巧求幻方三阶幻方
三阶、四阶、六阶幻方解题口诀
三阶、四阶、六阶幻⽅解题⼝诀⼤家听过⼤禹治⽔的故事吗？相传在那个年代，陕西的洛⽔常常泛滥成灾，每当河⽔泛滥之时，会有⼀直乌龟浮出⽔⾯，当时⼈们也不知道为什么，只是觉得很好奇，于是⼈们开始研究这个规律。
经过⼀段时间的观察，发现后来发现乌龟背上的龟壳分为9块，横着有三⾏，竖着有三⾏，⽽且每⼀块⾥边都有⼀些⼩点，每块龟壳⾥⾯的点数刚好凑成1-9这9个数字，可是，谁也弄不清楚这些点数到底有什么含义。
直到有⼀年，河⽔还是泛滥成灾，乌龟⼜浮上了⽔⾯，这时有个⼩孩在岸边⼤喊⼤叫起来：“⼤家快来看啊，这些⼩点⾮常有趣，横着看加起来是15，竖着看，加起来也是15，斜着看加起来还是15！”这个数字之谜竟然被⼀个⼩孩⼦给想明⽩了。
后来⼤⼈们觉得⼤概河神想要每样祭品的数量是15份吧，于是赶紧抬来15头猪、15头⽜和15只⽺献给河神，果然，从此以后河⽔再也不泛滥了…当然了，这只是⼀个传说，这个乌龟上的图案就是我们要学习的内容“幻⽅”，也叫“洛书”、“纵横图”、“魔阵”等等。
接下来我们就来揭开“幻⽅”的神秘⾯纱，⼀起来学习⼀下吧！幻⽅是把1⾄n^2的⾃然数排列成正⽅形，使它的纵横均有n个数，⽽把每⾏、每列、两条对⾓线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。
幻⽅的特征是横、竖、斜相加的得数都相等，幻⽅的幻和会等于n（n^2+1）÷2。
幻⽅按照纵横各有数字的个数可分为三阶幻⽅、四阶幻⽅、五阶幻⽅、六阶幻⽅…按照纵横数字数量为奇数、偶数可分为奇阶幻⽅、偶阶幻⽅。
三阶幻⽅我们⾸先简单介绍⼀下三阶幻⽅：把1-9填⼊⽅格，使幻⽅成⽴。
它也是⼀个奇阶幻⽅，幻和是3×（3^2+1）÷2=15。
那么这⾥⾯的数字我们是怎么得来的呢？第⼀种⽅法⼝诀是：九⼦斜排，上下对易，左右更替，四维挺出。
实际就分为四个步骤：第⼀个步骤是九⼦斜排，意思呢就是按照图中的形状斜着排列1-9的9个数字；第⼆个步骤是上下对易，也就是最顶端的数字和最底端的数字1和9对换；第三个步骤是左右更替，即将最左端和最右端的两个数字7和3对换；第四个步骤是四维挺出，如图所⽰把这四个数字向四个⽅向分别挺出。
三阶幻方最简单的口诀
三阶幻方最简单的口诀1. 幻方的魅力你有没有听说过三阶幻方？这东西可有意思了，简单来说，就是一个3×3的方阵，里面填上1到9的数字，要求每一行、每一列和两个对角线的数字加起来都得是同一个数。
听起来是不是有点复杂？别着急，咱们慢慢聊。
首先，咱们得知道，这个“同一个数”其实是15。
因为1+2+3+4+5+6+7+8+9加起来是45，而这个45再分成三组，每组15。
想想看，真的挺神奇的吧！这就像是数学里的魔法，既简单又有趣。
说到这，谁还没被这样的魔法吸引呢？2. 如何排列2.1 排列步骤要想轻松搞定三阶幻方，我们得有个简单的口诀。
听好了，首先，把数字1放在中间上方的格子里。
然后，接下来放的数字要遵循一个“左上右下”的原则。
具体点说，就是当你放了一个数字之后，接下来的数字应该在它的右上方，如果那个位置已经有数字了，那就往下移动一格，继续放。
2.2 举个例子比如说，第一步你放上1，然后接下来的数字2，你就要放在1的右上方，结果发现位置空着，就放上去。
接着放3，你会发现3的右上方位置又空着，继续放。
如果不小心越过了边界，别担心，直接从对面的边界进来就行。
记住，永远都不能让数字重叠。
这样排下去，慢慢的，你会发现所有的数字都能填满，最后的结果可真是让人眼前一亮。
虽然看起来好像有点绕，但其实只要试几次，你就能熟能生巧，像老手一样轻松掌握。
3. 幻方的乐趣3.1 朋友聚会的小把戏你可以想象一下，在朋友聚会的时候，突然用这个三阶幻方给大家来一段小表演，肯定能吸引眼球。
大家围过来，啊呀，怎么做到的呀！你就可以得意洋洋地跟他们说：“这可是我最近学会的绝活！”多么拉风啊，简直就像是从魔术师的手中变出来的一样。
