小学平面几何知识与习题
六年级数学下册学案带单元检测题6整理和复习——图形与几何(下)全国通用版同步学案练习题
小学数学 6.整理和复习——图形与几何（下）图形的运动怎么画出下图中三角形ABC向右平移6格，再绕C点顺时针旋转90º的图形？先画出平移后的图形，再画出旋转后的图形。
下图红色三角形即为三角形ABC向右平移6格，再绕C点顺时针旋转90º的图形。
1. 平移和旋转平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的。
图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小。
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
注意：旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到。
利用图形的平移和旋转可以设计出美丽的图案。
2. 轴对称图形如果一个图形对折后，折痕两边能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。
对称轴一般画成虚线。
方法技巧：轴对称图形的画法：找到关键的几个点，再与轴垂直地在另一边同样距离处找到相对的点，最后将所有相对的点依次连接。
3. 图形的放大与缩小可以把一个图形的各边按一定的比例进行放大或缩小，从而得到该图形的放大图或缩小图。
图形按一定比例放大或缩小后，图形的大小改变，形状不变。
画一个图形的放大图或缩小图的方法：①按给定的比计算出放大图或缩小图相应的各边的长度；②按新边长画出原图形的放大图或缩小图。
例题1请画出下面轴对称图形的另一半。
解答过程：技巧点拨：画轴对称图形的关键点是把对称点画正确。
例题2先观察下图，再填空。
（1）图1绕点“O”逆时针旋转90°到达图（）的位置；（2）图1绕点“O”顺时针旋转（）°到达图4的位置；（3）图2绕点“O”顺时针旋转90°到达图（）的位置；（4）图4绕点“O”逆时针旋转90°到达图（）的位置。
图形的初步认识知识点及线段习题
⎧⎨⎩⎧⎨⎩图形的初步认识一、本章的知识构造图一、立体图形与平面图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
1、几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等。
主〔正〕视图---------从正面看2、几何体的三视图侧〔左、右〕视图-----从左〔右〕边看俯视图---------------从上面看〔1〕会判断简单物体〔直棱柱、圆柱、圆锥、球〕的三视图。
〔2〕能根据三视图描述根本几何体或实物原型。
3、立体图形的平面展开图〔1〕同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。
〔2〕了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
4、点、线、面、体〔1〕几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最根本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
〔2〕点动成线，线动成面，面动成体。
例1 〔1〕如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体。
〔2〕如图2所示，写出图中各立体图形的名称。
图1图2解：〔1〕①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似。
〔2〕①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。
例2 如图3所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。
图3解：〔1〕左视图，〔2〕俯视图，〔3〕正视图练习1．以下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，那么从正面看它的视图为〔〕3．如图，下面三个正方体的六个面按一样规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、白色、红色的对面分别是〔〕A．蓝、绿、黑 B．绿、蓝、黑 C．绿、黑、蓝 D ．蓝、黑、绿4．假设如下平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求x＋y＋z的值。
5．一个物体从不同方向看的视图如下，画出该物体的立体图形。
小学数学青岛版(2014秋)一年级下册第十单元 儿童乐园——总复习图形与几何-章节测试习题
章节测试题1.【答题】数一数，缺了______块砖.【答案】10【分析】此题考查的是长方形的认识.利用补全和有序计数的方法数出缺了几块砖，解答时可以从上往下数，也可以从下往上数.【解答】第一层缺了2块，第二层缺了3块，第三层缺了3块，最下面一层缺了2块，这样一共缺了2+3+3+2=10（块）.故此题的答案是10.2.【答题】下图有______个三角形.【答案】3的个数.【解答】图中，基本的三角形有2个，和.有两个三角形组成的复合三角形有1个，，这样一共有2+1=3（个）三角形.故此题的答案是3.3.【答题】下图有______个正方形.【答案】5【分析】此题考查的是正方形的认识.利用有序思考和分类计数的方法来判断图形的个数.【解答】图中4个角各有一个正方形，中间有1个正方形，这样一共有5个正方形.故此题的答案是5.4.【答题】下图一共有______个长方形.【答案】9的个数.【解答】最小的长方形有4个；2个小长方形组成的长方形有4个；4个小长方形组成的大长方形有1个.这样一共有4+4+1=9（个）长方形.故此题的答案是9.5.【答题】我的试卷是______形.【答案】长方【分析】此题考查的是长方形的认识.【解答】试卷符合长方形的特征.故此题的答案是长方.6.【答题】下图中有______个三角形，______个正方形，______个长方形，______个圆，______个平行四边形.