四川省绵阳市绵阳中学初中数学自主招生试题
【2020-2021自招】四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年四川省绵阳南山中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
绵阳中学2010年自主招生数学测试题目
绵阳中学2010年招生数学测试题目一、选择题（每题5分，共60分）1、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+〉+-〈-23122762x x x x 的整数解是（ ）A 、1，2B 、0，1，2C 、31＜x ＜413D 、1，2，32、反比例函数y=xk在第二象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A 、-1B 、-2C 、-3D 、-43、Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=8，AC=6，把Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转120°后，得Rt △AB 1C 1，则点B 所走过的路程的长为（ ）A 、103B 、340π C 、5π D 、320π 4、如图，点A 在函数y=-21x+3+1的图象上，△AOB 是等边三角形，则点B 的坐标为（ ）A 、（2，0）B 、（4，0）C 、（3，0）D 、（23，0）5、如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，圆O 的直径为4cm ，则弦CD 的长为（ ）A 、3 cm,B 、2cmC 、23 cmD 、5cm6、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A 、34B 、1C 、2D 、237、已知关于x 的一元二次方程x 2－4x+m+1=0的两个实数根是x 1,x 2，且x 12+x 22=24，则m 的值是（ ）A 、5B 、-5C 、6D 、-68、甲、乙两个袋中分别各放有编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球鞋，现从两 袋中各摸出一个球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数5的概率是（ ）A 、21B 、81C 、31D 、419、二次函数y=ax+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则 下列结论中正确结论的个数是（ ）①c ＞0 ②c(2a+b)＜0 ③b 2－4ac ＞0 ④(a+c)2－b 2＜0图2EDCBA图1EDCBAOBEAD CA 、4B 、3C 、2D 、110、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2－2x －3关于x 轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A 、y =－x 2+2x+3B 、y =－x 2－2x －3C 、y =－x 2－2x+3D 、y=x 2+2x －3 11、下图是正方体，其展开图是（ ）12、有一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…a,a n ，其中 a 1=3×2，a 2=3×3+1, a 3=3×4+2 ,a 4=3×5+3,a 5=3×6+4,…,当 a n =2010时，则n=（ ） A 、2010 B 、2009 C 、502 D 、504 二、填空题（每题4分，共20分）13、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=p ，BC=q ，则（cos A ）2+(cos B )2=_______。
绵阳中学数理化自主招生模拟试题及答案[1]
![绵阳中学数理化自主招生模拟试题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b82317c17c1cfad6185fa706.png)
数学卷一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-+C.211(1)x x x x x--=-- D.21(2)(1)(3)a a a --=-- 2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <，所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则14x -的值是（ ） A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数k y x =的图像还必过点 A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51*22＝（ ） A.54B.5C.3D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％ 8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且32θ=，则角θ所对的弦长等于（ ） A.8 B.10 C.82 D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2020年绵阳中学自主招生数学试题
2020 年绵阳中学自主招生数学试题一.选择题：〔本大题共 12 个小题，每个 4 分，共 48 分，将所选答案填涂在机读卡上〕 1、以下因式分解中，结果正确的选项是〔 〕B.x 4 (x 2)(x 2)( x 2) 23224 2 1D.1 (a 2)(a 1)(a 3)2xx 1 x(x 1 )2 x2、〝二次函数y ax bx c 的图像如下图，试判定 与a b c 2 因此a b c 0 .〞他这种讲明咨询题的方式表达的数学思想方〕B.配方法 D.分类讨论法1 1 13、实数 满足 ，那么 的值是〔 〕x xx 4 4 2x 2 x xA.-2k k4、假设直线y 2x 1与反比例函数 的图像交于点P(2,a) ，那么反比例函数 的图像还y y x x〕C.(-2,-3)D.(2,12) D.95、现规定一种新的运算：〝*〞：m *n (m n) ，那么〕m n 46、一副三角板，如下图叠放在一起，那么AOB C O D ＝ 〔 〕7、某中学对 2005 年、2006 年、2007 年该校住校人数统计时发觉，2006 年比 2005 年增加 20%， 2007 年比 2006 年减少 20%，那么 2007 年比 2005 年〔 A.不增不减 B.增加 4％ C.减少 4％〕 8、一半径为 8 的圆中，圆心角θ为锐角，且 3，那么角θ所对的弦长等于〔2 〕 A.8D.169、一支长为 13cm 的金属筷子〔粗细忽略不计〕，放入一个长、宽、高分不是 4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进〔 〕深的水才能完全埋住筷子。
A.13cm 10、如图，张三同学把一个直角边长分不为 3cm,4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻动〔顺时 针方向〕，顶点 A 的位置变化为 ，其B.4 10 cmC.12cmD. 153 cmA AA 12中第二次翻动时被桌面上一小木块挡住，使纸板 一边 与桌面所成的角恰好等于BAC ，那 么 A C 2 1〕A2A.8 2 cmC.2 29 cm11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下 修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。
四川绵阳中学2019自主招生数学试卷
A. 变大
B.
