最新数学华师版初中九年级下册27.1.2 第2课时 垂径定理
2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。
华师版九年级下册27章圆27.1.2垂径定理
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦（2）四组量关系定理：在同圆或等圆；中，如果两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．垂径定理一般与直角三角形结合，半径，弦心距和弦长一半构造勾股定理列方程，解线段长圆中处理问题的思路①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．补充：中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．➢ 精讲精练 一选择题：1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MD2、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径AD 为10，截面圆圆心A 到水面的距离AE 为6，则水面宽CD 的长为（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6第2题图第3题图3、如图，CD是⊙A的弦，AE⊥CD于点E，交⊙A于点B，则下列说法不一定正确的是（）A．CE=DE B．∠F=∠CAE C．弧BC=弧BD D．AE=BE 4、如图，BE为⊙A的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BAC=70°，则∠E的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°二填空题1、如图，⊙A的弦CD垂直平分半径AB，若CD=6，则⊙A的半径为_________．2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm．A BC DRO第/2题图 第3题图3. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB=，则∠BCD =_______．ADB O E C5. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．7、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心且∠AOB =90°，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300 m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．BD C OA8、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．EACD B O9、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．CD BOADOEBC A第/9题图 第10题图10、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________11、如图，CD 是圆A 的弦，CD 长为8，B 是圆上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，则EF=________________11、（中位线）如图，定长弦DF 在以BC 为直径的圆A 上滑动（D,F 不与点B,C 重合）G 是弦DF 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E,连接EG ,若DF=3,BC=8，则EG 的最大值是_________________12、如图，将半径为4厘米的圆A折叠后，圆弧BC恰好经过圆心，则折痕BC 的长是__________________三、解答题⊙的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，1、（分类讨论）已知O求AB，CD之间的距离．2、（垂径定理+中位线）如图，BC是圆A的直径，弦BD=5,AE⊥CD于点E，求AE的长3、（垂径定理+30°所对的直角边等于斜边的一半）如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，求线段EF 的长PFE C B ODA4、（垂径定理+等积式）如图，∠A=90°，以AB 为半径的圆A 与BC 相交于点D ，若AB=3,AC=4,求CD 的长5、如图，已知BC 为圆A 的直径，弦EF 交BC 于点D ，∠CDF=30°，AD=4，DE=35，求弦EF 及圆A 的半径长。
华师版九年级下册数学第27章 圆 垂径定理及其推论
13．如图，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别 交于点A、B和C、D.
(1)求证：PB＝PD；
证明：过O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N. ∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON. 又OP＝OP，∴Rt△POM≌Rt△PON，∴PM＝PN. ∵OM＝ON，易证AB＝CD，则BM＝DN， ∴PM＋BM＝PN＋DN，∴PB＝PD.
2．如图，武汉晴川桥可以近似地看成是半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间 用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB的长度为300m，那么这些钢索 中最长的一根为( )
A．50m B．45m C．40m D．60m
A
3．【教材改编题】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂 足为点E，BE＝CD＝16，试求⊙O的半径．
2．平分弦(不是_______直_)径的直径________这条垂弦直，于并且平分这条弦所对的两条 弧．
3．平分弧的直径_______垂__直_这平条分弧所对的弦．
1. 如图，在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是( )
D
A．AC＝BC C．A︵M＝B︵M
B．A︵N＝B︵N D．OC＝CN
∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°， ∴OF＝12OE＝ 2. 在 Rt△ODF 中，DF＝ OD2－OF2＝ 13－2＝ 11， ∴CD＝2DF＝2 11.
