中学垂径定理总结归纳
24--垂径定理二
A
●O
B
C
D
2.两条弦在圆心的两 侧
A
●O
B
C
D
垂径定理的推论: 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
3。已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，
求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
4。在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油，平放后，截面 的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
O
A
600
B
A
┌E
D
B
O ø650
D
600
C
C垂径定理Fra bibliotek定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
符号语言：
C
A M└
B
●O
D
方法归纳: 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。
2.解决有关弦的问题时，经常
（1）连结半径；
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径为R，AB =a, 求OE、DE 的长. ⑵若半径为R，OE =d，求AB、DE 的长. (3)若AB=a，ED=h，求半径r的长.
M D B
.O
N
垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧有什
么关系? （注意：这两条弦在圆中位置有两种情况:）
九年级数学垂径定理知识点
九年级数学垂径定理知识点数学是一门令我们既爱又恨的学科，而九年级的数学则是更加具有挑战性和深度的一门课程。
在九年级数学中，垂径定理是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多有趣的应用。
在本文中，我们将一起来探索九年级数学中的垂径定理。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义和概念。
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它指出：“如果两条直线相交于一个点，并且其中一条直线垂直于另一条直线的过程中所产生的垂直线段与交点的距离相等，那么这两条直线是垂线。
”简单来说，垂径定理就是通过一个垂直线段来判断两条直线是否垂直的方法。
举个例子来说明垂径定理的应用。
假设有一个四边形的对角线相交于一个点，我们需要判断对角线是否垂直。
按照垂径定理，我们可以通过在交点处作一条垂直于对角线的线段，并将它延长至相邻的边上。
如果延长后的线段与相邻边的距离相等，那么我们可以断定对角线是垂直的；反之，如果距离不相等，则对角线不是垂直的。
通过这个简单的方法，我们可以快速判断一个四边形的对角线是否垂直。
垂径定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在实际生活中也有许多有趣的应用。
例如，我们在修建房屋时需要确保墙体垂直，这就需要使用垂径定理来检验墙体是否垂直。
另一个应用是在导航系统中，也需要使用垂径定理来计算地球上两点之间的最短距离。
除了应用方面，垂径定理还有着一些有趣的数学性质。
一个有趣的性质是，如果两条直线是垂线，那么它们的斜率乘积为-1。
这个性质是垂径定理的一个重要推论，通过它我们可以更直观地理解垂线的概念。
此外，垂径定理还与其他几何定理有着密切的关系。
例如，垂径定理与直角三角形定理、等腰直角三角形定理以及勾股定理之间有着紧密的联系。
通过运用这些定理，我们可以更好地理解垂径定理的应用，并解决一些复杂的几何问题。
在学习垂径定理时，我们还需要注意一些容易出错的地方。
例如，我们在判断两条直线是否垂直时，不能只通过一个垂直线段的长度是否相等来判断，还需要考虑这个线段是否垂直于另一条直线。
初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它指出：
如果一条直线垂直于圆的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。
下面我们来总结一下这个定理的具体内容和证明方法。
一、圆垂径定理的具体内容：
对于任意一个圆，如果有一条直线垂直于圆上的一条弦，那么这
条直线就称为这条弦的垂径。
垂径与弦的关系是：垂径通过弦的中点，并且垂径两端与圆相交的点与该弦两端与圆相交的点构成的四个点构
成一个矩形。
二、圆垂径定理的证明方法：
1. 首先，连接圆心和垂足，将圆垂径问题转化成一个三角形和
一个圆交点的问题。
2. 然后，通过割圆等分弧的方法，证明垂线与弦长度相等。
3. 最后，根据直角三角形的性质，证明垂足在弦的中点上。
三、圆垂径定理的应用：
圆垂径定理在数学中有广泛的应用，例如：
1. 计算圆弧长度和面积，特别是在环形的测量问题中应用。
2. 解决不同形式的分割问题，例如分割圆弧使其长度达到所需
大小的问题。
3. 通过圆垂径定理，证明圆心角定理，从而推出其他的几何定理。
综上所述，初中九年级圆垂径定理是数学中的重要定理之一。
通
过学习和掌握这个定理，我们可以更好地理解和应用各种形式的几何
问题。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
垂径定理巧记口诀
垂径定理的巧记口诀
垂径定理的巧记口诀可以根据其内容概括为“五二三或知二推三”。
具体来说，垂径定理包含五点内容：过圆心的直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的两条弧、平分弦（不是直径）垂直于弦。
其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。
例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧，则弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。
此外，垂径定理还可以通过实际操作进行巧记。
具体操作如下：在纸上画一圆，标明直径AB；沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；打开，连接C、D；把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC 与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合。
由此可得出：若AB是直径，且AB垂直于CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。
以上是垂径定理的巧记口诀和操作方法，通过这些方法可以更好地理解和记忆垂径定理。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
(完整版)圆的垂径定理及推论知识点与练习
圆的垂径定理及其推论知识点与练习（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
若CE=DE ，AB是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC =⌒AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长。