8. 已知二次函数 y
变小 C. 不变
D.
不确定
a( x h) 2 k, (a 0) 图像经过 A(0,4)、 B(8,6) 两点。若 0
h 8 ， h 的值在下列数字
中可能为（
）
A. 2
B.
3
C.
4
D.
5
9. 如图， ⊙ A 、⊙ B 的半径分别为 2、1，且 AB 8 ，若作⊙ C 使得三圆的圆心在同一直线上，
伴随点为 A2 ，点 A2 的伴随点为 A3 ，点 A3 的伴随点为 A4 ，…，这样依次得到点 A1 ， A2 ， A3 ，…， An ，… .
若点 A1 的坐标为 (a ,b) ，对于任意的正整数 n ，点 An 均在 x 轴上方，则 a, b 应满足的条件为
.
（第 14 题） 三．解答题（本大题共 8 小题，共计 90 分） 19. （本小题共 12 分）
且⊙ C 与⊙ A
外切，与⊙ B 相交，则⊙ C 的半径在下列数字中可能是 (
)
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
10. 若多项式 x2 px 12 可以因式分解为 (x m)( x n) 的形式，且 p、m、 n 均为整数，则满足条件的整
数 p 共有（
）
A. 2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个
（第 15 题）
（ 1）计算：： (
1 )
3
(8
2)
1 (
cos 45 )2
2(1
)0
3
2
（第 17 题）
（2）若关于 x 的分式方程 3
m 0 无解，求 m 的值。
四川绵阳中学2019自主招生重点试题-数学
四川绵阳中学2019自主招生重点试题-数学注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一.选择题：〔本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上〕1、以下因式分解中，结果正确的选项是〔〕A.2322()x y y y x y -=- B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x --=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“二次函数2y ax bx c =++的图像如下图，试判断a b c ++与0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <，所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式表达的数学思想方法叫 做〔〕A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、实数x 满足22114x x x x ++-=，那么14x -的值是〔〕A.－2B.1C.－1或2D.－2或14、假设直线21y x =-与反比例函数ky x =的图像交于点(2,)P a ，那么反比例函数k y x =的图像还必过点〔〕 A.（－1，6）B.（1，－6）C.（－2，－3）D.（2，12）5、现规定一种新的运算：“×”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝〔〕 A.54 B.5 C.3D.96、一副三角板，如下图叠放在一起，那么AOB COD ∠+∠＝〔〕A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20％，2007年比2006年减少20％，那么2007年比2005年〔〕A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，那么角θ所对的弦长等于〔〕A.8B.10C.D.169、一支长为13CM 的金属筷子〔粗细忽略不计〕，放入一个长、宽、高分别是4CM 、3CM 、16CM 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进〔〕深的水才能完全淹没筷子。
四川绵阳中学2019自主招生数学试卷
四川绵阳中学2019自主招生数学试卷绵阳中学 自主招生考试数学真题卷第Ⅰ卷（填空题 共36分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)你一定能选对！ 1.23-的倒数是（ ）。
A.23+B.23+-C.423+ D.723+ 2.在标准状态下气体分子间的平均距离为m 0000000033.0，将0000000033.0用科学技术法应表示为（ ） A.8103.3-⨯ B.9103.3-⨯ C.91033-⨯ D.10103.3-⨯3.下列命题中，真命题是（ ）A.一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形4.若关于x 的一元二次方程032)1(2=+++-a ax x a 有实数根，则a 的取值范围是（ ） A.23≤a B.23≥a C.123≠≤a a 且 D.123≠≥a a 且 5.一个由若干相同的小正方形组成的几何体，其左视图和俯视图如图所示，则几何体需要的小正方体个数最多和最少分别是（ ）A.最多10个，最少8个B.最多8个，最少5个C.最多8个，最少6个D.最多15个，最少8个6.若关于x 的不等式组161221<⎪⎩⎪⎨⎧---≥x x a x 的解集中只含有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A.12-≤<-aB.12-<≤-aC.67-≤<-aD.67-<≤-a7.某跳远运动员备战里约2016夏季奥运会，对自己的训练效果进行测试，6次跳远成绩的平均数为m 8.7，方差为601，如果他再跳两次，成绩分别为m m 0.8,6.7，则该运动员这8次跳远成绩的方差将( ) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定8.已知二次函数)0(,)(2<+-=a k h x a y 图像经过)6,8()4,0(B A 、两点。
若80<<h ，h 的值在下列数字中可能为（ ）A.2B.3C.4D.5 9.如图，⊙A 、⊙B 的半径分别为12、，且8=AB ，若作⊙C 使得三圆的圆心在同一直线上，且⊙C 与⊙A 外切，与⊙B 相交，则⊙C 的半径在下列数字中可能是( ) A.5.2 B.3 C.5.3 D.410.若多项式122++px x 可以因式分解为))((n x m x ++的形式，且n m p 、、均为整数，则满足条件的整数p 共有（ ）A.个2B.个4C.个6D.个811.有甲、乙两个箱子，甲箱内有90颗球，分别标记号码90~1，号码为不重复的整数，乙箱内没有球.已知小李从甲箱内拿出45颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为30.若此时甲箱内有a 颗球的号码小于30，有b 颗球的号码大于30，则关于a 、b 正确的是( )A.8=aB.22=aC.22=bD.38=b12.如图正方形ABCD 中，以D 为圆心，DC 为半径作弧与以BC 为直径的⊙O 交于点P ，⊙O 交AC 于CP E ,的延长线交AB 于M ，延长AP 交⊙O 于N ，下列结论:①EC AE =；②MB AM =；③∠︒=45APM ；④PN CP =.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④第Ⅱ卷 （非选择题 共114分）二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分）13.从标有872221、、、的四张卡片中一次抽取2张，那么抽到的两张卡片上所标数字的积为无理数的概率是 。