【答案】6,3,5,7,2【分析】此题考查的是图形的认识.【解答】如下图，蓝色的是三角形，有6个；棕色的是正方形，有3个；红色的是长方形，有4个，从左边数第2个长方形和上面的正方形也可以组成一个长方形，所以长方形总共有5个；黄色的是圆，有7个；紫色的是平行四边形，有2个.故此题的答案是6，3，5，7，2.7.【答题】用同样的拼成一个，需要______个.【答案】4【分析】此题考查的是图形的认识.长方形中有几个三角形就需要几个.【解答】由可知，中有4个，所以用同样的拼成一个，需要4个.8.【答题】下面的图形中，可以拼成的是______，______，______.（填序号）【答案】1,3,5【分析】此题考查的是认识平面图形.【解答】如图，将进行划分可知，可以拼成的是、、.故此题答案为1，3，5.9.【综合题文】看图填空.10.【答题】下图中拼成的图形没有用到（）.A. B. C. D.【答案】A【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】如下图，蓝色的是正方形，红色的是三角形，黄色的是圆，所以没有用到平行四边形.选A.11.【答题】把一张正方形的纸对折两次，不能折出的是（）.A.长方形B.正方形C.三角形D.圆【答案】D【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】把一张正方形的纸对折两次，不可能折出曲线，所以不能折出的是圆.选D.12.【答题】拼成下图没有用到的图形是（）.A. B.C. D.【答案】B【分析】此题考查的是平面图形的认识.观察图形，在图形中找出相似图形，根据选项推出没有的图形.【解答】如下图，蓝色的是三角形，红色的是正方形，黄色的是平行四边形.所以没有用到的图形是长方形.选B.13.【答题】有一种四巧板由4块拼板组成，各种拼板的形状如下图.下面图形（）由四巧板拼成.A.可以B.不可以【答案】A【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】对照四巧板的各种拼板，将标上编号，所以可以由拼成.选A.14.【答题】下面图形中（）和其他不同类.A. B.C. D.【答案】D【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】、、是平面图形，是立体图形.选D.15.【答题】下图是由正方形和长方形拼成的.（）【答案】×【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】正方形和三角形可以拼成的.故此题是错误的.16.【答题】和都是长方形.（）【答案】×【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】是平行四边形，不是长方形.是长方形.故此题是错误的.17.【答题】一副里面有7种不同的图形.（）【答案】×【分析】此题考查的是七巧板.【解答】一副里面有三角形、正方形、平行四边形，共3种不同的图形.故此题是错误的.18.【答题】左图是由6个红色部分的小三角形组成的.（）【答案】✓【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】由图可知，图案中间是1个，1个可以由2个相同的组成.四周还有4个，一共是6个.故此题是正确的.19.【答题】用七巧板可以拼出下面的图形.（）【答案】×【分析】此题考查的是七巧板.【解答】如图，七巧板中没有形如的三角形，所以不能拼成题目中的图形.故此题是错误的.。
学而思数学六年级 第2讲几何一-直线形面积练习题---答案
名校真题 测试卷2 （几何篇一）测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________1、在直角边为3与4的直角三角形各边上向外作正方形，三个正方形顶点连接成如图所示的六边形ABCDEF ，则这个六边形的面积是 . （07年西城实验考题）FEDCB A2、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. （07年清华附中入学测试题）3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是______米.（06年实验中学入学测试题）4、如图，边长为l 正方形ABCD 中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG 的面积．（07年人大附中考题）GFED CBA5、如图，长方形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，E 是BA 延长线上一点，CE 交AD 于F，△AEF 比△CDF 的面积大40，求AE 的长． (07年四中分班考试题)F ED CB A附答案】 图：总面积=三个正方形+中间三角形+CD 边三角形+AB 边=32+42+52【 1. 【解】如三角形+EF 边三角形+12×3×4+12×3×4+12×3×4+12×3×4=742. 【解】根据定理：ABC BED ΔΔ=3211××=61，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42.. 【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个为. 【解】连接EF．因为BE=2EC，CF=FD，所以S △DEF =(C3面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“弦形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1． (请注意)，先外补4个同样的小直角三角形，得到一个大正方形，其边长两直角边的和，根据两直角边的和是3(通过补完后大图的面积求得) 又根据两直角边的差是1(根据最中间的小正方形的面积求得) 所以，根据和差关系，求出长边为2, 短边为1. 