北师大版必修5高中数学第1章 数列章末小结导学案(二)
高中数学第1章数列章末小结导学案
北师大版必修5
个性笔记【学习目标】
1.复述等差、等比数列的定义；
2.归纳等差、等比数列的通项公式及前n项和公式；
3.整理等差、等比数列的相关性质．
4.能在具体问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用相关知识解决
相应问题；
5.体会等差数列及等比数列与一次函数、指数函数的关系。
【学习重点、难点】
重点：1.等差、等比数列的定义及公式；2.等差、等比数列的性质；3.已知S n 求数列的通项a n.
【考纲要求】
2.阅读课本、整理笔记，总结本章中解题的基本方法；
3．请制作本章节知识框图。
（相信自己能行！)
（二）学习探究
（Ａ）探究1
1. 已知数列{a n}中a n-a n-1=2(n≥2),且a1=1,则这个数列的第10项为。
2. 已知等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则
a n=
（C ）探究3 设数列{a n }的前n 项和为s n ，点（n, n
s n
）(n ∈N +)均在函数y=3x-2的图像上。
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设1
3
n n n b a a +=，求是数列{b n }的前n 项和n T 。
（三）当堂检测
（B ）1．设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13，且a 1=1，s n 为其前n 项和则中最大
的是前 项和。
（B ）2．首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 。
（B）3．已知数列{a n}满足
,
1
1
20
2
1
21,1
2
n n
n
n n
a a
a
a a
+
⎧⎛⎫
≤
⎪
⎪⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫
⎪-≤
⎪
⎪⎝⎭
⎩
＜
＜
若a1=
6
7
，则a8的值是。
（四）课后作业
复习参考题一第38页A组题.
（五）学后反思
本节课你学到哪些知识？请写下来，与组内的同学分享.
总结反思
总结反思。
高中数学 第一章 数列复习导学案 北师大版必修5
学习目标1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .学习过程一、课前准备(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++.※ 典型例题例1在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.三、总结提升※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 当堂检测1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是。
高中数学必修五北师大版 数列章末小结 导学案
（B） 2．首项为-24 的等差数列，从第 10 项开始为正数，则公差 d 的取值范围 是 。
1 2an, 0 an＜ 2 6 （B）3．已知数列{an}满足 an 1 若 a1= ，则 a8 的值是 1 7 2an 1, an＜1 2
高中数学 第 1 章 数列章末小结导学案 北师大版必修 5
【学习目标】 1. 复述等差、等比数 列的定义； 2. 归纳等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式； 3. 整理等差、等比数列的相关性质． 4. 能在具体问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用相关知识解决 相应问题； 5. 体会等差数列及等比数列与一次函数、指数函数的关系。 【学习重点、难点】 重点：1.等差、等比数列的定义及公式；2.等差、等比数列的性质；3.已知 S n 求数列的通项 an. 【考纲要求】 个 性 笔 记
2.阅读课本、整理笔记，总结本章中解题的基本方法；
3．请制作本章节知识框图。 （相信自己能行！
)
（二）学习探究 （Ａ）探究 1 1. 已知数列{an}中 an-an-1=2(n≥2),且 a1=1,则这个数列的第 10 项为 。
2. 已知等差数列{an}中，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则 an=
（C）探究 3 设数列{an}的前 n 项和为 sn，点（n, 的图像上。 （1）求数列{an}的通项公式；
sn ）(n N+)均在函数 y=3x-2 n
（2）设 bn
3 ，求是数列{bn}的前 n 项和 Tn 。 an an 1
（三）当堂检测 （B）1．设等差数列{an}满足 3a8=5a13，且 a1=1，sn 为其前 n 项和则中最大 的是前 项38 页 A 组题.