3.2 学习中的好帮手而且，这三阶幻方还不仅仅是个游戏。
它还可以锻炼我们的逻辑思维，特别适合那些喜欢挑战自己的朋友们。
就像古人说的“开卷有益”，我们在玩乐中学习，顺便培养我们的耐心和专注力，真是一举两得。
在这个快节奏的生活中，抽出一点时间，和家人朋友一起围坐，动动脑筋，不仅能拉近彼此的距离，也能享受那种解谜后的成就感。
小学奥数三阶幻方讲解归纳(1)
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三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下Hale Waihona Puke 左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相 邻的两数字和的一半
492 3 57 816
提高：
?2
2a-1 2
a
a
?
1
2a-2 1
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
小学奥数三阶幻方讲 解归纳(1)
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数 的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
生活中的幻方
谢谢！
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
三阶幻方的公式
三阶幻方的公式三阶幻方，又称“独一无二”，是人类最强大的数学游戏之一。
它被认为是世界上第一个数学游戏，因为它蕴含着各种解题技巧和深奥的数学原理。
三阶幻方的原理在欧洲最早由泰勒斯在1600年代提出，但他的原理不完整，所以无法用来解决此问题。
直到19世纪，在各个国家的探索和研究下，终于有了完整的解题公式。
三阶幻方的公式是其基本原理，也是整个游戏中最重要的部分。
三阶幻方用其特有的解题方法来求解，它是一种制定一定原则，通过利用计数、算法、图论等数学原理来求解问题的方法。
其关键在于要求填入每一个“盒子”中的数字符合一定的原则。
首先，每个盒子中应填入1至9的数字，每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和都必须相等，并且每个盒子中填入的数字都不能重复。
止匕外，还必须符合排布顺序的要求，即必须在上一个盒子中填入的数字按照设定的规则排列，以确保每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和相等。
有了公式,三阶幻方的游戏就变得容易多了，因为可以根据公式,快速算出每个盒子填入的数字，从而完成游戏。
公式可以分成几种方法，最典型的是“分解法”。
该法要求将一个三阶的幻方分解为三个二阶的幻方，然后分别求出每一个二阶的幻方的解。
止匕外，还有“重组法”、“树形法”、“枚举法”等，它们分别从不同的角度来研究三阶幻方，都有其独特的优势。
不同的方法会有不同的步骤，但它们的最终目的都是一致的：给定一系列数字，需要按照一定的规则来填入每个盒子，以得出图形最终结果。
数学家们的研究伴随着三阶幻方的公式的不断发展，使我们对其解题原理有了更深刻的理解。
从古代中国到当今的西方社会，三阶幻方都被人们所推崇，三阶幻方的公式成为研究者共同推展的一部分，也是我们认识数学原理的重要途径。
三阶幻方被称为“独一无二”，其本质就是要求结果独一无二，因此一定要认真按照一定的原则来完成每一个步骤，以确保游戏结果是唯一的。
三阶幻方的公式和原理，既可以用来解决数学问题，也可以用来训练人们的逻辑、思维能力。
巧求幻方—三阶幻方
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
练习1.