421×31×21)S 正方形ABCD =121S GF ED CBA 正方形ABCD ．因为S △AED =21S 正方形ABCD ，根据燕尾定理，AG:GF=21:121=6，所以S △AGE =6S △GEF =76S △AEF ．因为S △ABE =31S 正方形ABCD ，S △ADF =41S 正方形ABCD ， S△CEF=121S 正方形ABCD ，所以S △AEF =1-31-41-121=31，所以S △AGE =76×31=72，三角形AEG 的面积是72．. 【解】（法一）△AEF 比△CDF 的面积大40，所以三角形AED 的面积比三角形DEC 大40，而两个三面积等于长方形ABCD 面积的一半，所以△CDE 的面积为40，三角形△AED 为40+40=80，5角形的高是一样的都等于10，所以三角形AED 的底比三角形DEC 的底长40×2÷10=8，即AE 的长为8+8=16（法二）△CDE 的而△AED 的高已知为10，所以△AED 的底AE 长16.第二讲 小升初专项训练 几何篇（一）一、小升初考试热点及命题方向随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更题）．尤其重、2008年考点预测2008年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形、主要常用数学方法运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的．几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合．其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习． 从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识．二面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解．三 1. 等积变换：在三角形中的=12×底×高，面积之比等于对应高的比 和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨2. 用燕尾定理，求线段比：于同一点O, 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因此我们有 【结论1】等底的三角形【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比.运A OE DF C B 在三角形ABC 中，AD,BE,CF 相交那么S △ABO :S △ACO =BD:DC因为△ABO 和△ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用．3.平行线分线段定理（即利用求面积来间接求出线段的比例关系） 同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．体现在右图中， 就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC 的高：三角形ADE 的高．这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．EDCB ACBEDA在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下4. 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系角形的面积，就相对比较简单了，在解题过程中5. 差不变原理的运用面积，可以给两个图形都加上一个相同的图形，化不规则为规则，然后再作比6. 其他方法类型中几何题目的考点以面积为主，但不排除出现以线段和角度为考点的题目，只、典型例题解析三角形中的运用 例1】（★★）如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面图），往往不易看出相似关系．如（右下图）AB 平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC 与三角形DEC 也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式． 比较两个四边形的面积的大小很难，但比较三将难以处理的四边形化作三角形来处理，把三角形作为“中间桥梁”建立两组图形之间的数量关系， 题目处理起来就容易了. 比较不规则几何图形较，数量关系就清晰了，这种方法的实质是算术中的差不变原理. 虽然小升初考试要在解题过程中，将难以处理的量通过几何变化，化成我们熟悉的数量关系.题目即可迎刃而解.四【典型例题解析】1 等积变化在【积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？ABCDO【解】：S △ADO =5,S △DOC =4根据结论2，△ADO 与△DOC 同高所以面积比等于底的比,即AO:OC=5:4同理S △AOB :S △BOC =AO:OC=5:4,因为S △AOB =15所以S △BOC =12．【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结拓展】S △AOD ×S △BOC =S △COD ×S △AOB ，也适用于任意四边形． 练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题．事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下．【【方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？（空白部分为陆地，阴影部分为水面．）例2】（★★★）如图，ABCD 是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC 折叠过去成右图，AE 恰好AD 是的【41，三角形CDE 面积是27，三角形AHE 面积是3，三角形BCG 面积是16，问三角形DGH（阴影）的面积是多少？