北师大版高中数学必修五第一章数列小结与复习教案
北师大版高中数学必修五第一章数列小结与复习教案一、数列的概念及相关知识点1.数列的定义：按照一定的顺序排列的一组数。
2.数列的表示：一般表示为{a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...}或者(a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...)，其中a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...依次称为数列的项，a₁称为数列的首项，aₙ称为数列的第n项。
3.数列的分类：-等差数列：差值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)d。
-等比数列：比值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁q^(n-1)。
-幂次数列：各项是公比的幂次方的数列。
-斐波那契数列：前两项为1，从第3项开始，每一项都等于前两项的和。
-拍数列：数列以递增或递减的方式排列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)bₙ。
4.数列的前n项和：-等差数列：Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列：Sₙ=(a₁*(q^n-1))/(q-1)，当，q，<1时，Sₙ=a₁/(1-q)。
-幂次数列：Sₙ=(aₙ*q-a₁)/(q-1)。
-斐波那契数列：Sₙ=Fₙ₊₂-1-拍数列：Sₙ=(n*(a₁+aₙ))/2二、数列的综合性题目解法与常用技巧1.求等差数列的和时，如果不能确定Sₙ的公式，则可以考虑用递推公式Sₙ=Sₙ₋₁+aₙ来求解。
2.求证一些结论时，可以尝试先计算前几项得出猜想，然后再进行严格的数学证明。
3.涉及等差数列与等差中项，常使用等差中项的性质：中项等于首项与末项的平均数。
4.利用等差数列的性质进行特殊的构造：例如构造等差数列a,a+d,a+2d，可以进行各种相加，相减和相乘操作。
5.利用平方差公式代数化简计算等差数列时，注意式子的变换与运算。
6.求证题目中如果存在级数或者级数之差的求和，可以考虑用数学归纳法进行证明。
三、教学重点与难点1.教学重点：数列的基本概念与常见分类，数列的各种公式与常用技巧，数列的前n项和公式的推导。
2.教学难点：利用数列的概念与公式解决实际问题，数学证明的推导与展示。
数学北师大版高中必修5北师大版高中数学必修5第一章《数列》第十四课时 数列小结与复习(二)
第十四课时 第一章 数列小结与复习（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题；⑵提高运算速度和运算能力。
2、过程与方法：⑴精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤；⑵在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力。
3、情感态度与价值观：⑴在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质；⑵在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识。
二、教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点 解题思路和解题方法的优化. 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、导入新课师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a 1,a n ,d (q ),n ,S n “知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨. （二）、推进新课师 出示投影胶片1：例题1【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3，试问：是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］师 这道题涉及到两个数列｛a n ｝和｛b n ｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n ，b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于｛a n ｝是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q由已知a 1=b 1=1，a 2=b 2,a 8=b 3，可以列出方程组⎩⎨⎧=+=+2711qd q d 解出d 和q ，则a n ,b n 就确定了师 如果a n 和b n 确定了，那么a n =log a b n ＋b 就可以转化成含有a ，b ，n 的方程，如何判断a ，b 是否存在呢？生 如果通过含有n ，a ，b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a ，b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？ 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d (d ≠0)，等比数列｛b n ｝的公比为q ，则⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d 解得d =5，q =6.所以a n =5n -而b n =6 n -1，若存在常数a ，b ，使得对一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立，即5n -4=log a 6 n -1＋b即5n -4=(n -1)log a 6＋b即(log a 6-5)n ＋(b -log a 6＋4)=0.对任意n ∈N *都成立只需⎩⎨⎧=+-=-046log 056log a a b 成立解得a =661,b =1.所以存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立师 本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式.a n和b n 确定了，其他的问题就可以迎刃而解可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，并逐句分析已知条件生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x -d ，x ，x ＋d ,则x -d ＋x ＋x ＋d生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x -d ＋10， x ＋10，x ＋d ＋11，则(x ＋10)2=(x -d ＋10)(x ＋d ＋师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x ，d .板 书：解：设原计划三年的产值为x -d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为x -d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋⎩⎨⎧+=+++-=+++-.)10()11)(10(,3002x d x d x d x x d x 解得x =100，d =10，x -d =90,x +d答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d (q )，再调用有关的概念和公式求解师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{a kn }是公比为q 的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值. ［合作探究］师 题目中数列{a k n }与{a n }有什么关系？ 