补全这个幻方。
9 4 11
10 8 6
5
12 7
练习2.
补全这个幻方。
7
4
12
16 11 6 10 18 15
三阶幻方怎么求呢？
ห้องสมุดไป่ตู้那我们就来一个“数字大换位”的游戏吧！ 把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 4 7 5 2 3 3 4
9
2 5
8 1 三阶幻方有技巧,
8
9
6 换位
7 3数斜着先排好 7 , 8 6 上下左右要交换, 9 然后各自归位了 ! 1
归位
幻和=4+5+6=15
试一试（1）
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
试一试（1）
3 8 7
10
6 2
5
4
9
试一试（2）
• 把3、5、7、8、10、12、13、15、 17分别填入三阶方格中,每个数只 用一次,使每一横行、竖列、对角 线上三个数的和都相等.
试一试（2）
8 7 15
17
5
10 13 3 12
三阶幻方
如何把1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个不重复的数字填入下图，使每 一横行、竖列、对角线上的三个数字 的和都相等？
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方问题的代数解法
三阶幻方是有趣的数学难题，也可以用代数的方法来解题。
代数解法更加简便，有助于省
去计算细节，同时也会使解题过程更加有趣。
首先，我们可以先创建一个空三阶方阵，这样，我们可以将其看做一个接受未知数的数学
模型。
接下来，我们可以用等式和未知数来填充这个空矩阵。
这里，三四个未知数即为这
个空方阵中所有元素的值，这里可以使用九个等式来定义他们，比如行和列之和为n的等式。
然后，我们可以用解方程的方法来求解三阶矩阵的所有解。
我们可以使用三元一次方程组，也就是九个等式，和我们提前定义的未知数的关系。
通过求解方程组，即可解出所有的解，如此也就简化了三阶迷宫问题的解法。
最后，我们可以利用代数手段轻松解决三元幻方问题。
这种方法减少了大量无谓的计算，
可以使解决三阶迷宫问题变得更加轻松。
加上高中学过的数学知识，就可以很轻易地解决
这样一个有趣的数学难题了。
第五讲 三阶幻方
第五讲、三阶幻方幻方起源于中国。
传说在大禹治水时,有只神龟在洛水中浮起,龟背上有奇特的图案，如右图。
人们称之为洛书。
如果将龟背上的数字翻译出来,如下图。
观察，你发现了什么？ 观察发现,上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3(三行三列）的正方形内,使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图。
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字,简称中心数。
三阶幻方的规律:（1）幻和= 九个数之和 ÷3; （2）中间数=幻和÷3(3)四个角上的数字 2=（3+1）÷2，8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21.例题2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等.73 84 63 二、例题讲解 672159834巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。
例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里,使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法： 介绍公式法：19 1410 18 812口诀:九子斜列，上下对易，左右相更,四维挺出。
想一想还有没有其他填法:第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种:492357816第四种：294753618第五种:672159834第六种:834159672第七种：276951438第八种:438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
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规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶
幻 方
35 7
816
练习1. 补全这个幻方。
9 10 5 4 8 12 11 6 7
练习2. 补全这个幻方。
7 4 12 16 11 6 10 18 15
三阶幻方怎么求呢？
试一试（1）
3 10 5 864 7 29
试一试（2）
• 把3、5、7、8、10、12、13、15、 17分别填入三阶方格中,每个数只 用一次,使每一横行、竖列、对角 线上三个数的和都相等.
试一试（2）
8 17 5 7 10 13 15 3 12
Байду номын сангаас
那我们就来一个“数字大换位”的游戏吧！ 把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
4 9 2 三阶8 幻1方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排7 好,
8 6 上下左右要交换,
1
然后各自9 归位了!
归位 幻和=4+5+6=15
试一试（1）
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
如何把1、2、3、4、5、6、7、8、 9这9个不重复的数字填入下图，使每 一横行、竖列、对角线上的三个数字 的和都相等？
关于幻方
• 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 • 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的
纵横均有n个数，而把每行、每列、有时还 包括两条对角线的数加起来，它们的和都 是相等的，这个和叫做幻和。 • 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。