27EDCBA B解】S ACE =27÷3=9,S ABCE =27+9+9=45,S 阴=27-（45-3-16）=1． 2 燕尾定理在三角形中的运用 例（★★★）在△ABC 中【【3】DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? DCE OBA【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法．本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC．【解】连接OCDCAE OB因为AE:EC=1:3 (条件)，所以AOECOES S ΔΔ=1:3 若设AOE S x Δ=,则3COE S x Δ=，所以, 根据燕尾定理4AOC S x Δ=2:1AOB AOC S BD S DC ΔΔ==，所以8AOB S x Δ=，所以88:1AOB AOE S BO xOE S xΔΔ===．【例4】（★★★）三角形ABC 中，C 是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ABD ABD C C【解】因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，的面积为3×2÷2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现ABC ΔACN Δ：ANB Δ=CD：BD=2：1；同理CBN Δ：ACN Δ=BM：AM=1：1；设面积为1份，则AMN ΔMNB Δ的面积也是1份，所以ANB Δ得面积就是1+1=2份，而：1，所以ACN Δ：ANB Δ=CD：BD=2ACN Δ得面积就是4份：；CBN ΔACN Δ=BM：AM=1：1，所以CBN 也是Δ4份，这样ABC Δ的面积总共分成4+4+1+1=103×份，所以阴影面积为1=10310．【例5】（★★★）如图，三角形A 的面积形CD BC 是16，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，那四边EF 的面积是多少？【解】连接DF．因为E 是BD 的中点，所以S △FBE =S △FDE ，S △ABE =S △ADE ，所以S △ABF =S △ADF ．因为D 是AC 中点，所以S △ADF =S △CDF ，所以S △ABF =S △ADF =S △CDF ．因为三角形ABC 的面积是16，所以S △CDF =316，S △ABD =8，S △AED =4，所以S △FDE =316-4=34，所以四边形CDEF 的面积是16+4=20【例6】如图，平行四边形ABCD【解】S △BCD =1+4+4+6=16,S △OCD 4和6.求：(1)求△OCF =21S 以S △OCF =8-4=4，所以，=ΔΔCEG OEG S S 所而S △OCE = S △OCB - S △OBE =8-6=2，所以，21EG CG CE ====63GF GO EB 所以S △GCE =322=×.31在三角形中的运用正方形ABCD ，M 为AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积．3平行线分线段定理【例7】（★★★）如右图，单位【解1】（平行线分线段定理）两块阴影部分的面积相等，AM GM BC GB ==21,所以GM =32，而三角形GB ABG和三角形AMB 同底，所以S △BAG =32S △ABM =32×1×12=61×21，又因为三角形BAM 和三角形CAM 同底等高，所以阴影面积为61×2=31.【解2】(燕尾定理运用)四边形AMCB 的面积为（0.5+1）×1÷2=43，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道：：： =A ：BC ：AM×BC：AM×BC=AMG ΔBCG ΔBAG ΔCMG ΔM 22212⎛⎞⎜⎟⎝⎠：1：221：21=1：4：2：份，所以面积为2；所以四边形AMCB 的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占43×224122++++=314. 【解3】（等积变化运用）如右图，连结DG，有：S △ACM =S △BAM （同底等高）， AC 又S △AGM =S △GDM （等底同高）又S △BAG =S △ADG （△BAG 与△ADG 关于对称） 因此，11AGM D S S ΔΔ==22AG ABG S Δ 2AGB ABM S S ΔΔ=3 又1111222ABM S AM AB Δ=⋅⋅=⋅⋅=14所以，2211AGB ABM S S ΔΔ==×=所以，3346123阴影AGB S S Δ=×=.是平行四边形，面积为72平方厘米，BC 的中点．则积为多少平方厘米？【例8】（★★★★）如图，ABCD E，F 分别为边AB，图形中阴影部分的面【解1】由AE:CD=1：2，CF:AD=1:2，得到对角线被DE 和DF 分为三等分. 以得到空白部分是DEBF 面积的2/3．空白部分面积为72÷2÷3×2=24平方厘米72-24=48平方厘米．理”的运用.连接BD,OE,OF 这样我们可以发现S1的面积是整个四边形的可【解2】出现梯形时可以考虑一下”燕尾定14，即14S2:S4=份×72=18（平方厘米）,在梯形AEOD 中,AD=2×OE,这样我们运用”燕尾定理”得:S5:S3:1:4:2:2,把面积分成9份,求出阴影面积占5份,同理可以求出梯形DCFO 中阴影也占5,所以阴影面积=(72-18) ×59=30,总阴影面积为30+18=48（平方厘米）.4利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例9】（★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它DE 等于多少厘米？