生 数列{a k n }的项是从数列{a n }中抽出的部分项师 由已知条件k 1=1，k 2=5，k 3=17可以知道等差数列{a n }中的哪些项成等比数列？ 生 a 1，a 5，a 17成等比数列师 要求的k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值，实质上求的是什么？ 生 实质上就是求数列{k n }的前n 项和师 要求｛k n ｝的前n 项和，就要确定数列{k n }的通项公式.应该从哪儿入手？ 生 应该从求等比数列{a k n }的公比入手.其公式为15a a师 a 5，a 1要由等差数列｛a n ｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a 1了生 如果设等差数列{a n }的公差为d ，那么a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d ，由于a 1，a 5，a 17成等比数列，则有(a 1＋4d )2=a 1(a 1＋16d )，从而a n 应该可以求出了师 请同学们把刚才的分析整理出来(投影胶片4)解：设数列｛a n ｝的公差为d ，d ≠0，则a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d 因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则 (a 1＋4d )2=a 1 (a 1＋16d )，即2d =a 1d又d ≠0，则a 1=2d所以a n =a 1＋(n -1)d =2d ＋(n -1)d =(n ＋1)d因为数列{a k n }的公比为q ，则3)11()15(15=++==dda a q所以a k n =a k 1·3 n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1.又a k n =(k n +1)d ,则2d ·3 n -1＝(k n +1)d .由d ≠0，知k n =2·3 n -1-1(n∈N *).因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n =2·3 0-1＋2·31-1＋2·32-1＋…＋2·3n -1-1=2(30＋31＋32＋…＋3n -1)-n =2·133-n -n =3n -n -1.师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝(1)求数列{bn }的通项b n ；设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与3log 1+n a b 的大小，并证明你的结论. ［合作探究］师 数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步请同学们快速准确地求出b n生 快速求解(1)解：设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝b 1＋21×10×(10-1)d ＝解得b 1＝1,d ＝∴b n ＝3n -师 在下一个问题中，数列{a n }与数列{b n }具有什么关系呢？数列{a n }具有什么特征？ 生 数列{a n }是由数列{b n }生成的一个新的数列？ 由a n ＝log a (1＋n b 1)＝log a (1+231-n )，可知数列{a n }不是特殊数列师 题中比较S n 与3log 1+n a b 的大小，你现在能作出预料吗？ 生 不能，S n 是什么样子还不清楚.需要得出S n ，才能进一步思考师 那就请同学们先把S n 求出来生 写出S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n发现式中的那个积不太好处理师 能不能现在就和3log 1+n a b 联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？生 因为3log 1+n a b =log a 313+n ，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？ 生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题(投影胶片6)(2)解:由b n ＝3n -2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n3log 1+n a b =log a 313+n 因此要比较S n 与3log 1+n a b 的大小，可先比较(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )与313+n 的大小取n ＝1，有(1＋1)＞3113+⨯取n ＝2，有(1＋1)(1+41)＞3123+⨯由此推测(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考下面对(*)式加以证明： 证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )(1+131+n )=21×45×78×…×2313--n nD n ＝313+n再设nn C n n B n n 313...9106734,133...895623+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=∵当k ∈N 时，121+++k k k k ＞恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A n 3＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D n 3.∴A n ＞D n即(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 成立由此证得：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b证法二：∵2313...710471413-+⨯⨯⨯⨯=+n n n因此只需证1＋231-k ＞332313-+k k 对任意自然数k 成立即证2313--k k ＞332313-+k k ,也即(3k -1)3＞(3k ＋1)(3k -2)2,即9k ＞该式恒成立，故1＋231-k ＞332313-+k k取k ＝1，2，3，…n 并相乘即得A n ＞D n .师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用（三）、课堂小结：等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q )，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒（四）、布置作业：复习参考题一 A 组15、16 B 组7 C 组1、2五、教后反思：。
【新文案】北师大版高中数学必修5全册导学案
三 巩固 练 习
1. 一个等差数列中， a15 33， a25 66 ，则 a35 （
）.
A. 99 B. 49.5 C. 48
D. 49
2. 等差数列 an 中 a7 a9 16 ， a4 1 ，则 a12 的值为（
）.
A . 15
B. 30
C. 31
D. 64
3. 等差数列
an
中， a3 ， a10 是方程
8. 等差数列 { an } 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（
）.