解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题意得，∵⌒ AB = 31×360º=120º ∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习一、选择题1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A 、CM=DMB 、∠ACB=∠ADBC 、AD=2BD D 、∠BCD=∠BDCGA A（1题图） （2题图） （3题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）A 、2.0mB 、2.3mC 、4.6mD 、6.9m3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）A 、1cmB 、 cmC 、 cmD 、2cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、⌒ BC =⌒BD（题5） （题6）6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）A 、9cmB 、6cmC 、3cmD 、1cm 二、填空题有 条相等的弧。
初三数学浙教版寒假复习垂径定理知识点
初三数学浙教版寒假复习垂径定理知识点垂径定理指的是垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，今天我们要复习的内容就是垂径定理知识点，希望对大家提升成绩有帮助，快来看看吧。
知识点
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
课后练习
若过圆o内一点p的最长的弦为10,最短的弦长为8,求op的长。
解析：
最长弦为直径设为AB=10
最短弦为垂直该直径的弦设为CD=8
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦
则CP=4，OC=半径=5
根据勾股定理OP=√(OC²-CP²)=3
垂径定理知识点的全部内容就是这些，更多的精彩内容会持续为大家更新，预祝大家可以在寒假中更快更好的提升自己。
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中学垂径定理总结归纳 一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm答案：D★★6．下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米O图 4E DCBA答案：63 cm★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：63 cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm答案：5★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：217★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=BAPOyx答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cmPBAO答案：6★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米答案：5★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。
若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 cm答案：3★★★21．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为答案：8或2★★★22．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为ODA BC答案：23★★★23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值为_________答案：3三.解答题★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长答案：26★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小答案：（1）253（2）060★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度ABDOBCA答案：40★★4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．答案：8★★5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长ＯＡＢOCADB答案：254★★★10．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．答案：30★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）答案：27.9★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.答案：253★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图CA BO5所示。
请你帮他们求出滴水湖的半径。
答案：1442.5★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了A ,B 两点并连接AB ，在劣弧AB 上取中点C 连接CB ，经测量45=BC 米， 87.36=∠ABC °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（87.36sin °60.0≈，87.36cos °80.0≈，87.36tan °75.0≈）答案：2512★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7★★★16．已知：如图，AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是»AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 cm ，2EF =cm.（1）求AO 的长；（2）求sin C 的值.CA BA B O答案：（1）5 （2）45★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，求正方形CDEF面积。
答案：23四.证明题★★1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。
求证：OC=OD答案：略★★2．如图，AB是⊙O的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．求证：AD＝DC答案：略★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BDABCDOEFBADCO·答案：略★★★4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．求证：PA=PC答案：略★★★5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC答案：略★★★6．已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）»»AE EC答案：略五.作图题★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．O PBACDODCPAB。