圆内接闭折线的k级垂心线长公式
人教版初三数学：垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA. 【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD是直径AC BC=AD BD=要点诠释：2.推论定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）.A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cmCD⊥ABAE=BE【思路点拨】欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA. 【答案】D；【解析】连OA，由垂径定理知13cm2AD AB==，所以在Rt△AOD中，5AO==（cm）．所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.）构成的直角三角形.举一反三：【变式1】已知AB，用直尺和圆规作这条弧的中点.【答案】如图.(1)连结AB.(2)作AB的垂直平分线CD，交AB于点E.点E就是所求作的AB的中点.【变式2】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
圆内接闭折线垂心的一个性质的推广
表明顶点1A 是顶点子集{2A 3,,A …,n A }的垂心.由(2)也可推得(1),故此命题得证.由文[2]知“圆内接闭折线的外心与垂心关于其欧拉圆心对称”,结合定理1可得.推论1设闭折线()A n 的外心为O ,顶点1A 是()A n 的欧拉圆心,则外心O 关于顶点1A 的对称点H 正是闭折线()A n 的垂心;线段1A O 的中点M 正是闭折线232n A A A A L (n ≥4)的欧拉圆心.定理2设闭折线()A n 的外心为O ,顶点1A 是()A n 的欧拉圆心,其余1n −个顶点组成两个顶点子集{2A 3,,A …,k A }和{1,k A +2,k A +…,n A } (2≤k ≤1)n −,并设这两个顶点子集的垂心分别为1H 和2H ,则线段12H H 与1A O 互相平分. 证明 设顶点i A 的坐标为(,i i x y )(i =1, 2,…,n ), 由定义知1H 和2H 的坐标分别为(22,kki i i i x y ==∑∑)和(11,n ni ii k i k x y=+=+∑∑).设线段12H H 的中点M 的坐标为(,M M x y ),由中点坐标公式得1(2M x =2ki i x =∑1)ni i k x =++∑212ni i x ==∑,由题设及定理1知12n i i x x ==∑,因此1/2M x x =,同理可得1/2M y y = .注意到O 为坐标原点(0,0),故M 也是1A O 的中点,即线段12H H 与1A O 互相平分.命题得证.注 很明显,定理2中的两个顶点子集可以是其余1n −个顶点的任意分组.在定理2中令7n =即得:推论 2 设七边形ABCDEFG 内接于圆O ,其欧拉圆心与顶点A 重合,1H 、2H 分别为△BCD 、△EFG 的垂心,则线段12H H 与AO 互相平分.定理3设闭折线()A n 的外接圆半径为R ,若顶点1A 是()A n 的欧拉圆心,则有22122(2)nii A An R ==−∑. (3)证明 设顶点i A 的坐标为(,i i x y )(i =1, 2,…,n ),由两点间距离公式得:212nii A A==∑22112[()()]ni i i xx y y =−+−∑22112()ni x y ==++∑222()nii i xy =+∑122ni i x x =−∑122ni i y y =−∑. (4)∵ 顶点i A (,i i x y )在⊙(,)O R 上, ∴ 222i i x y R +=(i =1,2,…,n ). (5) 又由题设及定理1知12ni i x x ==∑,12ni i y y ==∑. (6)把(5)、(6)代入(4)经整理得:22122(2)nii A An R ==−∑.命题得证.在定理3中令3n =即得推论3设△ABC 的外接圆半径为R ,若顶点A 是它的欧拉圆心,则有2222AB AC R +=.参考文献[1] 熊曾润.圆内接闭折线的欧拉圆及其性质.中学教研(数学),1999.11.[2] 熊曾润.圆内接闭折线的欧拉圆的若干性质.中学教研(数学),2001.11.圆内接闭折线垂心的 一个性质的推广江西宁都中学 段惠民从闭折线123n A A A A L 的n 个顶点中任意除去(1)k k n ≤<个顶点,那么其余()n k −个顶点所组成的集合,称为这条闭折线的k 级顶点子集,记为()j k V .文[1]研究了(3)j V 的一个性质.本文将其推广到k 级顶点子集,并作出更深入的分析.