2014学而思1年级春季班第2讲-图形的计数
学而思数学 (2)
第二讲有趣的图形计数一、知识点概述本讲中重点学习复杂图形的计数问题，包括数方块，简单的染色问题等。
二、知识点总结1、规则图形①打枪法②公式法2、不规则图形分类、按顺序3、立体图形①计数（对齐+多出来的）②填充 A、直接分层数B、补成实心再减去③染色注：染色时1、底面一定会染色；2、一个重叠面对应两个面没有染色三、例题讲解例题1你能根据这个侧面图算算砌好这面墙一共需要多少块砖吗？解析：方法一：从上往下：1+3+5+7+9+11×10=135（块）方法二：从左往右：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=15×15-90=225-90=135(块)例题2 下面这堆木方块共有多少块？（中间画阴影的部分从上到下是空心）解析：方法：分层方法一：一共是4层，由于每一层中间是空心的，所以每一层都有8块。
所以一共有：8×4=32(块)方法二：补齐再减。
补齐了一共有9×4=36(块)，补了4块，所以一共有：36-4=32（块）想想做做1下面的图形被云彩遮住了，你能数出有多少个方块吗？（中间阴影部分是空心的）解析：方法：分层方法一：一共是3层，由于每一层中间是空心的，所以每一层都有8块。
所以一共有：8×3=24(块)方法二：补齐再减。
补齐了一共有9×3=27(块)，补了3块，所以一共有：27-3=24（块）例题3 下图中至少添加多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？(1)解析：先观察发现这幅图有3层，那么要想拼出一个大正方体，那么每层应该有3行3列，所以拼成的大正方体至少得3×3×3=27块。
现在有3+6+9=18块，所以至少得补27-18=9（块）(2)解析：先观察发现这幅图有3层，那么要想拼出一个大正方体，那么每层应该有3行3列，所以拼成的大正方体至少得3×3×3=27块。
现在有4+6+9=19块，所以至少得补27-19=8（块）例题4 下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色？注：没被染色的面即为粘在一起的面（重合面），粘一处少两个面，（两个方块各少一个面）解析：一共有3处重合面，那么一共有3×2=6（个）面没有被涂成黄色。
学而思各年级数学大纲
1.通过动手操作学习倒油取水问题，进行条件判断分析； 2.通过动手测量，判断物品的真假，培养学生的逻辑推理能力。 探索多种类型数学游戏中的乐趣，感受数学之美，拓展思维。 阶段学校效果检测，帮助学生查漏补缺，有利于后期学习方法的改进。 主要内容 学会通过观察数字和得数，利用倒推思想适当添加运算符号使算式成立，并通过“24点”益 智游戏提高学习兴趣，培养学生数感。 理解小数的意义，学会读写小数并会比较小数大小；会解决生活中简单小数问题。 面积认知进阶，通过观察掌握平行四边形及梯形特征；引导学生通过转化思想推导出平行四 边形及梯形面积公式；学会利用面积公式解决实际几何问题。 利用差不变思想解决常见年龄问题。 复习余数，倍数概念。掌握带余数除法的计算及各数之间关系。 学会读懂简单的条形统计图和折线统计图，并会分析统计图提出合理性建议；学会分析表格 中通的过数找据规，律结与合递逻推辑思推想理解、决列经方典程种等树方问法题解中决的一经些典应排用列性方问式题问。题及多线交点个数、分平面个 数方法。 掌握等差数列的概念及识别方法；熟练掌握等差数列的通项公式、项数公式、求和公式、中 项定理、连续奇数和公式等重要结论并会运用；学会利用等差数列解决应用题。 学习和解决各种以数字与数值为内容的文字数字谜问题，包括数字组成的多位数，数字在运 算下的变化，数的分解、分拆与排列。
★★★
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计算
几何
应用
应用 应用
逻辑 应用
巧算加减法
几何计数问题进阶
有趣的周期问题
和差问题 移多补少应用题
推理综合 重叠问题
几何
计算 应用 方法
巧求周长
数阵图 猜猜他几岁 逆向思考
学而思网校小学奥数(一年级)
我会比一比推理比较图形的折叠我会算一算——加法数学活动我会算一算——减法你能把下面的加法算式改成道加法算式和两道减法算式吗？你能把下面的加法算式改成一道加法算式和两道减法算式吗小动物教你学减法，一起来练一练。
小猫钓鱼算出小鱼身上算式的结果小鱼就被钓上来啦！比一比小猫钓鱼，算出小鱼身上算式的结果小鱼就被钓上来啦！比比，看谁钓的又快又多！每只小动物的车应该停在几号停车场呢？连一连。
聪明的小朋友们，你能在一分钟内口算出下面各题吗？我们来比赛吧！吗？请画出找球的线路。
生活中的数学小老虎在和小牛捉迷藏，小老虎只有从1开始按每次多2的数字往前走才能找到小牛小朋友们试试小牛。
小朋友们试一试。
小朋友们，学习了20以内加减法的计算大家都成了计算小能手的计算，大家都成了计算小能手了。
你知道加减法有什么用途呢？利用加减法可以解决生活中的许利用减可解决中的许多数学问题，这节课我们就一起看图来解决问题。
⑴根据下面的图写算式⑴根据下面的图写算式。
⑵根据下面的图写算式⑵根据下面的图写算式。
说一说每个图表示什么意思然后写出算式说说每个图表示什么意思，然后写出算式。
看图填空，并列出算式。
⑴⑵聪明的小朋友，你知道下面每幅图的意思吗？请你根据图意写出算式。
⑴原来有11只兔子。
我已经卖出去了5只。
还剩下几只没有卖出去？棵花还有棵没有栽已经栽了多少棵了？⑵一共要栽14棵花。
还有4棵没有栽。
已经栽了多少棵了？你能根据下面的图列出算式吗？⑴⑵原来车上有15人。
草地上原来有15只白兔子和7只灰兔子，后来又跑来了4只灰兔子，跑走了5只白兔子。
你能跟据下面不同的问题列出不同的算式吗？⑴草地上原来共有几只兔子？⑵草地上现在有几只白兔子？⑶草地上现在有几只灰兔子？比一比，算一算。
⑴小明折了多少架纸飞机？12个同学排成一队去游玩，小明的后面有3个同学，他的前面有几个同学？钟面上的数学钟面上有时针、分针和12个数字。
短而粗的是时针，长而细的是分针。
钟面上把一圈平均分成12个大格，每个大格又分成相等的5个小格，分针走一圈是分钟；时针走一圈是分针走圈是60分钟；时针走圈是12小时。
(2021年整理)第二讲图形计数问题
(完整版)第二讲图形计数问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)第二讲图形计数问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二讲 图形计数问题教室 姓名 学号【知识要点】一、定义由首尾相连的三条线段围成的图形叫三角形。
三角形有三条边和三个角。
长方形是特殊的四边形。
它有四个角且都是直角，有四条边且对边相等。
正方形是特殊的长方形.它的四个角都是直角,且四条边都相等。
二、三角形、长方形、正方形的计数方法1、有些三角形可以用数线段的方法来计数。
2、有些三角形可以从小到大，按一定的顺序去数.3、长方形的个数＝长的线段总数×宽的线段总数。
4、有些图形可以通过分拆的方法合理计算。
【例题精讲】★例1：下图中有几个三角形？★例2：图中分别有几个三角形？★例3：图中有多少个长方形?★★例4：图中有几个三角形？★★例5【为了掌握】A B C E★1、右图中有几个三角形？★2、图中有几个三角形？★3、图中有几个长方形？★4、图中有几个三角形？★5、数一数,图中共有几个正方形？★6、图中有几个三角形？【为了优秀】★★1、图中有几个正方形？★★2★★3、图中有几个长方形？★★4、数一数,图中含有★的正方形有（）个。