2013年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷
2013年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）1．（4分）下列因式分解中，结果正确的是（）A．x2y﹣y3=y（x2﹣y2）B．x4﹣4=（x2+2）（x﹣）（x+）C．x2﹣x﹣1=x（x﹣1﹣） D．1﹣（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）2．（4分）“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断a+b+c与0的大小．”一同学是这样回答的：“由图象可知：当x=1时y＜0，所以a+b+c＜0．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．换元法B．配方法C．数形结合法D．分类讨论法3．（4分）已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或14．（4分）若直线y=2x﹣1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣2，﹣3）D．（2，12）5．（4分）现规定一种新的运算“*”：m*n=（m+n）m﹣n，那么*=（）A．B．5 C．3 D．96．（4分）一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠AOB+∠COD=（）A．180°B．150°C．160° D．170°7．（4分）某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（）A．不增不减B．增加4% C．减少4% D．减少2%8．（4分）一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且sinθ=，则角θ所对的弦长等于（）A．8 B．10 C．8 D．169．（4分）一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子．A．13cm B．4cm C．12cm D．cm10．（4分）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm11．（4分）一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（）A．B．C．D．12．（4分）由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（）A．7种 B．8种 C．56种D．28种二.填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分．将你所得答案填在答卷上）13．（4分）根据图中的抛物线可以判断：当x时，y随x的增大而减小；当x=时，y有最小值．14．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是．15．（4分）如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE•AC+BE•BD=．16．（4分）下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个…六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍根．17．（4分）在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（﹣2，5），（﹣3，﹣1），（1，﹣1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是．18．（4分）参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是元．三.解答题（共7个小题，满分78分，将解题过程写在答卷上）19．（10分）先化简，再求值：﹣÷+，其中x=﹣22++2（tan45°﹣cos30°）0．20．（10分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB．21．（10分）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？22．（10分）已知直线y=x+a与y轴的负半轴交于点A，直线y=﹣2x+8与x轴交于点B，与y轴交于点C，AO：CO=7：8（O是坐标原点），两条直线交于点P．（1）求a的值及点P的坐标；（2）求四边形AOBP的面积S．23．（12分）如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF 垂直于AB于点G，交BC于点H，DC=DH．（1）求证：DC是圆O的切线；（2）请你再添加一个条件，可使结论BH2=BG•BO成立，说明理由；（3）在满足以上所有的条件下，AB=10，EF=8．求sin∠A的值．24．（12分）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动．（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q 分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由；（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值．25．（14分）在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是b，a，且cotB=AB•cosA．（1）求证：b2=a；（2）若b=2，抛物线y=m（x﹣b）2+a与直线y=x+4交于点M（x1，y1）和点N（x2，y2），且△MON的面积为6（O是坐标原点）．求m的值；（3）若，抛物线y=n（x2+px+3q）与x轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．2013年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上）1．