几何辅助线之手拉手模型初

手拉手模型教学目标:
1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点
2：掌握手拉手模型的应用
知识梳理：
1、等边三角形
条件：△OAB，△OCD均为等边三角形
结论：；；
导角核心：
2、等腰直角三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形
结论：；；
导角核心：
3、任意等腰三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD
结论：；；
核心图形：
核心条件：；；
典型例题：
例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；
（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC
例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？
例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？
例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？
（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？
（4）HB是否平分∠AHC？
例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，
AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。

探
索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD 于点E.
（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
例9：在△ABC中，AB AC
=，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD AE
=，DAE BAC
∠=∠，连接CE．
1）如图1，当点D在线段CB上，且90
∠=_______度；
BAC
∠=︒时，那么DCE
（2）设BACα
∠=．
∠=，DCEβ
①如图2，当点D在线段CB上，90
∠≠︒时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明
BAC
你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，90
∠≠︒时，请将图3补充完整，并直接写出
BAC
此时α与β之间的数量关系．
（3）结论：α与β之间的数量关系是____________．
例10：在ABC
∆绕点D顺
ABC
∠=︒，BD为斜边AC上的中线，将ABD
==，90
AB BC
∆中，2
时针旋转α(0180
α
∆，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE ︒<<︒)得到EFD
与FC相交于点H.
（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________;
（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MN=__________;
（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：.
当堂练习：
1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为
边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ．若点D 在线段BC 上，①依题意补全图1；
②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；
2：已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．
3：如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，
试说明CE 与AC CD +相等的理由．
4：已知，如图，P 是正方形ABCD 内一点，且::1:2:3PA PB PC =，求APB ∠的度数．
5：如图所示，P 是等边ABC ∆中的一点，2PA =，PB =4PC =，试求ABC ∆的边长. 6：在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ．
（1）如图1，如果30A ∠=︒，那么DE 与CE 之间的数量关系是___________．
（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，如果A α∠=（090α︒<<︒），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．
课后练习：
1：在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α()060︒<α<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．
（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE △的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值
2：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结PA ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ．
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数；
（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．
3：在△ABC 中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD 、BD ．
（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=o 时，CBD ∠的大小为_________；
（2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求CBD ∠的大小；
（3）已知∠BAC 的大小为()60120m m ︒<<︒，若CBD ∠的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小
4：如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边()AB AE AB AE <、在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，
其它顶点均不重合，连接BE DG 、．
（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：=BE DG ；
（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出FCD ∠的度数；
（3）如图3，如果45242AB AE α=︒==，，，求点G 到BE 的距离
5：将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=︒，AD 边与AB 边重合，2AB =，4AD =．将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度()α0α180︒≤≤︒，BD 的延长线交直线CE 于点P ．
（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长；
（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．
6：△ABC 中，45ABC ∠=︒，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．
（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，
①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数；
（2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．
7：如图1，在ACB ∆和AED ∆中，AC BC =，AE DE =，90ACB AED ∠=∠=︒，点E 在AB 上，F
是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．
（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）；
（2）将图1中的AED ∆绕点A 顺时针旋转，使AED ∆的一边AE 恰好与ACB ∆的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的AED ∆绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．。