(完整版)图形计数
图 形 计 数
达成目标：
本讲内容重点突出对长方形和中方形图形计数的研究，通过学习和训练，使学生掌握有序计数组合图形中所包含的基本图形（长方形或正方形）个数的方法。
培养学生的观察能力，引导学生运用分类思想、转化思想和排列组合的思想解题。
练习一：下图中有多少个长方形？
例题二：下图中有多少个长方形？
练习二：下图中有多少个长方形？
例题三：数出下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长1cm 的正方形。
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练习三：数出下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长1cm 的正方形。
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学而思初一数学春季班第2讲-目标中考满分班-教师版
函数1级平面直角坐标系认识初步 函数2级平面直角坐标系中的变换函数3级 函数初步暑期班 第二讲春季班 第一讲减肥记漫画释义满分晋级阶梯2平面直角坐标系中的变换编写思路：本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。
二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。
对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。
（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。
从而将图形的平移转化成为点的平移。
并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。
三、简单的数形结合：求三角形面积问题。
让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。
让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。
四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是22a c b d M ++⎛⎫⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航知识互联网题型一：坐标系中的对称【引例】 在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．【解析】 关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，； 关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，； 关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，．【例1】 ⑴ 点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--， B ．()53，C ．()35-，D ．()35，⑵ 点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ． ()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．⑷ 点()23，P 关于直线3x =的对称点为 ，关于直线5y =的对称点为 ． ⑸ 已知点()121P a a +-，关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 112a -<<．【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：⑴ 由图观察易知()20A ，关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．典题精练例题精讲【解析】 ⑴ ()35B '，，()52C '-，； ⑵ ()b a ，； ⑶ a b >，b a >．⑴ 点平移：①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．⑵ 图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．【引例】 点()35M --，向上平移7个单位得到点1M 的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为 ．【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，CB A'A-1-2-3-3-2-1O yx123456654321l 典题精练例题精讲思路导航题型二：坐标系中的平移⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的，则点B ()11，的对应点1B 坐标为 ． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是 ． （一五六中学期中）⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（ ）A ．()93，B ．()13，--C ．()33，-D ．()31，--（一五六中学期中）【解析】 ⑴ ()22-，； ⑵ 右2，上3，()3,4；⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩．故点()12P ，．⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边图案中右眼的坐标是_______．（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为 ．（三帆中学期中）【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；A B CDE -3图1-图2⑶ ()21m n +-，；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．【引例】 如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐标为()21-，，则ABC △的面积为 平方单位． 【解析】 长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点C 的坐标是 ．⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ， 使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的 面积是 ．（161中学期中）【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，，所以BD x ∥轴，2BD =，故122242ABCD S =⨯⨯⨯=．【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，(75)C ，，(27)D ，．