的宽GF EHD C BA G【解】：连结AG，自A 作FECBAH 垂直于DG 于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）. ∴S △AGD =4×4÷2=8，又DG=5， ∴S △AGD =AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米）， ∴DE=3.2（厘米）.5 差不变原理的运用【例10】（★★★）左下图所示的DA ABCD 的边BC 长10cm，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2，求CF 的长． 两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10,两部分分别加上四边形BCFG，这样四边形ABCD三角形BEC 的面积大10cm2CE【解】：的面积比S △B =12底是10cm，所以高是5cm． ×10×8=40 所以四边形ABCD 的面积是50cm 2．6 其他常考题型 【例11】（★★）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？OEOEDCBADB AC：连接AB（见右图），AC 交BE 于点O．因为∠AOB=∠COD，所以∠OAB+∠OBA=∠OCE+∠OEC．由此角星五个顶角之和等于三角形ABD 的三个内角之和，是180度． 【课外知识】春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战．父亲已做了将军，儿子还只是马前卒．又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭．父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来．”那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾．一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作．儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙．果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡．当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟．骤然间他惊呆了．一拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军．”托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上……己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都【解】推知，五只断箭，箭囊里装着一只折断的箭．我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了．结果不言自明，儿子惨死于乱军之中．把胜败寄希望寄托温馨提示：自只能是自己．练习题在三角形ABC 的各边上，分别取AD、BE、CF 各等于AB、BC、CA 长的三分之一，如果三角形DEF 的积为2平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少？1、面答案：6平方厘米．2、在图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交F＝CE，BG＝DE，于点E，且A 当四边形ABCD 的面积为25平方厘米时，三角形EFG的面积是多少？答案：25平方厘米．如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC3、的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．E F GB HCD A EB C来源：02年小学数学奥林匹克试题 使BK=CD． 三角形EHK 与三角形DHC 成比例，DC：=2：3，所以DH：HK=2：3，由于三角形DEK 的面积=90平方厘米，所以EHK 的面积=90÷【解】：延长EB 到K，EK 3三角形5形EHK 的面积-三角形=54平方厘米，所以四边形EBFH 的面积=三角BKF 的面积=24平方厘米．同理，EB：DC=1：2，所以BG：GD=1：2，所以三角形EBG 的面积=13×三角形EBD 的面积=10平方厘米，所以，四边形BHGF 的面积是24-10=14平方厘米.4、直线CF 与平行四边形ABCD 的AB 边相交于E 点，如果三角形BEF 的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？答案：6平方厘米．5、（★★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEF 宽DE 等于多少厘米？G 的长DG 为5厘米，求它的G F E HG F ED A DCB A B C【解】：连结AG，自A 作AH 垂直于DG 于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）.∴S △AGD =4×4÷2=8（平方厘米），又DG=5（厘米）， ∴S △AGD =AH×DG÷2，米），∴DE=AH=3.2（厘米）．∴AH=8×2÷5=3.2（厘。
利用解析几何求解问题的练习题
利用解析几何求解问题的练习题一、平面几何解析在解析几何中，平面几何是其中一项重要内容。
平面上的点可以用坐标表示，通过运用解析几何的知识，可以解决一些与平面相关的问题。
下面将给出一些实践练习题，通过解析几何的方法，来求解这些问题。
1. 在平面上给定三个点，A(1, 2)，B(3, -1)，C(5, 4)，求线段AB和AC的长度。
解析：根据两点间距离公式，线段AB的长度为√[(3-1)²+((-1)-2)²]，即√(2²+(-3)²)=√(4+9)=√13。