A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
9. 在等差数列中，公差 d＝ 1 ， S100 145 ，则 a1 a3 a5 ... a99
.
2
四 课后 反 思
五课后巩固练习 1. 数列｛ an ｝是等差数列，公差为 3， an ＝ 11，前 n 和 Sn ＝ 14，求 n 和 a3 .
n(n 1) C.
2
n( n 1) D.
2
）. an （
. ）.
四 课后 反 思
五课后巩固练习
（1）写出数列 22 1 ， 32 1 ， 42 1 ， 52 1 的一个通项公式为
.
2
3
4
5
1.c o M
（2）已知数列 3 ， 7 ， 11 ， 15 ， 19 ，… 那么 3 11 是这个数列的第
项.
an
an 2
b ，求这个数列的第四项和第五项
.
4
cn
变式 ：已知数列 5 ， 11 ， 17 ， 23 ， 29 ，…，则 5 5 是它的第
项.
练 1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前
北师大版必修5高中数学1.1数列求和(2)导学案(二)
【学习目标】 1. 熟记数列 求和的五种方法：公式求和法，分组求和法，倒序相加法，裂项 相消法，错位相减法。 2. 能够对简单的数列求和问题进行分析、辨认，并选择正确的方法求解 【学习重点】 3. 重点：裂项相消法，错位相减法。 【学法指导】 自己通过查询资料，搜集整理裂项相消法，错位相减法的相关内容，并与 组内同学交流形成共识后完成基础学习。 【使用说明】
当堂检测 （A） 1、 已 知等差数列 an 满足：a3 7 ，a5 a7 26 . an 的前 n 项和为 Sn . （1） 、求 an 及 Sn ； （2） 、令 bn
1 （ n N ）,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . an 1
2
2
(C)3 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn， 且 bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且 a5 ＝14，a7＝20. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝an·bn(n＝1，2，3…)，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，求 Tn.
Tn＝ －
7 2
1 3n－1 . n－2－ n 2·3 3
4
总结反思
5
6
总结反思
7
个 性 笔 记
（Ｂ） 2、错位相减法的适用范围是？
（一） 学习探究
（Ａ）探究一
1 已知数列 an 的通项 an = n(n 1) ，求数列的前 n 项和 sn.
(提示：本小题用裂项相消法)
1
（B）探究二
已知数列 an 的通项 an =n•3 , 求数列的前 n 项和 sn.
nபைடு நூலகம்
(提示：本小题用错位相减法)
（ 三）教与学反思 本节课你有哪些收获？请写下来，与组内的同学分享
北师大版高中数学必修5第一章《数列》等差数列(二)
课堂小结 课堂小结 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会 有何体会？ 师 通过今天的学习，你学到了什么知识 有何体会？ 通过今天的学习,明确等差中项的概念 明确等差中项的概念;进一步熟练 生 通过今天的学习 明确等差中项的概念 进一步熟练 掌握等差数列的通项公式及其性质. 掌握等差数列的通项公式及其性质 (让学生自己来总结，将所学的知识 结合获取知识的 让学生自己来总结， 让学生自己来总结 将所学的知识,结合获取知识的 过程与方法，进行回顾与反思， 过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的 整合,培养学生的概括能力和语言表达能力 培养学生的概括能力和语言表达能力) 整合 培养学生的概括能力和语言表达能力 布置作业课本习题1-2 A组9，B组1 布置作业课本习题 组 ， 组 预习内容：课本下节内容；预习提纲： 预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的 项和公式； 等差数列前n项和的简单应用 项和的简单应用。 前n项和公式；②等差数列前 项和的简单应用。 项和公式 教后反思： 五、教后反思：
通项公式的应用： 通项公式的应用： ①可以由首项和公差求出 等差数列中的任意一项； 等差数列中的任意一项； ②已知等差数列的任意两 项，可以确定数列的任意 一项。 一项。
a+b A= ⇔ 2A = a + b 有 ____________________ 2
如果在 a 和 b 之间插入一个数 A，使 a、A、b 成等差数列， ， 、 、 成等差数列， 等差中项 。 则 A 叫做 a、b 的__________。 、
(4). 1，2，3，2，3，4，……； 1， ……； 不是 (5). 0，0，0，0，0，0，…… 0， 是d=0 (6). a, a, a, a, ……； ……； 是d=0
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 本章小结建议》
