认识三角形能力培优训练

认识三角形
专题一与三角形有关的规律探究题
1.观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有个三角形，第二个
图中有个三角形，第三个图中有个三角形，如此下去，第五个图形时，有个三角形；第十个图形时，有个三角形.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕
点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于（）
A．2011＋6713B．2012＋6713C．2013＋6713D．2014＋6713
专题二火柴棒搭建三角形问题
3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有
3个三角形吗请出画示意图.
B
C
③
①②
12
l
3…
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗可以搭几种三角形
12根火柴呢
专题题三利用角平分线探究规律
5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ．
⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数．
⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系它们是不是一定有这种关系请给出
说明．
课时笔记
【知识要点】
1. 三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2. 三角形的表示法
三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC.
3. 三角形的基本要素
∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a.
4. 三角形按内角的大小分类
5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边.
6. 三角形中的线段
（1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
（2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线.
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
【温馨提示】
1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关
系，可以确定第三边的取值范围.
2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积．
3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
【方法技巧】
1. 判断三条线段能否组成三角形：只需找出最长线段，与其他两条线段之和比较.当最长线段大于其他两条线段的和时，不能组成三角形；当最长线段比其他两线段的和小时，能组成三角形.
2. 已知三角形中的两边长a ，b ，求第三边长c 的范围为||a b x a b -<<+.
3. 在运用三角形的角平分线求角度时，既要运用其定义，同时也要注意与三角形的角度有关的其他知识相结合．
参考答案
1. 1；5；9；13；17；37 【解析】 第一个图中有1个三角形；第二个图中有4+1=5个三角形；第三个图中有4+4+1=1+2×4=9个三角形；第四个图中有4+4+4+1=1+3×4=13；第五个图形时，有1+4×4=17个三角形；第十个图形时，有1+4×9=37个三角形.
2. B 【解析】 根据题意，△ABC 每旋转3次，在直线l 终点到A 的距离就增加3＋3，因为2012÷3＝670……2，所以AP 2012＝670（3＋3）＋2＋3＝2012＋6713．故选B ．
3. 解：我能拿掉其中的3根，使图中只有3个三角形.如图：
4. 解：5根火柴能搭成一个三角形，可以搭一种三角形，它的三边的火柴根数分别是2,2,1. 12根火柴能搭成三角形的三边的火柴根数分别是2,5,5；3,4,5；4,4,4.
5. 解： ⑴∵∠ABC ＝60°，∠ACB ＝40°，∴∠A ＝80°．
∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，
∴∠DBC ＝30°．
又∵∠ACB ＝40°，
∴∠ACE ＝140°．
又∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝70°．
∴∠D＝40°
⑵∠A=2∠D．理由如下：
∵∠A＝180°－∠ABC－∠ACB，∠ACE=180°－∠ACB，
又∵∠DEC=∠DBC＋∠D=1
2
∠ABC＋∠D，
∠DEC=1
2
∠ACE=
1
2
（180°－∠ACB）=90°－
1
2
∠ACB．
∴1
2
∠ABC＋∠D=90°－
1
2
∠ACB．
即1
2
∠ABC＋∠D=90°－
1
2
∠ACB，∠D =
1
2
(180°－∠ABC－∠ACB)=
1
2
∠A．。