线段AC的长度为√[(5-1)²+(4-2)²]，即√(16+4)=√20=2√5。
2. 在平面上给定三个点，D(1, 1)，E(4, 5)，F(6, -2)，判断三个点是否共线。
解析：根据向量叉积的性质，若向量DE和向量DF的叉积等于0，则说明三个点共线。
计算向量DE的坐标表示为(4-1, 5-1)=(3, 4)，向量DF的坐标表示为(6-4, -2-5)=(2, -7)。
计算向量叉积：(3)(-7)-(4)(2)=-21-8=-29，不等于0，因此这三个点不共线。
3. 在平面直角坐标系中，给定圆的圆心坐标为O(2, -1)，半径为3，求圆上一点P的坐标，使得向量OP与x轴的夹角为45°。
解析：根据题意，向量OP与x轴的夹角为45°，则向量OP的斜率为tan(45°)=1。
由向量OP的斜率可以得出设定点P的坐标为P(x, y)，根据直角三角形的性质得出向量OP的长度为√((x-2)²+(y+1)²)=3。
由此可以构建方程：√((x-2)²+(y+1)²)=3、(y+1)/(x-2)=1。
解方程组可以得出x=2+√2，y=-1+√2。
二、立体几何解析除了平面几何，解析几何也涉及到立体几何的内容。
通过解析几何的方法，可以解决与立体相关的问题。
小学奥数习题版三年级几何巧求面积教师版
知识要点简单求面积【例 1】 4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个面积是100平方厘米的大正方形，已知小正方形的面积是36平方厘米，问长方形的长和宽各是多少厘米？【分析】 1001010=⨯，3666=⨯，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为6厘米，长方形的宽为：(106)22-÷=（厘米），长为：628+=（厘米）【例 2】 如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米.把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？我们已经学会了计算正方形、长方形的周长和面积，运用这些基础的知识，可以解决一些较复杂的面积计算.由长方形、正方形引出的问题形式多样，要解决这些问题，关键要能够合理地切拼，要做到这一点，就需要我们开动脑筋，细心观察，掌握图形特点，找出分割与切拼的方法，达到解决问题的目的.1. 掌握巧妙的解题方法.2. 了解“等量代换”的思想.3. 培养学生灵活运用的能力.巧求面积75【分析】 阴影部分的宽是752-= (厘米)，长是523-= (厘米)，面积是236⨯= (平方厘米).【例 3】 一个长方形周长是80厘米，它是由3个完全相同的小正方形拼成的，那么每个小正方形的面积是多少平方厘米？【分析】 小正方形的边长：80810÷=厘米，每个小正方形的面积：1010100⨯=平方厘米。
面积增减【例 4】 一块长方形铁板，长15分米，宽l2分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米?【分析】 如图，铁板面积比原来减少多少平方分米，就是求阴影部分的面积，用原长方形的面积减去空白部分的面积.1512(152)(122)⨯--⨯-=180130- =50(平方分米)2221512【例 5】 一块长方形地长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使原来的面积不变，长应减少多少米?【分析】 808045(455)8-⨯÷+= (米).【例 6】 人民路小学操场原来长80米，宽55米，改造后长增加20米，宽减少5米.现在操场的面积比原来增加多少?【分析】 (8020)(555)8055600+⨯--⨯= (平方米).【例 7】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米?【分析】 根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为(2720680)(6050)340+÷-= (米)，宽为6803405052÷+= (米)。
复数与平面几何的综合练习题
复数与平面几何的综合练习题本文将为读者提供一系列综合练习题，涉及复数与平面几何的相关知识。
通过解答这些题目，读者将巩固对复数及其在平面几何中的应用的理解，并通过实践提高解决问题的能力。
1. 设复数 z = 4 + 3i，其中 i 是虚数单位。
求 z 的共轭复数，并将其表示在平面直角坐标系中。
解析：复数的共轭是将复数的虚部取负。
因此，z 的共轭复数为 4 -3i。
在平面直角坐标系中表示，可以将实部 4 作为横坐标，虚部 -3 作为纵坐标，将这两个点连线，即可表示 z 及其共轭复数。
2. 已知复数 z = 2 + i 和 w = -1 + 3i，求 zw 和 z/w 的结果，并将其表示在平面直角坐标系中。
解析：复数的乘法即两个复数的实部和虚部的乘积，复数的除法可以通过乘以其倒数来实现。
根据计算，zw = (2 + i)(-1 + 3i) = -5 + 5i，而z/w = (2 + i) / (-1 + 3i) = (1 - i) / 2。
将这两个结果表示在平面直角坐标系中，可以得到两个点 (-5, 5) 和 (0.5, -0.5)，分别连接原点和这两个点，即可表示 zw 和 z/w。
3. 设 A、B、C 为复平面上的三个不共线点，且坐标分别为 z1, z2,z3。
证明：向量 AB、AC 的夹角等于向量 z2 - z1 和 z3 - z1 的辐角的差。
解析：向量 AB 可以表示为 z2 - z1，向量 AC 可以表示为 z3 - z1。
根据向量的夹角性质以及复数的辐角表示，可知这两个向量的夹角等于其辐角的差。
4. 已知复数 z = 3 + 4i，求 z 的模长、辐角、共轭复数和倒数，并将它们表示在极坐标系中。
解析：复数的模长可以通过求复数与原点的距离得到，即 |z| =√(3^2 + 4^2) = 5。
复数的辐角可以通过求复数与实轴正方向的夹角得到，即tanθ = 4/3，所以θ = arctan(4/3)。
空间几何中的平面与直线的位置关系练习题
