九年级数学上册 22.1 一元二次方程(第1课时)课件 新人教版
陕西省山阳县城关镇第二初级中学人教版数学九年级上册22.1二次函数的图象和性质课件(共24张PPT)
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
2
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
m2-7 例2、y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
人教版数学初三上册课件：二次函数
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④
y
1 x2
不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
二 二次函数定义的应用
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知,m2 7 1, 解得 m= 2 2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即
k 2 3k 4 2,
解：（1）由题意，得
k 1 0,
解得 k=2;
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版.ppt
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
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第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数 数学活动 复习题22 23.1 图形的旋转 信息技术应用 探索旋转的性质 阅读与思考 旋转对称 小结 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
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第二十二章 二次函数
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22.1 二次函数的图象和性质
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22.2 二次函数与一元二次方程
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21.3 实际问题与一元二次方程
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数学活动
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小结
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复习题21
第二十一章 一元二次方程
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21.1 一二次方程
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21.2 解一元二次方程
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阅读与思考 黄金分割数
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信息技术应用 探索干净函数的 性质
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22 一元二次方程
22.1一元二次方程（第1课时）1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .22.1一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .22.2.1配方法（第1课时）1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 .开平方，得，- 1 -x1= ，x2= .3.填空：(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2；(2)x2-2·x·6+ =(x- )2；(3)x2+10x+ =(x+ )2；(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.课外补充作业：6.填空：(1)x2-2·x·3+ =(x- )2；(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2；(3)x2-4x+ =(x- )2；(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= . 8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.22.2.1配方法（第2课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .2.填空：(1)x2-2·x·13+ =(x- )2；(2)x2+5x+ =(x+ )2；(3)x2-32x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2.3.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-x-74=0.解：移项，得 .配方， .开平方，得，x1= ，x2= .4.完成下面的解题过程：- 2 -用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.22.2.1配方法（第3课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.22.2.2公式法（第1课时）1.完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：x2+x-6=0.解：a= ，b= ，c= .b2-4ac== ＞0.=_________，1x=_________，1x=__________.2.利用求根公式解下列方程：(1)21x=04；- 3 -- 4 -(2)24x ；(3)3x 2-4x+2=0.22.2.2公式法（第2课时） 1.完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程：(1)2x 2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.=_________，1x =_________，1x =__________.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = .=_________，12x =x =_________.(3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＜0.方程 实数根.2.利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x 2-5x=-7；(2)(x-1)(2x+3)=x ；(3)x 2x.22.2.3因式分解法（第1课时） 1.完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3) 解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＞0.x=__________________=______， 1x =_________，2x =__________.2.完成下面的解题过程：用因式分解法解方程：x2解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .3.用因式分解法解下列方程：(1)x2+x=0；(2)4x2-121=0；(3)3x(2x+1)=4x+2；(4)(x-4)2=(5-2x)2. 22.2.3因式分解法（第2课时）1.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、 .2.完成下面的解题过程：(1)用直接开平方法解方程：2(x-3)2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)用配方法解方程：3x2-x-4=0；解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ，x2= .(3)用公式法解方程：x(2x-4)=2.5-8x.解：整理，得 .a= ，b= ，c= .b2-4ac== ＞0.=_________,x1= ，x2= .(4)用因式分解法解方程：x(x+2)=3x+6.解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)(2x+3)2=-2x；- 5 -(2)(2x+3)2=4(2x+3)；(3)(2x+3)2=6.课外补充作业：3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：(1)(2x-3)2=25；(2)(2x-3)2=5(2x-3)；(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程：x2+2x-1=0.22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）1.完成下面的解题过程：一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.解：设一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.根据题意列方程，得.整理，得 .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，(1)求菱形的两条对角线长；(2)求菱形的周长.