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）下列因式分解中，结果正确的是（）A．x2y﹣y3=y（x2﹣y2）B．x4﹣4=（x2+2）（x﹣）（x+）C．x2﹣x﹣1=x（x﹣1﹣） D．1﹣（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）【分析】A中，还可继续因式分解，原式=y（x+y）（x﹣y）；C中，第二个因式不是整式；D中，原式=（1+a﹣2）（1﹣a+2）=（a﹣1）（3﹣a）．【解答】解：A、还可以继续分解，故本选项错误；B、x4﹣4=（x2+2）（x﹣）（x+），正确；C、分解得到的式子不是整式，故本选项错误；D、应为1﹣（a﹣2）2=﹣（a﹣1）（a﹣3），故本选项错误．故选B．【点评】本题考查因式分解的定义，平方差公式法分解因式，因式分解一定要分解到每个多项式不能再分解为止；最后结果的因式必须是整式的积的形式．2．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断a+b+c与0的大小．”一同学是这样回答的：“由图象可知：当x=1时y＜0，所以a+b+c＜0．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．换元法B．配方法C．数形结合法D．分类讨论法【分析】根据数形结合法的定义可知．【解答】解：由解析式y=ax2+bx+c可推出，x=1时y=a+b+c；然后结合图象可以看出x=1时对应y的值小于0，所以可得a+b+c＜0．解决此题时将解析式与图象紧密结合，所以解决此题利用的数学思想方法叫做数形结合法．故选C．【点评】数形结合法是解决函数问题经常采用的一种方法，关键是要找出图象与函数解析式之间的联系．3．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）已知实数x满足x2++x﹣=4，则x ﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0解得x﹣=﹣2或1．故选D【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．4．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）若直线y=2x﹣1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣2，﹣3）D．（2，12）【分析】直线y=2x﹣1经过点P（2，a），代入解析式就得到a的值，进而求出反比例函数的解析式，再根据k=xy对各点进行逐一验证即可．【解答】解：∵直线y=2x﹣1经过点P（2，a），∴a=2×2﹣1=3，把这点代入解析式y=，解得k=6，则反比例函数的解析式是y=，四个选项中只有C：（﹣2）×（﹣3）=6．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．5．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）现规定一种新的运算“*”：m*n=（m+n）m﹣n，那么*=（）A．B．5 C．3 D．9【分析】由题意知，相当于m，相当于n，再代入（m+n）m﹣n计算．【解答】解：根据题意得，*=（+）2=9．故选D．【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．6．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠AOB+∠COD=（）A．180°B．150°C．160° D．170°【分析】利用角的和差关系，将∠AOB拆分为三个角的和，再利用互余关系求角．【解答】解：由已知，得∠AOC=90°，∠BOD=90°，∴∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD=∠AOC+∠BOD=180°．故选A．【点评】本题主要利用角的和差关系求角的度数．7．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（）A．不增不减B．增加4% C．减少4% D．减少2%【分析】设出2005年的住校人数后，表示出2007年的人数，再比较2007年比2005年的变化的量．【解答】解：根据题意可知，设2005年的住校人数是x人．所以2007年的人数是x（1+20%）（1﹣20%）=0.96x．∴x﹣0.96x=0.04x．即2007年比2005年减少4%．故选C．【点评】主要考查了有理数混合运算在实际问题的中运用．认真审题，准确的列出式子是解题的关键．8．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且sinθ=，则角θ所对的弦长等于（）A．8 B．10 C．8 D．16【分析】根据特殊角的三角函数值和等边三角形的性质解题．【解答】解：∵sinθ=，∴θ=60°．又∵θ为圆心角，其两边与它所对的弦的夹角相等，∴构成等边三角形，弦长等于半径为8．故选A．【点评】本题考查特殊角的三角函数值结合圆的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．9．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子．A．13cm B．4cm C．12cm D．cm【分析】依据题中条件构建直角三角形，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图：由题意可知FH=4cm、EF=3cm、CH=16cm．在Rt△EFH中，由勾股定理得EH===5cm，EL为筷子，即EL=13cm设HL=h，则在Rt△EHL中，HL===12cm．故选C．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（）A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm【分析】A翻滚到A2位置时共走过的路程是两段弧的弧长，第一段是以B为圆心，AB为半径，旋转的角度是90度，第二次是以点C1为圆心，A1C1为半径，旋转的角度是90度，所以根据弧长公式可得．【解答】解：根据题意得：=4πcm，故选D．【点评】本题的关键是找准各段弧的圆心和半径及圆心角的度数．11．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（）A．B．C．D．【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．【解答】解：通过分析题意可知，行走规律是：匀速走﹣﹣停﹣﹣匀速走，速度是前慢后快．所以图象是．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．12．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（）A．