空间几何中的平面与直线的位置关系练习题在空间几何中，平面和直线是两个基本的图形。
它们在空间中可以有不同的位置关系，包括相交、平行、垂直等。
本文将通过几个练习题来测试你对平面与直线位置关系的理解。
练习题一：已知平面α过点A(1, 2, 3)，直线l的方向向量为(2, -1, 1)。
判断平面α和直线l的位置关系。
解答：设直线上一点为P(x, y, z)。
由于直线的方向向量为(2, -1, 1)，所以直线上任意一点P的坐标可以表示为P(1 + 2t, 2 - t, 3 + t)，其中t为参数。
由于平面α过点A(1, 2, 3)，所以平面α的法向量可为(1, 2, 3)。
平面上任意一点(x, y, z)到平面α的垂直距离可以表示为向量AP与平面α的法向量的点积除以法向量的模长，即[(x - 1, y - 2, z - 3)·(1, 2, 3)] /sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = 0。
将直线上的点P代入平面垂直距离的表达式，得到[(1 + 2t - 1, 2 - t - 2, 3 + t - 3)·(1, 2, 3)] / sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = 0，即(2 - t) / sqrt(14) = 0，解得t = 2。
将t = 2代入直线的参数方程，得到直线上一点P(5, 0, 5)。
将点P代入平面α的方程，得到(5 - 1) + 2(0 - 2) + 3(5 - 3) = 14 ≠ 0。
因此，平面α和直线l不相交，且平面α与直线l平行。
练习题二：已知平面β的法向量为(1, -2, 3)，直线m过点B(2, -1, 4)且与平面β平行。
判断点C(3, 0, 5)是否在平面β上。
解答：由于直线m与平面β平行，所以直线m的方向向量与平面β的法向量垂直，即(1, -2, 3)·(a, b, c) = 0。
解得a - 2b + 3c = 0。
设点C(3, 0, 5)到平面β的距离为h。
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1、 平面图形的分类及概念 2、 类别 概念 图示
线 直线：没有端点、它是无限长的。 线段：有两个端点、它的长度是有限 射线：有一个端点，它的长度是无限 弧线：圆上A、B两点间的部分叫做 角
（由一点引出的两条
锐角：大于0°，小于90°的角。 钝角：大于90°，小于180°的角。 直角：等于90°的角。 平角：等180°的角。 周角：等于360°的角。 垂直 在同一平面相交成直角的两条直线
平行 在同一平面不相交成直角的两条直
三角形
（由三条边围成的平面图
按边分 不等边三角形：三条边都不相 等腰三角形：有两条边相等。 等边三角形：三条边不相等。 按角分
锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角都是直 钝角三角形：三个角都是钝角。 四边形 （由四条边围平行四边形（两组对边平行）
梯形（只有一组直角梯形：有一个角是直
等腰梯形：两条腰相等。 圆形 一条线段围绕其中一个端点旋转一
扇形 由两条半径和弧AB所围成的图形
2、 立体图形的分类及概念 类别 概念 图示 正方体 由6个正方形围成的立
体图形，有8个顶点， 长方体 由6个长方形围成的立
体图形，有8个顶点， 圆柱
体 由完全相同的两个圆和
圆锥体 由一个圆和一个扇形所
平面图形的周长、面积计算公式表 图形名周长公式(C) 面积公式(S) 备注 长方形 （长+宽）×2即：长×宽 即： S=a×b 用字母“a”、“b”分别表示长、
正方形 边长×4 即：C=a×4 边长×边长 即： S=a用字母“a”表示边长。
平行四 底长×高 即：S=a×用字母“a”、“h”分别表示底
梯形 （上底长下底长）×高用字母“a”、“b”、“h” 分
三角形 底长×高÷2即：S=a用字母“a”“h”表示底长、高。
圆形 Л×直径=2Л×半径
即：C=Л×d = C=2Л×r
S=Л×（半径）2=Л×r2 用字母“r”、“d”分别表示半
径、直径。
3、 立体图形的表面积、体积计算公式表 4、 其它的几何概念 1、距离：从直线外一点到这条直线所垂直线段的长度叫做距离。 2、三角形的角和等于180°。 3、周长：围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。 4、面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 5、表面积：一个立体图形所有的面的面积总和，叫做它的表面积。 6、体积：一个立体图形所占空间的大小，叫做它的体积。 7、容积：一个容器所能容纳物体体积的多少叫做该容器的容积。 8、角的计量单位是"度"，用符号"°"表示。 9、角的大小要看两条边叉开的大小，叉开的越大，角越大。角的大小与角的两边画出的长短没有
形体 表面积公式(S) 体积公式(V) 备注 长方体 （长×宽+长×高+宽×高）×2 S=(a×b+a×h+b×h)×2 长×宽×高 V=a×b×h 用字母“a”、“b”、“h”分别表示长、宽、高。
正方体 棱长×棱长×6 即：S=a×a×6 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 用字母“a”表示上棱长
圆柱体 底面积×2＋侧面积 S=2×Л×r2+Л×r2×h 底面积×高 V=S×h=Л×r2×h 用字母“r”、“h”分别表示半径、高。
圆锥体 底面积×2＋侧面积 即：S=Л×r2+Л×r2h V=S×h÷3 用字母“r”、“h”分别表示半径、高。 关系。 10、平行线间的距离都相等。 11、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合。这个图形叫做轴对称图形。 12、对称轴：这条直线叫做对称轴。 13、两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 5、 关于几何的一些操作知识 1、 画一个角的步骤如下： ⑴画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合； ⑵在量角器所取刻度线的地方点一个点； ⑶以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 2、 垂线的画法： 1）过直线上一点画这条直线的垂线。 2）过直线外一点画这条直线的垂线。