【答案】A
10．【中考·嘉兴】如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点 C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
(2)若角的顶点P在圆上或圆内，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由 ；若成立，请加以证明．
解：上述结论仍成立． 当点P在圆上时，如图①， 过O作OM⊥PB于M，ON⊥PD于N. ∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON. 又OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN. ∵OM⊥BP，ON⊥PD，
华师版九年级数学下册习题课件：27.1.2.2 垂径定理
1 在 Rt△ODP 中，sin∠ODP＝OODP＝2OODD＝12，∴∠ODP＝30° ∴OD＝cosD3P0°＝2 3(cm)，∴AB＝2OD＝4 3(cm)
①CE＝DE；②BE＝OE；③C︵B＝B︵D；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC ＝AD.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
11．如图，⊙O 的直径 AB＝12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂 足为 P，且 BP∶AP＝1∶5，则 CD 的长为( D )
A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5
解：过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 OC，
OA，易求 OE＝ 5，AE＝2 5，则
AB＝2AE＝4 5，∴AC＋DB＝AB－CD ＝4 5－4＝4( 5－1)(千米)
一、选择题(每小题 4 分，共 8 分)
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于ห้องสมุดไป่ตู้ E，则下列结论 一定正确的个数是( A )
下列结论错误的是( B )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.B︵C＝B︵D
D．△OCE≌△ODE
2．(4分)(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm
，OC⊥AB于点C，则OC＝( B )
A．3 cm
B．4 cm C．5 cm
D．6 cm
3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一
于点 M，则 CM＝DM.∵直径 AB＝16 cm，
P 为 OB 的中点，∴OP＝4 cm.在
Rt△OPM 中，∵∠APD＝30°， ∴OM＝12OP＝2 cm.在 Rt△DOM 中， DM＝ DO2－OM2＝ 82－22＝2 15(cm)， ∴CD＝2DM＝4 15 cm
最新华师版九年级数学下27.1.2垂径定理ppt公开课优质教学课件
讲授新课
一 垂径定理
互动探究
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直
于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
⌒与⌒ 比较AP与PB，AC CB，你能发现什么结论？
O · A
P D
B
线段: AP=BP
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧: AC=BC, AD=BD
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP ⌒ 和BC ⌒,AD ⌒ 与BD ⌒重合． 重合，AC
O ·
B D
二 垂径定理及其推论的计算 一
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm. 解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
A
E · O
B
∴ AE OA2 OE 2
10 6 8 cm.
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴ AB=2AE=16cm.
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长. 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， E
1 1 ∴ AD AB 8 4 (cm) 2 2 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股
定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. A
O ·
D C B
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱， 设AB所在圆的圆心为O，半径
a 2
O · A C C h d D O B B
当堂练习
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则 此圆的半径为 5cm .
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AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱， 设AB所在圆的圆心为O，半径为 R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足
为D，与弧AB交于点C，则D是AB A
的中点，C是弧AB的中点，CD就
是拱高.
C
D
B
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
O
∵ OA2 AD2 OD2
R2=18.52+(R解7.2得3)R2≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径 为7cm，则弓形的高为＿2＿cm＿或_1_2_c_m＿.
那么它们所对的弦相等.） ∵OC=OC， ∴△AOC≌△BOC，
AP B C
∴∠AOC=∠BOC， 即OC是∠AOB的角平分线.
∴CD垂直平分AB.
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于
这条弦,并且平分这条弦所对的两
思考条：弧“不；是平直径分”弧这个的条直件能径去垂掉吗直？平如果分不这能，条请举
C
C
A
D
B
O
O
A DB
图a
图b
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到
·O
弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通
过连半径或作弦心距构造直角三角形，利 A C
B
用垂径定理和勾股定理求解.
C
弓形中重要数量关系
ah
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
A
2D
B
rd
之间有以下关系：
出反弧例所. 对的弦.
C
特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则 AB= 16cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，
垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ● O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
d+h=r
r2
d
2
a 2
2
O
当堂练习
1.已知☉O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为5cm . 2.☉O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC=10 3 cm.
3.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 14cm或. 2cm
C A
O
O
A
EB A
DB
D
E
B D O
A C
O CB
初中
数学优秀课件
试一试
1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），
与CD交于点P，且P是AB的中点.
D
求证：AB⊥CD，
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点， 即AP=BP， ∴AB⊥CD.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，
求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
E
∴ AD 1 AB 1 8 4 (cm)
22
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定
·O
理，得
x2=42+(x-2)2，
讲授新课
一 垂径定理
互动探究
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直 于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
B
D
线段: AP=BP
弧: A⌒C=BC⌒, A⌒D=B⌒D
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.
即△AOB是等腰三角形.
·O
∵AB⊥CD， ∴AP=BP.
AP B
又∵CP=CP， ∴Rt△APC≌Rt△BPC， ∴AC=BC， C
∴
⌒ AC
⌒ =BC（. 同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等）
由此易得 A⌒D =⌒BD.
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对 C
的两条弧.
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
·O
AP B D
议一议
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？
C
A O
A
EB
D
C BO A是源自不是，因为没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
27.2 圆的对称性
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一 些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
问题引入
问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求 出赵州桥主桥拱的半径吗？
·O
半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，
AC和BC,⌒AD与B⌒D重⌒合． ⌒
AP
B
D
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足
为P.
求证：AP=BP， A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
⌒ =BD.
D
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦， A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵ A⌒C =B⌒C,
·O
∴AC=AB.（在同一个圆中，如果弧相等，