7种 B．8种 C．56种D．28种【分析】从绵阳要经过7个地方，所以要制作7种车票；从罗江要经过6个地方，所以制作6种车票；以此类推，则应分别制作5、4、3、2、1种车票；即可得出答案．【解答】解：共制作的车票数=7+6+5+4+3+2+1=28（种）．故选D．【点评】本题的关键是要找到由一地到另一地的车票的频数．二.填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分．将你所得答案填在答卷上）13．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）根据图中的抛物线可以判断：当x＜1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值．【分析】要确定抛物线的单调性首先要知道其对称轴，然后根据对称轴来确定x 的取值范围．【解答】解：根据图象可知对称轴为x=（﹣1+3）÷2=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值．故填空答案：＜1；=1．【点评】此题主要考查了函数的单调性与对称性．14．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）函数y=中，自变量x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x+2≥0；分母不等于0，可知：x2+x﹣2≠0，解（x﹣1）（x+2）≠0，即x≠1，x≠﹣2；则就可以求出自变量x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x2+x﹣2≠0，解得：x＞﹣2且x≠1．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．15．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）如图，在圆O中，直径AB=10，C、D 是上半圆上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE•AC+BE•BD=100．【分析】连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解．【解答】解：连接BC，AD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，根据相交弦定理，得AE•CE=DE•EB∴AE•AC+BE•BD=AC2﹣AC•CE+BD2﹣BD•DE=100﹣BC2+100﹣AD2﹣AC•CE﹣BD•DE=200﹣BE2+CE2﹣AE2+DE2﹣AC•CE﹣BD•DE=200+（DE+BE）（DE﹣BE）+（CE+AE）（CE﹣AE）﹣AC•CE﹣BD•DE=200+BD（DE﹣BE）+AC（CE﹣AE）﹣AC•CE﹣BD•DE=200﹣AE•AC﹣BE•BD，∴AE•AC+BE•BD=100．【点评】此题要熟练运用相交弦定理、勾股定理以及整式的变形整理．16．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个…六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍501根．【分析】平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形．【解答】解：根据题意分析可得：搭第1个图形需6根火柴；此后，每个图形都比前一个图形多用5根；那么摆100个六边形，需要火柴棍6+99×5=501根．故答案为：501．【点评】此题考查了分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．17．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（﹣2，5），（﹣3，﹣1），（1，﹣1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是（﹣6，5）．【分析】根据已知条件，由于（﹣3，﹣1），（1，﹣1）的纵坐标相等，则这两点所在的直线平行于x轴，根据平行四边形的对边平行且相等知，另一点的横坐标为2或﹣6，又由于另一点在第二象限，故可确定出该点坐标．【解答】解：∵（﹣3，﹣1），（1，﹣1）的纵坐标相等，则这两点所在的直线平行于x轴，∴其它两点所在的直线也应平行于x轴，∴另外一点的纵坐标为5，横坐标为﹣2+（1+3）=2，或者﹣2﹣（1+3）=﹣6，∵在顶点在第二象限，∴另外一个顶点的坐标是（﹣6，5）．故本题答案为：（﹣6，5）【点评】本题结合坐标与图形性质考查了平行四边形的性质，用到的知识点为：平行四边形的对边平行且相等．18．（4分）（2013•涪城区校级自主招生）参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是2687.5元．【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元．则赔偿率是80%．则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是（x ﹣1000）×0.8+300+350元．就可以列出方程，求出x的值．【解答】解：设此人的汽车修理费为x元．故500×0.6=300（1000﹣500）×0.7=350（3000﹣1000）×0.8=1600300+350+1600=2250，所以此人的汽车修理费在1000到3000之间．（x﹣1000）×0.8+300+350=2000解得：x=2687.5．【点评】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键．三.解答题（共7个小题，满分78分，将解题过程写在答卷上）19．（10分）（2014•乐清市校级自主招生）先化简，再求值：﹣÷+，其中x=﹣22++2（tan45°﹣cos30°）0．【分析】先把分式化简，再把x的值化简，最后代入求值．【解答】解：原式==．∵，∴原式=．【点评】考查了分式的混合运算以及实数的基本运算．20．（10分）（2013•涪城区校级自主招生）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB．【分析】要证明AE⊥BE，只要证明∠AEB是直角即可，当∠AEB=90°时，∠AEC+∠DEB=90°．又因为∠DBE+∠DEB=90°，那么要证明AE⊥EB，只要证明∠AEC=∠DBE即可．那么我们可通过构建全等三角形来实现．过E作EF∥BC交BD于F，∠DEF=∠DCB=45°．根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现∠ACE=∠BFE=90°+45°=135°，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了．∠AEC=∠DBE．