定理1设闭折线123n A A A A L 内接于⊙・15・(,O )R ,其垂心[2]为H ,其k 级顶点子集()j k V 的垂心为()j k H ,除去的k 个顶点为12,,j j A A 12,(1)k j k A j j j n ≤<<<≤L L 则 22()1m l j k j j m l kH H A A ≤<≤+∑22K R =(,)m l N ∈. (1)证明 在已知闭折线所在平面内以外心O 为原点建立直角坐标系(图略),设顶点i A 的坐标为(,)(1,2,,)i i x y i n =L ,垂心H 和()j k H 的坐标分别为(,)H H x y 和(,)x y ,由文[2]1nH i i x x ==∑,1nH i i y y ==∑;11n k i jt i i x x x ===−∑∑,11n ki jt i i y y y ===−∑∑.222()()()j k H H H H x x y y =−+−2211()()kkjt jt t t x y ===+∑∑.222()()jm jljm jl jm jl A A x x y y =−+−,21jm jlm l kA A ≤<≤∑221[()()]jm jl jm jl m l kx x y y ≤<≤=−+−∑ 22221[()()jmjmjljlm l kx y x y ≤<≤=+++∑2()]jm jl jm jl x x y y −+21[22()]jm jl jm jl m l kR x x y y ≤<≤=−+∑22122()k jm jl jm jl m l kC R x x y y ≤<≤=⋅−+∑. ∴22()1j k jm jl m l kH H A A ≤<≤+∑22211()()(1)kkjt jt t t x y k k R ===++−∑∑12()jm jl jm jl m l kx x y y ≤<≤−+∑2222(1)kR k k R k R =+−=. 在(1)中令1k n =−,则 ()(1,2,,)j k i H A i n ==L . 故 12222111()i ni i j i j iji j nj j i HA A A A A A A −≤<≤==++−+∑∑∑22(1)n R =−. (2) 当3n =时,取i A 为A ,得到推论1 设H 为△ABC 的垂心,R 为外接圆半径.则2224HA BC R +=.当4n =时,取i A 为A ,便得到推论2 设四边形ABCD 内接于半径为R 的圆,其垂心[2]为H ,则22222()9AH BC CD DB R +++=. 定理2 设闭折线123n A A A A L 内接于⊙(0,)R ,其垂心为H ,则2211(2)ni i j i i j nHAn A A =≤<≤+−∑∑22(1)n n R =−. (3)证明 由(2)式有22111()nnii j i i i j nHA A A ==≤<≤+∑∑∑122221111()(1)n i n ni jiji j j i i A A A A n R −===+=−+=−∑∑∑∑,22211ni i j i j i i j ni jHAnA A A A =≤<≤≠+−∑∑∑22(1)n n R =−.222211(2)(1)ni i j i i j nHAn A A n n R =≤<≤+−=−∑∑.推论3 设H 为△ABC 的垂心,R 为外接圆半径,则2222HA HB HC AB +++22BC CA ++ 212R =.本文的结论可推广到球内接闭折线,特别地.在四面体内有推论4 H 是四面体ABCD 的外1号心[3],设四面体的各棱长依次为、、、a b c 、、d e f ,外接球半径为R .则222222HA HB HC HD a b ++++++2222236c d e f R +++=.参考文献[1] 熊曾润.圆内接闭折线垂心的一个性质.中学数学.2003.12.[2] 熊曾润.平面闭折线趣探.中国工人出版社.2002.[3] 段惠民.四面体的外P 号心及其性质.数学通讯.2003.11.・16・。
垂径定理及其推论完整ppt课件
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧精的品直课件线经过圆心，并且垂直平分弦．24
小练习 C
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
等量关系：
A M└ ●O
B
AM=BM
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
D
你能用一句话表达上述
结论吗？
精品课件
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
精品课件
22
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
沪科版九年级数学24.2圆的性质-垂径定理PPT课件
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
平面闭折线的两个有趣的性质