（提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）- 6 -22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）1.填空：(1)扎西家2006年收入是2万元，以后每年增长10％，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元；(2)扎西家2006年收入是2万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元.2.完成下面的解题过程：某公司今年利润预计是300万元，后年利润要达到450万元，该公司利润的年平均增长率是多少？解：设该公司利润的年平均增长率是x.根据题意列方程，得.- 7 -解方程，得x1≈，x2≈（不合题意，舍去）.答：该公司利润的年平均增长率是 %.3.某公司今年利润预计是300万元，设该公司利润的年平均增长率是x，填空：(1)明年该公司年利润要达到万元；(2)后年该公司年利润要达到万元；(3)第三年该公司年利润要达到万元；(4)第十年该公司年利润要达到万元.第二十二章一元二次方程复习（第1、2、3课时）1.填空（以下内容是本章的基础知识，是需要你理解的，先直接用铅笔填，想不起来再在课本中找）(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程. (2)ax2+bx+c=0这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.(3)能使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的 .(4)一元二次方程的四种解法是：直接开平方法、、、.(5)一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 时，方程没有实数根. (6)b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的，用来表示.(7)利用一元二次方程解决实际问题的步骤是：审题，，，， .2.填空：(1)把(x+2)(x-5)=1化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(2)把(x+3)(x-3)=5x2-2化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(3)已知一元二次方程x2-kx+2=0的一个根是-3，则k= .(4)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.根据这个问题，可以列出的方程是 .(5)x2+12x+ =(x+ )2，x2-43x+ =(x- )2.(6)在方程①3x2，②5x2，③8x2=3x-1中，没有实数根的是，有两个不相等的实数根是，有两个相等的实数根是 .(7)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，则经过两轮传染后，共有人得流感.(8)经过两年的努力，某村的青稞亩产由250千克达到300千克，求每年的平均增长率x.根据这个问题，可以列出的方程是.3.完成下面解题过程：(1)用直接开平方法解方程：4(x+2)2-9=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)用配方法解方程：x2+2x-4=0；解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .(3)用公式法解下列方程：2x(x-1)=3(x+1)；解：整理，得 .a= ，b= ，c= .b2-4ac= = ＞0.- 8 -- 9 -=_________，1x =_________，2x =__________. (4)用因式分解法解方程：(2x-3)2=x 2.解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得或 ， x 1= ，x 2= .4.用适当的方法解下列方程：(1)196x 2-1=0；(2)x 2+8x=0；(3)x(2x-5)=4x-10；(4)x(x-7)=1；(5)2x 2+3x+3=0；(6)4x 2+12x+9=81.5.一元二次方程kx 2-2x+1=0，填空：(1)当k 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当k 时，方程有两个相等的实数根；(3)当k 时，方程没有实数根. 6.把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.7.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由4％降至2％，平均每次降息的百分率是多少？8.一个直角梯形的下底比上底大2cm ，高比上底小1cm ，面积等于8cm 2，求这个直角梯形的周长.。
人教版九年级数学上册第22章：二次函数y=ax2的图象和性质
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用．（重点）
复习引入
1.一次函数的图象是一条 直线 . 2.通常怎样画一个函数的图象？
1.函数y=2x2的图象的开口 向上 ,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
随堂即练
y
O
x
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
新课讲解
(2)解：∵点B的坐标为（2,0）, ∴当x＝2时,y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8）,BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它
们的对称轴, ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边
空白部分面积,∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法归纳
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部 分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象 中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或 全部为降),根据图象中函数值高低去比较；对于求不规 则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为 规则图形以方便求解．
Байду номын сангаас
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2020秋七彩课堂初中数学人教版九年级上册教学课件22.1.1 二次函数
素养目标
22.1 二次函数的图像和性质/
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函 数是否是二次函数.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质/
2. y (a 1)x a 1是二次函数，求常数a的值.
解：根据二次函数的定义，得
a 1 2 a 1 0
解得a=-1.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质/
知识点 2 根据实际问题确定二次函数解析式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将 文字语言转化为符号语言； ②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次 函数关系式，并化成一般形式； ③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.
(7) y=x²+x³+25 （否） (8) y =2²+2x
自变量的最高次数是3
（否） 自变量的最
高次数是1
探究新知 素养考点 2
22.1 二次函数的图像和性质/
利用二次函数的定义求字母的值
例2 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数, 求
m的值.
解: 由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0 解得 m=2. 因此当m=2时，函数为二次函数.
定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再 经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两年后的产量为
新人教版九年级上册初中数学 22-2二次函数与一元二次方程 教学课件
新课讲解
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
例 1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行 高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
O
t
t1=0，t2=4.
当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.
即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面.
第九页，共三十二页。
新课讲解
已知二次函数值 求自变量的值
y取定值
一元二次方程
求相应的一元二 次方程的根
第十页，共三十二页。
新课讲解
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时为一元二 次方程?
解：
(1)如图所示. (2) 由 图 象 可 知 ， 铅 球 推 出 的 距 离为10.
第三十二页，共三十二页。
新课讲解
(2)球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程：20=20t-5t2， t2-4t+4=0， t1=t2=2.