【解答】证明：过E作EF∥BC交BD于F．∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=135°，∠DFE=∠DBC=45°，∴∠EFB=135°．又EF=BC，EF∥BC，AC=BC，∴EF=AC，CE=FB．∴△EFB≌△ACE．∴∠CEA=∠DBE．又∵∠DBE+∠DEB=90°，∴∠DEB+∠CEA=90°．故∠AEB=90°．∴AE⊥EB．【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段和角相等是解此类题的关键．21．（10分）（2013•涪城区校级自主招生）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？【分析】（1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积+计划建造新校舍面积=9000平方米，计划建造新校舍面积×90%+计划拆除旧校舍面积×（1+10%）=9000平方米．依等量关系列方程，再求解．（2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积．【解答】解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米．（2）计划资金y1=4500×80+4500×800=3960000元实用资金y2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950×80+4050×800=396000+3240000=3636000∴节余资金：3960000﹣3636000=324000∴可建绿化面积=平方米答：可绿化面积1620平方米．【点评】要分别区分出计划和实际所对应的工作面积，然后列出方程组．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．22．（10分）（2013•涪城区校级自主招生）已知直线y=x+a与y轴的负半轴交于点A，直线y=﹣2x+8与x轴交于点B，与y轴交于点C，AO：CO=7：8（O是坐标原点），两条直线交于点P．（1）求a的值及点P的坐标；（2）求四边形AOBP的面积S．【分析】（1）求出C点坐标，得到OC的长，根据AO：CO=7：8可以得到OA的长，根据一次函数的性质可知a=﹣7；根据函数图象的交点即为函数解析式组成的方程组的解，将两函数解析式组成方程组，可求得P点坐标．（2）将S四边形AOBP 转化为S梯形OBPD+S△ADP来解答．【解答】解：（1）因直线y=x+a与y轴负半轴交于点A，故a＜0，又由题知B（4，0），C（0，8），而AO：CO=7：8，故a=﹣7；由得即P（5，﹣2）．故：a=﹣7，点P的坐标为（5，﹣2）．（2）过P作PD⊥y轴于点D．依题知：OB=4，OD=2，PD=5，AD=5，S四边形AOBP=S梯形OBPD+S△ADP=（OB+PD）×OD+×AD×PD=×（4+5）×2+×5×5=．【点评】解答此题要抓住两个关键：（1）函数图象的交点即为函数解析式组成的方程组的解，将两函数解析式组成方程组，即可解出交点坐标；（2）将四边形的面积转化为梯形和三角形的面积来解．23．（12分）（2013•涪城区校级自主招生）如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF垂直于AB于点G，交BC于点H，DC=DH．（1）求证：DC是圆O的切线；（2）请你再添加一个条件，可使结论BH2=BG•BO成立，说明理由；（3）在满足以上所有的条件下，AB=10，EF=8．求sin∠A的值．【分析】（1）要求证：DC是圆O的切线，只要证明OC⊥PC即可．（2）要证明BH2=BG•BO成立，只要求证△BHG△BOH，只要添加条件：H为BC 的中点就可以．（3）AB与EF是两条相交的弦，根据相交弦定理得到AG•BG=EG2即（AB﹣BG）BE=16即BG2﹣10BG+16=0，就可以求出BG的长．进而求出BC，就可以求出sinA 的值．【解答】解：（1）连接OD、BC相交于M，∵∠ACB=90°，CO=AO，∴∠ACO=∠CAO，∠CAO+∠B=90°，∠B+∠BHG=90°．∴∠CAO=∠BHG．∵DC=DH，∴∠DCH=∠DHC．∴∠DCH=∠ACO．∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°．∴OC⊥PC．即DC为切线．（2）加条件：H为BC的中点，∴OH⊥HB．∴△BHG∽△BOH．∴．∴BH2=BD•BG．（3）∵AB=10，EF=8，∴EG=4．∴AG•BG=EG2=16．∴（AB﹣BG）BG=16．即BG2﹣10BG+16=0．∴BG=2或8（舍）．∵BH2=BG•BO=2×5=10，∴BH=．∴．∴sinA=．【点评】证明一条直线是圆的切线，只要证明直线经过半径的外端点，且垂直于这条半径就可以．证明线段的积相等的问题可以转化为三角形相似的问题．24．（12分）（2004•泉州）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA 做匀速运动．（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q 分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由；（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值．【分析】（1）易得△ABD是等边三角形，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，则AP，BF都可以求出，就可以判断N，F的位置，根据直角三角形的性质，判断△AMN的形状；（2）根据△BEF与△AMN相似得到△BEF为直角三角形，就可以求出S Q的长，已知时间，就可以求出速度．【解答】解：（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，∴△ABD为等边三角形，故BD=12，又∵V P=2cm/s∴S P=V P t=2×12=24（cm），∴P点到达D点，即M与D重合v Q=2.5cm/s S Q=V Q t=2.5×12=30（cm），∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm），∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形；（2）V P=2m/s t=3s∴S P=6cm，∴E为BD的中点，又∵△BEF与△AMN相似，∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，①Q到达F1处：S Q=BP﹣BF1==3（cm），故V Q===1（cm/秒）；②Q到达F2处：S Q=BP=9，故V Q===3（cm/秒）；③Q到达F3处：S Q=6+2BP=18，故V Q===6（cm/秒）．