求四边形ABCD 的面积．典题精练例题精讲思路导航题型三：坐标系中的面积与规律问题OF EDCBA y x1O yxDC BA54321Ay D (2,7)C (7,5)y⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．①画出平移后的111A B C △；②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．⑵ ①略；②()()()111042041A B C ，，，，，;③ ()00，或()40，．【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础 建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法 方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.解析： 割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111=14+4+33+13=14222⨯⨯⨯⨯⨯⨯补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111=54141414=14222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，，，求图形OAB 的面积.解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △OAB ABD AOD BOD S S S S =--△△△△111117838372222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故117OC =()1111134272OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】方法二、容斥法：面积差【探究3】如图所示，求12S S -的值.解析：1211=6424822ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△【教师备选】B B方法三、转化法：平行线，一边转到轴上【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1=+2AC y x b ：求得1=+22y x ，得()0,2C由等积变换可知1=24=42AOB BOC S S =⨯⨯△△【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D由等积变换可知15=15=22ABC DBC S S =⨯⨯△△【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快速的求出面积.【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，;⑵13232BOC S =⨯⨯=△;⑶ 分两种情况：①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形即()()1911+3=+6+3222a a ⨯-，解得=6a ()1,6P②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形 即()()911+1+313+=6222a a ⨯-⨯⨯解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -图1 图2【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四 条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边 上的整点个数共有 个．（清华附中期中）⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．已知()13A ，，()123A ，，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ， 观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4A 的坐标是 ，点4B 的坐标是 ，点n A 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()120，n +【例8】 一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的坐标．对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．……于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，，即(4411)，．【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，，则数 对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）【拓展】 数1950对应的坐标是 .【解析】 36，()922-，. ()22,9- 真题赏析12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637 xy如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下数字 坐标21=1 ()0,023=9 ()11-， 25=25 ()22-，……那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，， 故数2012对应的坐标为()221322--，，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律数字 坐标22=4 ()0,124=16 ()12-， 26=36 ()23-，……由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为()321+-=．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，． 解决问题：⑴ 计算：{}{}3112+，，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，平移到A ，再按照“平移量”{}12， 平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（2012北京101中期中）【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.【备选2】观察下列有规律的点的坐标：()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，依此规律，11A 的坐标为 ，12A 的坐标为 ．（2012年101中期中）【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.