第一章《数列》单元总结数列求和（专题复习）-----------蒙城第六中学 曹雪芹目标：1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式2、掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法重点：掌握由数列通项公式求数列的前几项和的方法难点：非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和以及应用。
利用裂项相消法、错位相减法求数列的前几项和；高考定位：一、 复习引入上节课我们学习了哪些求和公式？ （1）等差数列 （2）等比数列二、数列求和的常用方法探究探究：（前一天布置的思考题）学生分析各题通项特点，归纳求和方法（1）=-+++++)12(7531n{}n a ()11n a a n d =+-()()11122n n n n n a a s na d -+=+={}na 11n n a a q -=()11,11,11n n na q s a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（2）=++++n 21814121 （3）=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++++n n 21)12()815()413()211(（4）()11234561(n n n +-+-+-++-⋅为偶数） （5）=⨯-++⨯+⨯+⨯n n 21)12(815413211（6）=+++⨯+⨯+⨯)2(1531421311n n小结：求数列 的前n 项和 的步骤： （1）找（或求）通项 （2）分析通项 的结构（3）选择相应的解法：公式法（等差、等比数列）分组求和法（不同类型数列相加）并项求和法（可两两结合求解）裂项相消法（通项可拆成两项之差）错位相减法（等差乘等比） （4）求三、热点互动探究：连接高考（2021山东）已知等差数列{}n a 满足：{}n a a a a ,26,7753=+=的前n 项和n S1求n a 及n S（2）令)(112*∈-=N n a b n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T 引申：（3）令n n n a c 4=，记{}911,<n n n G G n c 求证：项和为的前 na na ns n s（4）的取值范围恒成立，求对一切，若项和为的前记k N n k F F n S n n n *∈≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧1分析：本题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理能力、等价变形和运算能力。
高中数学 第一章 数列 归纳总结2学案 北师大版必修5
第一章数列归纳总结专题探究专题1 数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式.根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：1.知S n求a n［例1］（1）已知数列{a n}的前n项和S n=(-1)n+1n,求a n;（2）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n,求a n.S1（n=1）［分析］利用a n= ，求数列{a n}的通项公式.S n-S n-1 (n≥2)［解析］(1)当n≥2时，a n=S n-S n-1=(-1) n+1n-(-1) n(n-1)=(-1) n(1-2n),当n=1时，a1=S1=(-1) 2×1=1,适合上式.∴a n=(-1) n(1-2n).(2)当n≥2时，a n=S n-S n-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时，a1=S1=3+21=5,不满足上式.5 (n=1)∴a n= .2n-1(n≥2)［说明］已知S n求a n,即已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是a n=S n-S n-1 (n≥2),这里常忽略了条件n≥2而导致错误，因此必须验证n=1时是否成立，若不成立，则S1（n=1）通项公式只能用分段函数a n= 来表示.S n-S n-1（n≥2）变式应用1 （1）已知数列｛a n｝的前n项和S n=n2+3n+1,求通项a n;(2)已知数列｛a n｝的前n项和S n=3n+2n，求通项a n.［解析］(1)当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+3n+1-(n-1) 2-3(n-1)-1=2n+2,又n=1时，a1=S1=5不满足上式.5 (n=1)∴a n= .2n+1 (n≥2)（2）当n≥2时，a n=S n-S n-1=3n+2n-［3n-1+2(n-1)］=2·3n-1+2=2(3n-1+1)又n=1时，a1=S1=5不满足上式，5 (n=1)∴a n= .2(3n-1+1) (n≥2)2.累加法［例2］ 已知a 1=1,a n+1-a n =2n-n ,求a n .