【点评】本题是图形与函数相结合的问题，正确根据条件得出方程是解题关键．25．（14分）（2013•涪城区校级自主招生）在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是b，a，且cotB=AB•cosA．（1）求证：b2=a；（2）若b=2，抛物线y=m（x﹣b）2+a与直线y=x+4交于点M（x1，y1）和点N （x2，y2），且△MON的面积为6（O是坐标原点）．求m的值；（3）若，抛物线y=n（x2+px+3q）与x轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．【分析】（1）根据锐角三角函数的定义把三角函数值化成对应边的比即可．（2）根据（1）中所求a、b的值代入二次函数的解析式，解关于一次函数与二次函数的方程组，求出m的取值范围，过O作OD⊥MN于D，由直线的解析式求出直线与两坐标轴的交点，根据三角形的面积公式可求出MN的值，找出两交点横纵坐标之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出m的值．（3）由（1）中所求a、b的值代入关系式，可求出n的值，再根据p、q的关系可把一个未知数当作已知表示出另一个未知数，代入二次函数的关系式，根据已知条件判断出未知数的符号，再根据n的值试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴．【解答】证明：（1）∵cosB=，cosA=，∵cotB=AB•cotB=，cosA=，∵cotB=AB•cosA，∴=AB•，∴a=b2（2）∵b=2且a=b2故a=4∴y=m（x﹣2）2+4由，得mx2﹣（4m+1）x+4m=0①要使抛物线与直线有交点，则方程①中△＞0得m＞﹣过O作OD⊥MN于D，设E、F为直线y=x+4与坐标轴的交点，则E（﹣4，0），F（0，4）∴DO=2又∵S=•OD•MN=6，△MON∴MN==3过M、N分别作x轴、y轴的平行线交于点P则|MP|=|x2﹣x1|，NP=|y2﹣y1|，又∵y2=x2+4，y1=x1+4，即|NP|=|x2﹣x1|故|MN|=|x2﹣x1|，∴|x2﹣x1|=3，即（x2﹣x1）2=9由方程①得∴（）2﹣4×4=9得m=1或m=﹣；（3）∵n2=且b2=a∴n2=4⇒n=±2又p﹣q﹣3=0，即p=q+3，即y=n[x2+（q+3）x+3q]=n（x+3）（x+q）∵抛物线与x轴的两个交点中有一个在原点右侧，故q＜0而抛物线与y轴交点为（0，3nq）∴当n=2时，3nq＜0，交y轴于负半轴当n=﹣2时，3nq＞0，交y轴于正半轴．【点评】此类题目很复杂，一般作为中考压轴题，解答此类题目的关键是熟知一次函数，二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程根与系数的关系及坐标系内各象限横纵坐标的特点，需同学们熟练掌握．参与本试卷答题和审题的老师有：lanchong；心若在；HJJ；天马行空；星期八；开心；ZJX；zhjh；郝老师；蓝月梦；zhangCF；算术；CJX；lanyan；haoyujun；hbxglhl；bjy；zzz；kuaile；自由人；jinlaoshi；xiawei；csiya；xiu；lf2﹣9；zxw；MMCH；117173；ln_86；lhz6918（排名不分先后）菁优网2017年7月4日。
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1 四川省绵阳市绵阳中学2013年自主招生数学试题 一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A.2322()xyyyxy B.424(2)(2)(2)xxxx
C.211(1)xxxxx D.21(2)(1)(3)aaa 2、“已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，试判断abc与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x时0y， 所以0abc.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ） A.换元法 B.配方法 C.数形结合法 D.分类讨论法
3、已知实数x满足22114xxxx，则1x
x-的值是（ ）
A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1 4、若直线21yx与反比例函数kyx的图像交于点(2,)Pa，则反比例函数kyx的图像还必过点（ ） A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12)
5、现规定一种新的运算：“*”：*()mnmnmn，那么51*22＝（ ）
A.54 B.5 C.3 D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOBCOD＝（ ） A.180° B.150° C.160° D.170° 7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ） A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％
8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且32，则角θ所对的弦长等于（ ）
A.8 B.10 C.82 D.16 9、一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
A.13cm B.410cm C.12cm D.153cm 2
10、如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为12AAA，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21AC与桌面所成的角恰好等于BAC，则A
翻滚到2A位置时共走过的路程为（ ） A.82cm B.8cm C.229cm D. 4cm 11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车行驶路程S(千米)关于时间t(小时)的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图像是（ ）
A B C D 12、由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都.那么要为这次列车制作的车票一共有（ ） A.7种 B.8种 C.56种 D.28种 二. 填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上） 13、根据图中的抛物线可以判断： 当x________时，y随x的增大而减小； 当x________时，y有最小值。
14、函数222xyxx中，自变量x的取值范围是__________.
