(AD 2+AB 2)﹣CD 2．其中正确的是()DBCAEA ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④3．[荆门]如图，点A ，B ，C 在一条直线上，△ABD ，△BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CD ，BD 于点M ，P ，CD 交BE 于点Q ，连接PQ ，BM ，下面结论：①△ABE ≌△DBC ；②∠DMA ＝60°；③△BPQ 为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有()CDB MAEQPA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．[2016·贺州]如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为．DC AEBO5．[2018·包头]如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE ．下列结论：①△ACE ≌△BCD ；②若∠BCD ＝25°，则∠AED ＝65°；③DE 2＝2CF ·CA ；④若AB ＝32，AD ＝2BD ，则AF ＝53．其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)D CA EBF6．[柳州]如图，在△ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ．设△ACD 、△BCE 、△ABC 的面积分别是S 1、S 2、S 3，现有如下结论：①S 1：S 2＝AC 2：BC 2；②连接AE ，BD ，则△BCD ≌△ECA ；③若AC ⊥BC ，则S 1·S 2＝34S 32．其中结论正确的序号是．DCA EB7．[2019·宜宾]如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是(写出所有正确结论的序号)．①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN ＝1AC +1CEA DCF EBMN8．[2019·襄阳]如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF＝．D CAEBF9．[2017·包头]如图，在△ABC 与△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 在AB 上，点E 与点C 在AB 的两侧，连接BE ，CD ，点M 、N 分别是BE 、CD 的中点，连接MN ，AM ，AN ．下列结论：①△ACD ≌△ABE ；②△ABC ∽△AMN ；③△AMN 是等边三角形；④若点D 是AB 的中点，则S △ABC ＝2S △ABE ．其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)DC AE BMN10．[烟台]如图，△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：①∠AFC ＝∠C ；②DE ＝CF ；③△ADE ∽△FDB ；④∠BFD ＝∠CAF 其中正确的结论是．D CABFE11．[鄂州]在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连DE ，BH ，两线交于M ．求证：(1)BH ＝DE ．(2)BH ⊥DE ．M DHFECBA12．[莱芜]如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE ，G 为BD 的中点，连接CG ，BE ，CD ，BE 与CD 交于点F ．(1)判断四边形ACGD 的形状，并说明理由．(2)求证：BE ＝CD ，BE ⊥CD ．DCHEBFGA13．[2019·无锡]如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，正方形BDEF 的边长为2，将正方形BDEF 绕点B 旋转一周，连接AE 、BE 、CD ．(1)请找出图中与△ABE 相似的三角形，并说明理由；(2)求当A 、E 、F 三点在一直线上时CD 的长；(3)设AE 的中点为M ，连接FM ，试求FM 长的取值范围．DCAEBFBA备用题C。
初中必会几何模型（口诀突破）：手拉手模型（或旋转型）
初中必会几何模型（口诀突破）：手拉手模型（或旋转型）教材知识：三角形全等知识中，教材对全等三角形的图形变换概括为三种：平移型、翻折型、旋转型。
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.归纳模型：三种变换中以旋转型为考试的热点和难点，这种变换我们往往也称为手拉手模型。
因为这种图形变换都是以等腰三角形的顶点为旋转点，进行适当旋转而成。
然后，连接对应点构造新的三角形，证明三角形全等即可解决。
划重点，上口诀：等腰图形有旋转，辨清共点旋转边。
关注三边旋转角，全等思考边角边。
模型变换：如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=a。
结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE。
模型证明：图②图③同理可证。
模型分析：（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型。
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
模型实例：如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1)AG与CE是否相等?（2)AG与CE之间的夹角为多少度?问题解答：模型实练：如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形、连接AE、CD，二者交点为H.求证：(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC；(3)∠DHA=60°；(4)△AGB≌△DFB;（5）△EGB≌△CFB（6）连接GF，GF∥AC；（7)连接HB，HB平分∠AHC.。
(完整word版)用旋转构造“手拉手”模型
中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程：1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 顺时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．H GF E DCBA3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．【解答】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90︒．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD 长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．EAOBCDDC BOABBDCBA5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ． 方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ． 方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1． 如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋ (42)2＝41∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.EDCBAADC BDFEBCDA3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB 于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED，则DE＝1，EF＝3，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋3，S△BCDmax＝12×2×（1＋3）＝1＋ 3FEDCBAGEFABCD。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB COACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
几何模型之——“手拉手”及其经典考题
几何模型之——“手拉手”及其经典考题几何模型之——“手拉手”及其经典考题一、“手拉手”全等模型如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE.∠BAC=∠DAE.结论：△BAD≌△CDE.二、模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
三、模型实例例1．如图，△ABC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AE、BD，相交于点F.问：（1）AE与BD是否相等？（2）AE与BD之间的夹角为多少度？例2．如图，直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE交DB于点G、连接CD交BE于点F，AE与CD交于点H.求证：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）∠DHA=60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）连接GF，GF∥AC；（7）连接HB，HB平分∠AHC。
四、精选练习1．如图，在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC上，且AE=BD.（1）求证：CD=CE；（2）若∠BAE=30°，求∠ABD度数.2.如图,△ABD与△BCE都为等边三角形,连接AE与CD,延长AE交CD于点F．求证：（1）AE=DC；（2）∠AFD=60°；（3）连接FB，FB平分∠AFC。
3．在线段AE同侧作等边△CDE（∠ACE<120°），点F,G分别是线段BE和AD的中点.求证：△CFG是等边三角形.4．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4。
将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0°<>180°），BD的延长线交CE于P.（1）如图②，证明：BD=CE，BD⊥CE；（2）如图③，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长.。
初中数学经典几何模型05-手拉手模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。
6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)其中结论正确的个数是_______【基础训练】1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【巩固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）专题05 手拉手模型构造全等三角形答案【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
初中数学几何模型之——手拉手模型，跟我学-应对中考轻松自如
初中数学几何模型之——手拉手模型，跟我学-应对中考轻松自
如
一、模型一：手拉手模型----旋转型全等
（1）等边三角形
手拉手-等边旋转
【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED
（2）等腰直角三角形
手拉手-等腰直角旋转
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED
（3）顶角相等的两任意等腰三角形
手拉手-等腰旋转
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似
（1）一般情况
【条件】：CD∥AB，将△OCD旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA
（2）特殊情况
【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° 将△OCD旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；
③BD/AC=OD/OC=OB/OA=tan∠OCD；
④BD⊥AC；
⑤连接AD、BC，必有AD2+BC2=AB2+CD2；
⑥S△BCD=1/2AC×BD。