3、画平行线的步骤是： ⑴ 固定三角板，沿一条直角边先画一条直线； ⑵ 用直尺紧靠三角板的另一条直线边，固定直尺然后平移三角板； ⑶ 再沿一条直角边画出另一条直线 4、例：画一个长是2.5厘米，宽是2厘米的长方形。画的步骤如下： ⑴ 画一条2.5厘米长的线段； ⑵ 从画出的线段两端，在同侧画两条与这条线段垂直的线段，使它们分别长2厘米。 ⑶ 把这两条线段另外的端点连接起来。 5、圆的画法： ⑴分开圆规的两脚，在直线上确定半径： ⑵固定圆规有针尖的脚，确定圆心； ⑶旋转有铅笔尖的一只脚画出一个圆。 平 面 图 形 习 题 精 编 一、认真思考，准能填好。 1．三角形的一个角正好等于其余两个角的和，这是一个（ ）三角形。 2．一个等腰三角形，它的顶角是72º，它的底角是（ ）度。 3．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和8厘米，那么它的周长最多是（ ）厘米，最少是（ ）厘米。（第三条边为整厘米数） 4．用圆规画一个周长是12 .56厘米的圆，圆规两脚间的距离应该是（ ）厘米。 5．用360厘米长的铁丝围成一个三角形，三条边长度的比是1：2：3，它的三条边的长度分别是（ ）．（ ）和（ ）厘米。 二、仔细推敲，准确判断。 1．小明说：我用11厘米．1厘米．1厘米的三根小棒围成了一个等腰三角形。他的话对吗？为什么？ 2．小芳说：我用两块一样的三角板拼成了一个大的三角形，这个三角形的角和是360º。她的话对吗？为什么？ 三、反复权衡，慎重选择。 1．人们常用三角形的（ ）性生产自行车大梁，运用平行四边形的（ ）性应用电动大门。 A．稳定性 B．易变形 C．平衡性 2．平行四边形有（ ）高，梯形有（ ）条高，三角形有（ ）条高。 A．无数条 B．一条 C．三条 3．圆的半径扩大2倍，则它的直径扩大（ ），面积扩大（ ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍
周 长 面 积 习 题 精 编 一、对号入座。 1. 270平方厘米＝（ ）平方分米 1.4公顷＝（ ）平方米 2. 一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是（ )平方分米。与它等底等高的三角形的面积是（ ）平方厘米。 3. 一个梯形上底与下底的和是15厘米，高是8.8厘米，面积是（ ）。 4. 一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（ ）厘米，针尖扫的面积是（ ）平方厘米。 5. 用4个边长是2厘米的小正方形拼成一个大长方形，长方形的周长可能是（ ）厘米，也可能是（ ）厘米。 6. 在长20厘米，宽1.8分米的长方形里画一个最大的圆，圆的周长是（ ）面积是（ ）。 二、慎重选择。（将正确答案的序号填在括号里） 1. 两个（ ）梯形可以拼成一个长方形。 A.等底等高 B.完全一样 C.完全一样的直角 2. 用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，它的高和面积（ ） A．都比原来大 B．都比原来小 C．都与原来相等 3. 等腰梯形周长是48厘米，面积是96平方厘米，高是8厘米，则腰长（ ）。 A．24厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．36厘米 4. 圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。 A．9 B.45 C.45π 5.下面图形周长较长的是 （ ） 三、巧解巧算。 已知下图中正方形的周长为36厘米，求平行四边形的面积。
（2）如果要在窗帘的周围缝上花边，你认为应买回多少花边？ 圆 习 题 精 编 一、对号入座 １．将一个圆平均分成若干份，拼成一近似长方形，长方形的面积与圆的面积 ，长方形的宽是圆的 ，长方形的长是圆的 。 2．心决定圆的 ，半径决定圆的 。 3．一个时钟的时针长10厘米，一昼夜这时针走了 厘米。 4．一圆形水池，直径为30米，沿着池边每隔5米栽一棵树，最多能栽 棵。 5．把一平行四边形的框架拉成一长方形，面积 ，周长 。把一平行四边形通过剪、移、拼的方法拼成一长方形，面积 ，周长 。 6．一个圆的半径扩大3倍，周长扩大 ，面积扩大 。 二、火眼金睛 1．半径是2米的圆，周长和面积相等。 （ ） 2．两端都在圆上的线段中，直径最长。 （ ） 3．大圆的圆周率大于小圆的圆周率。 （ ） 4．如果长方形、正方形、圆它们周长相等，那么圆的面积最大。（ ） 三、实践应用 1．在一个直径为20厘米的圆剪一个最大的正方形，正方形的面积占圆面积的几分之几？ 2．从一长3厘米、宽2.5厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形，求这个正方形的周长。 3．一个平行四边形和一个三角形等底等高。已知平行四边形的面积是25平方厘米，三角形的面积是多少？ 4．在一个半径5米的圆形花坛周围修一条宽2米的走道，走道的面积是多少平方米？ 5．一半圆的周长15.42分米，半圆的面积是多少？ 6．用18根1米的小棍靠墙围一长方形，围成的长方形面积最大是多少？ （画表用列举法） 7．用一长20厘米的铁丝正好围一个长方形（长、宽都是整厘米数）计算它的面积。 8．小方从家到学校的距离约有2千米。一辆自行车轮胎的外直径约70厘米，小方骑这辆自行车，如果轮胎每分种转100周，他从家到学校约需几分种？（得数保留整数）
能力拔高:
a) 求阴影部分的面积。(单位:厘米) 答案：9.12平方厘米
2.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？