15、如图，在圆O中，直径10ABCD，，是上半圆»AB上的两个动 点。弦AC与BD交于点E，则··AEACBEBD＝____________. 16、下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个……六边形，那么摆100 个六边形，需要火柴棍______根。
17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1）， （1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是_______________. 3
18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表。某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是________元. 汽车修理费x元 赔偿率 0x500 60％ 500x1000 70％ 1000x3000 80％ …… …… 三.解答题（共7个小题，满分78分，将解题过程写在答卷上）
19、（10分）先化简，再求值：32221052422xxxxxxxx，
其中20122(tan45cos30)21x.
20、（10分）在ABC中，190,2CACBC.以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB.
21、(10分)绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍。拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90％而拆除旧校舍则超过了计划的10％，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。 （1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？ （2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 4
22、（10分）已知直线yxa与y轴的负半轴交于点A，直线28yx与x轴交于点B，与y
轴交于点C，:7:8AOCO（O是坐标原点），两条直线交于点P. （1）求a的值及点P的坐标； （2）求四边形AOBP的面积S.
23、（12分）如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF垂直于AB于点G， 交BC于点,.HDCDH （1）求证：DC是圆O的切线； （2）请你再添加一个条件，可使结论2·BHBGBO成立,说明理由。 （3）在满足以上所有的条件下，10,8.ABEF求sinA的值。
24、（12分）如图，菱形ABCD的边长为12cm，A＝60，点P从点A出发沿线路ABBD做 匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DCCBBA做匀速运动. （1）已知点,PQ运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，PQ、分别到达MN、
两点，试判断AMN的形状，并说明理由； （2）如果（1）中的点PQ、有分别从MN、同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，PQ、分别到达EF、两点，若BEF与题（1）中的AMN相似，试求v的值.
25、（14分）在ABC中，90,,CACBC的长分别是,ba，且cotcosBABA. （1）求证：2ba；
（2）若b＝2，抛物线2()ymxba与直线4yx交于点11(,)Mxy和点22(,)Nxy，且 MON的面积为6（O是坐标原点）.求m的值； （3）若224,30anpqb，抛物线2(3)ynxpxq与x轴的两个交点中，一个交点在 原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由. 5
综合素质测试数学科目参考答案 一.选择题（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.D 11.C 12.D 二.填空题（共6个小题，每个小题4分，共24分。将你所得答案填在答卷上） 13. <1 、 =1 ； 14. x>-2且x1 ； 15. 100 ； 16. 501 ； 17.（-6，5） ； 18. 2687.25 三.解答题（共7个大题，共78分） 19、（10分）
（1）化简原式＝2102(1)2(2)(2)5(2)(1)xxxxxxxxx 22(2)(1)1222xxxxxxxx
求值：421221xQ
原式122x
20、（10分） 过E作//EFBC交BD于F 135ACEACBBCEQ 45135DFEDBCEFB………………①
又11//22EFBCACBC…………………………② EFAC……………………………………………③
CEFB
90CEADBEEFBACEDBEDEBQ又
90DEBCEA 故90AEB AEEB 21、（10分） 6
解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则 900045001.10.990004500xyxxyy
答：原计划拆建各4500平方米。 （2）计划资金145008045008003960000y元 实用资金21.14500800.945008004950804050800y 39600032400003636000 节余资金：3960000-3636000＝324000
可建绿化面积＝3240001620200平方米
答：可绿化面积1620平方米 22、（10分） 解：（1）因直线yxa与y轴负半轴交于点A，故0a 又由题知(4,0)(0,8)BC 而:7:8AOCO 故7a
由728yxyx得52xy即(5,2)P 故：7a,点P的坐标为（5，-2） （2）过P作PDy轴于点D，依题知： 4255OBODPDAD 111143()(45)25522222ADPOBPDSSSOBPDODADPD四边形AOBP梯形
23、（12分） 解：（1）连接ODOC、相交于M，由题可知90ACB ,90COAOACOCAOCAOB
90BBHGCAOBHGDCDHQ又 DCHDHCDCHACO 90DCHHCOACOOCHOCPC，即DC为切线