［分析］ 当n ≥2时，a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1),而a 2-a 1=21-1,a 3-a 2=22-2,…,a n -a n-1=2n-1 -(n -1),层层累加就可以求出a n .［解析］ ∵a n+1-a n =2n -n ,∴a 2-a 1=21-1,a 3-a 2=22-2,a 4-a 3=23-3,…a n -a n-1=2n-1-(n -1).∴当n ≥2时，有a n -a 1=(2+22+…+2n-1)-［1+2+3+…+(n -1)］. ∴a n =(1+2+22+…+2n-1)-2)1(-n n =2n -2)1(-n n -1，a 1=1也适合上式. ∴数列{a n }的通项公式a n =2n -2)1(-n n -1. ［说明］ 已知a 1且a n+1-a n =f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法求a n .变式应用2 已知｛a n ｝中，a 1＝1，且a n+1-a n =3n (n ∈N +),求通项 a n .［解析］ ∵a n+1-a n =3n (n ∈N +),∴a 2-a 1=3,a 3-a 2=32,a 4-a 3=33,……a n -a n-1=3n-1 (n ≥2)，以上各式相加得a n -a 1=3+32+33+…+3n-1 =31)31(31---n =23n -23, ∴a n =a 1+23n -23=23n -21 (n ≥2). 又a 1=1满足上式，∴a n =23n -21 (n ∈N +). 3.累乘法［例3］ 在数列{a n }中，已知a 1=1，a n+1=2n a n ,求a n .［分析］ 由a n+1=2n a n ,可得n n a a 1+=2n ,于是12a a =2, 23a a =22, 34a a =23,…, 1-n n a a =2n-1,将上面各式相乘，便可求出数列{a n }的通项公式. ［解析］ 由a n+1=2n a n ,得nn a a 1+=2n ,∴12a a =2, 23a a =22, 34a a =23,…, 1-n n a a =2n-1.将上述(n -1)个式子相乘， 得12a a ·23a a .34a a (1)-n n a a =2·22·23·…·2n-1, ∴a n =a 1×21+2+3+…+(n -1) =22)1(-n n .［说明］ 已知a 1且nn a a 1+=f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法求a n . 变式应用3 已知数列｛a n ｝,a 1=31,前n 项和S n 与a n 的关系是S n =n (2n -1)a n ,求通项a n .［解析］ ∵S n =n (2n -1)a n , ∴S n-1=(n -1)(2n -3)a n-1 (n ≥2)， 两式相减，得a n =n (2n -1)a n -(n -1)(2n -3)a n-1 (n ≥2)， 即（2n +1）a n =(2n -3)a n-1, ∴1-n n a a =1232+-n n . ∴12a a =51,23a a =73,9534=a a ,……12321+-=-n n a a n n(n ≥2)，以上各式相乘，得 )12)(12(31-+=n n a a n ,又∵a 1=31,∴a n =)12)(12(1-+n n (n ≥2).a 1=31满足上式，∴a n =)12)(12(1-+n n (n ∈N +). 4.构造转化法［例4］ 在数列{a n }中，a 1=1,a n+1=32a n+1,求a n . ［分析］ 通过整理变形，进而构造等比数列，由等比数列的通项间接求数列{a n }的通项公式. ［解析］ 由已知得a n+1-32a n =1,① ∴a n -32a n-1=1(n ≥2), ② ①-②，得a n+1-a n =32 (a n -a n-1). 令b n =a n+1-a n ,则1-n n b b =32, ∴{b n }为等比数列，公比为32, b 1=a 2-a 1=32a 1+1-a 1=32, ∴b n =32×（32）n-1=（32）n ,即a n+1-a n =（32）n , ③由①③得a n =3-3×（32）n . ［说明］ 已知a 1且a n+1=pa n +q (p,q 为常数)的形式均可用上述构造法，特别地，若p =1，则{a n }为等差数列；若q =0,p ≠0，则{a n }为等比数列. 变式应用4 已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=3a n +2(n ∈N ＋).求数列｛a n ｝的通项公式. ［解析］ ∵a n+1=3a n +2(n ∈N +), ∴a n+1+1=3(a n +1), ∴111+++n n a a =3(n ∈N +). ∴数列｛a n +1｝是以a 1+1=2为首项，3为公比的等比数列.∴a n +1=2·3n-1,∴a n =2·3n-1-1(n ∈N ＋).。
北师大版高中数学必修五数列的概念教案(2)
课题: §2.1数列的概念与简单表示法●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。