20 h O
当球飞行2 s时，它的高度为20 m.
2
t
为什么只在一个时间球 的高度为20 m？
第七页，共三十二页。
新课讲解
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？如果能，需要多少飞行时间？
o
x
第十七页，共三十二页。
新课讲解
练一练
已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 -x2+2x=-
19年秋人教版九年级数学《第22章二次函数》PPT课件
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
知识要点
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
交流讨论
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
y
1.y＝x2是一条抛物线;
y=x2
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比 赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个球队n要与其他 n-1 个球队各比赛 一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同
一场比赛，所以比赛的场次数
.
答： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关 系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为相反数，
开口相反，大小相同，
它们关于x轴对称.
O
x y=-ax2
二 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》公开课课件_1
5、定解:写出原方程的解
用配方法解下列方程
1x2 8x 9 0 2x2 2x 4 0
3x2 4x 4 0
用配方法解下列方程
1x2 8x 9 0
解：移项，得 x2+8x=9,
两边都加上42，配方得 x2+8x+42=9+42,
1、把方程x2+6x+5=0转化成(x十m)2＝n的形式，
则m、n的值分别为（ A ）
A、3，4 B、－3，－4 C、4，3
D、－3，4
2、将二次三项式x2－4x－5=0配方后得（ C）． A、（x－2）2 =1 B、（x－2）2 =7
C、（x－2）2 =9 D、（x+2）2 =9
3、（2015年广东） 解方程： x2 3x 2 0
解：（1）移项，得
x2 4x 4
配方
x2 4x 22 4 4
x 12 3
x 22 0
因为 -3<0
原方程无实数根。
x1 x2 2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方
转化成 x n2 p
的形式，那么就有：
（1）p>0 方程有两个不等的实数根; （2）p=0 方程有两个相等的实数根; （3）p<0 方程无实数根.
求解
像这样，通过配成完全平方形式来解一
元二次方程的方法，叫做配方法。
一元二次方程 降次
一元一次方程
配方法步骤：
移项
1、移项:把常数项移到方程 的右边;
两边加上32,使左边配成
完全平方式
2、配方:方程两边都加上 一次项系数一半的平方;
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一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为ax2bxc0的形式,我们把 ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例题讲解
x22x48 0
本课小结
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bxc0 的形式,我们把 ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2 4x2 81
一般式： 4x2 810.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
课内练 习
3 4 x x 2 2 5 ； 4 3 x 2 x 1 8 x 3 . 3 4xx225
一般式： 4x28x250.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100 －2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为 3600cm2，得 （100－2x）（50－2x）=3600.
x
整理，得 4x2－300x+1400=0.
化简，得 x2－75x+350=0 . ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
想一想
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常 数项为－10.
课内练 习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5 x 2 1 4 x ； 2 4 x 2 8 1 ；
15x214x
一般式： 5x24x10.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
解：（1）设其边长为x，则面积为x2
课内练 习
4x2=25
x 2 25 4
x 25 4
x5或x5(舍去 )
2
2
（2）设长为x，则宽（x－2）
x(x－2)=100. x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x）
x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0.
(4) x2x22120
22.1 一元二次方程（第1课时）
问题情景(1)
想一想:要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部 (腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全 部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
AC BC 即 BC2 2AC BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
4 3 x 2 x 1 8 x 3
一般式： 3x27x10.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
课内练 习
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元 二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方 形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全 长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x； （4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差 2，求较长的直角边长x．
x22(2x)
A
2-x
C
x
B
整理得 x22x40
引言 中的方程
x2＋2x－4=0
①
有一个未知数x，x的最高次数是2， 像这样的方程有广泛的应用，请看 下面的问题．
想一想
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm， 在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部
分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方 盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正 方形？
➢例1判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x 2 5y 3
（2） x2 4
（3） x2 1 x2
x 1
（4） x24(x2)2
?
例题讲解
例2: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数 项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方 程的一般形式：
1 xx1 x2 x56 ③
由方程③可以得出参赛队数，全部比赛共4×7＝28场.
x22x40 x27x5350 0 x2 x56
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程;
②只含一个未知数;
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要
比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每
天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各
赛比1赛场，，所由以于全甲部队比对赛乙共1队x的x 比1赛和场乙．队对甲队的比赛是同一场
2
列方程 整理，得
③未知数的最高次数是2.
探究新知:
一元二次方程的概念
➢像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
1 1 0x 9 0 00 是 一 元 二 次 方 程 吗 ？ x2