横坐标的规律很明显，而纵坐标414,427,,10, 1 (3)----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444,,,1234----，故12A 的纵坐标为42=63--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .【解析】 ()()17,12011,2，.【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶 点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012清华附中期中） 【解析】 B .【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2012陈分期中考试）【解析】 C题型一 坐标系中的对称 巩固练习【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--， B ．()25--，C ．()25，-D ．()25，-⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2|1|20x y -++=，则()x y ，关于原点对称的点为 ．(12，0)(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)(9，1)(7，2)(5，1)(3，2)(1，1)O 复习巩固（北京十二中）⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩． 题型二 坐标系中的平移 巩固练习【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的对应点D 的坐标为 ．⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单 位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为 ．【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，．【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出B 、D 两点的坐标吗？⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．（首师大二附中期中）【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．⑵ ()32B -，，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，C ，求△ABC 的面积． （四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=， 求代数式22225432x x x x x -++--的值．（人大附中期中）【解析】 ⑴ 172．⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5【练习5】 如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时针旋转90︒，此时A 点的坐标为 ；依次旋转2009次，则顶DCBA点A 的坐标为 ．【解析】 ()32，，()30152，．第十四种品格：信念你的意念能跳多高布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。
巧数图形教案学而思
巧数图形教案学而思精品文档巧数图形教案学而思:一、规则图形线段角 1. 分类数2. 公式法基本线段数依次加到1.端点,1,基本线段数一数下图中一共有多少条线段,? ? ? ?方法1: 方法2:恰含1条:4条基本线段有4条，所以从4开始加恰含2条:??、??、??条，3，2，1,10恰含3条:???、???条恰含4条:???? 1条注:肩并肩手拉手的规则图形都能用公式总数:4，3，2，1,10 法，关键是找火车头。
二、多层图形1. 多层三角形每层个数×层数,总数数一数图中有多少个三角形,每层个数:3，2，1,层数:2层总数:6×2,1 一共12个。
1 / 11精品文档2. 多层长方形每层个数× 层数 , 总数× , 总数数一数下图中一共有多少个长方形,每层个数:3，2，1,6层数:2，1,3总数:6×3,1一共18个。
三、不规则图形按方向分类分类数按大小分类按方向分类下图中有多少个三角形, ?、?、?、?、?、?6个??、??、??个???、???、???、???、???、???个?????? 1个6，3，6，1,1 一共16个。
:1. 下面图中给出的五个点之间，每两个点之间画一2 / 11精品文档条线段，一共可以画出多少条线段,2. 数一数图中有多少个正方形,3. 数一数下图中一共有多少个三角形,4. 数一数，图中共有个长方形，个三角形，条线段。
:本讲讲的是数图形的方法，根据不同类型的图形有不同的巧妙方法，同学们要仔细辨认图形种类，像是规则图形和多层图形都是有巧妙方法的;如果是不规则图形，那么一定要注意分类，数的时候思路要清楚，这样才不会数错。
二年级数学思维训练数图形教案11、使学生学会解决数线段的问题，掌握有序分类图形的方法。
增强学生应用数学的意识。
2、通过活动，培养学生的口头表达能力、初步的观察推理能力和探究问题的能力。
进一步培养学生的发散思维和创新能力。
图形计数(一)
第三讲图形计数（一）【知识风向标】数和形不是互相孤立的，它们紧密地联系着，利用形可以加深对数的认识，反过来利用数可以更好地反映形的本质特征。
本讲内容有利于加强数的联系。
前面，我们认识了点、线段、直线、射线、平行线及角等图形，本讲中我们要学会图形计数。
数图形时要按一定的顺序、认真数，不能多数也不能漏数。
小朋友们，如果把一些图形混在一起，你们能数得清吗？【竞赛方法台】1、怎样数线段：基本要求就是不重复，不遗漏，而要做到这两个“不”，就必须有次序、有条理。
如何才能做到有次序、有条理呢？有次序就是依次去数每一条线段，有条理就是按基本线段与组合线段或按线段端点的起始数来数。
2、用数线段的方法也可以数角的个数。
【竞赛全知道】[例1] 数一数，下图中共有（）条线段。
【分析与解】先给这几个点分别标上A、B、C（如下图）。
A B C①③②有两种数法：一是分别数出以A点、B点、C点为左端点的线段各有几条。
以A点为左端点的线段有：AB、AC；（2条）；以B点为左端点的线段有：BC；（1）条；2+1=3（条）二是：先数基本线段有：AB、BC，再数组合线段AC+（AB+BC）共3条。
【技巧引导】数线段时，为了防止漏数或重复，要按一定的顺序数。
[例2 ] 数一数，下图中有（）条线段。
【分析与解】有两种数法：先给这几个点分别标上字母A、B、C、D。
A B C D一是以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD；（3条）以B点为左端点的线段有：BC、BD；（2条）以C点为左端点的线段有：CD；（1）条3+2+1=6（条）二是先数基本线段，有AB 、BC 、CD ，再数组合线段，AC （AB+BC ）；BD （BC+BD ）；AD （AB+BC+CD ）共6条。
【技巧引导】数线段有两种数法：一是从各个端点出发依次数各条线段；二是先数基本线段，再数组合线段。
[例3] 下图有（ ）条线段。
【分解与解】外面每边3条（2条短的，一条长的），里面3条，共有3+3×3=12（条）线段。