平面闭折线的两个有趣的性质江西赣南师范学院 熊曾润本文揭示任意平面闭折线的两个非常有趣的性质.为了叙述简便起见,我们约定:(i) 符号()A n 表示任意一条平面闭折线 1231n A A A A A L ;(ii)()A n 的所有顶点组成的集合,称为()A n 的顶点全集,记作n V ,即123{,,,,}n n V A A A A =L ;(iii) 设1m n ≤<,由()A n 的任意m 个顶点组成的集合,称为()A n 的顶点子集,记作m V ,其余()n m −个顶点组成的集合,称为m V 的补集,记作m V ,即m m n V V =U .定义 在闭折线()A n 所在的平面内,以任一点P 为原点建立直角坐标系xPy ,设()A n 的顶点i A 的坐标为(,)(1,2,,)i i x y i n =L ,对任意给定的正整数k ,(1) 令11n i i x x k ==∑,11ni i y y k ==∑, ①则点(,)Q x y 称为闭折线()A n 关于点P 的k号心;(2)设m V 是()A n 的任一顶点子集,其补集m V 所含各顶点的坐标为(',')(1,2,j j x y j = ,L )n m −, 令111'(')n n m i j i j x x x k −===−∑∑,111'('),nn mi j i j y y y k −===−∑∑②则点'(',')Q x y 称为顶点子集m V 关于点P 的k 号心.按这个定义易知:圆内接闭折线关于其外心O 的1号心和2号心,就是它的垂心[1]和欧拉圆心[2];圆外切闭折线关于其内心I 的1号心和2号心,就是它的奈格尔点[3]和斯俾克圆心(即2号界心)[4].由此可知,一般平面闭折线的k 号心概念,是垂心、欧拉圆心、奈格尔点和斯俾克圆心诸概念的统一推广.根据这个定义,我们可以推得定理 1 设闭折线()A n 关于点P 的k 号心为Q ,其顶点子集m V 关于点P 的k 号心为'Q ,补集m V 的重心为'G ,则'//'QQ PG .证明 以点P 为原点建立直角坐标系xPy ,使y 轴不平行于'QQ ,设()A n 的顶点i A 的坐标为(,)(1,2,,)i i x y i n =L ,集合m V 所含各顶点的坐标为(',')(1,2,,)j j x y j n m =−L ,点Q 的坐标为(,)x y ,点'Q 的坐标为(',')x y ,直线'QQ 的斜率为T .注意到①和②，则由斜率公式可得 11''''n mn mj j j j y y T y x x x −−==−==−∑∑. ③又设点'G 的坐标为(,)x y ,直线'PG 的斜率为'T .因为'G 是m V 的重心,所以有[5]11'n m j j x x n m −==−∑,11'n mj j y y n m −==−∑. ④ 于是,注意到④,且点P 为原点,则由斜率公式可得11'''n mn mj j j j y T y x x −−====∑∑. ⑤比较③和⑤,可知'T T =,所以'//'QQ PG .命题得证.应当指出,这个定理的内涵是极其丰富的.考察它的种种特例,将会得到许多花样翻新的有趣命题.例如:在定理1中令3,1,1,n m k ===且令点P 为三角形的外心或内心,可得命题1 三角形的垂心与任一顶点的连线,平行于外心与对边的中点的连线.[6]命题2 三角形的奈格尔点与任一顶点的连线,平行于内心与对边的中点的连线.[7]在定理1中令4,1,1,n m k ===且令点P 为四边形的外心或内心,可得命题3 若四边形内接于圆,则其垂心与任一顶点的连线,平行于外心与其余三顶点的重心的连线.・14・命题 4 若四边形外切于圆,则其奈格尔点与任一顶点的连线,平行于内心与其余三顶点的重心的连线.在定理1中令4,2,2n m k ===,且令点P 为四边形的外心或内心,可得命题 5 若四边形内接于圆,则其欧拉圆心与任一边(或对角线)的中点的连线,平行于外心与对边(或另一对角线)的中点的连线.命题6 若四边形外切于圆,则其斯俾克圆心与任一边(或对角线)的中点的连线,平行于内心与对边(或另一对角线)的中点的连线.这些关于三角形和四边形的优美命题,除命题1和2以外,其余命题在以往的平面几何著作中似未见过.定理 2 设闭折线()A n 关于点P 的k 号心为Q ,其顶点子集m V 关于点P 的k 号心为'Q ,补集m V 的重心为'G ,则''n m QQ PG k−=.证明 以点P 为原点建立直角坐标系xPy ,设()A n 的顶点i A 的坐标为(,)(1,i i x y i = 2,,)n L ,集合m V 所含各顶点的坐标为(',j x ')j y (1,2,,)j n m =−L ,点Q 的坐标为(,)x y ,点'Q 的坐标为(',')x y .注意到①和②,由两点间的距离公式可得22222'[(')(')]k QQ k x x y y ⋅=−+−2211(')(')n mn mj j j j x y −−===+∑∑. ⑥又设点'G 的坐标为(,)x y ,注意到④,且P 为原点,则由两点间的距离公式可得22222()'()()n m PG n m x y −=−+2211(')(')n mn mj j j j x y −−===+∑∑. ⑦比较⑥和⑦,可知''n mQQ PG k −=.命题得证.显然,这个定理的内涵也是极其丰富的.考察它的种种特例,同样会得到许多花样翻新的有趣命题.例如:命题1' 三角形的垂心到任一顶点的距离,等于外心到对边的中点的距离的二倍.[6]命题2' 三角形的奈格尔点到任一顶点的距离,等于内心到对边中点的距离的二倍.[7]命题3' 若四边形内接于圆,则其垂心到任一顶点的距离,等于外心到其余三顶点的重心的距离的三倍.命题4' 若四边形外切于圆,则其奈格尔点到任一顶点的距离,等于内心到其余三顶点的重心的距离的三倍.命题5' 若四边形内接于圆,则其欧拉圆心到任一边(或对角线)的中点的距离,等于外心到对边(或另一对角线)的中点的距离.命题6' 若四边形外切于圆,则其斯俾克圆心到任一边(或对角线)的中点的距离,等于内心到对边(或另一对角线)的中点的距离.这些关于三角形和四边形的优美命题,除命题1'和2'以外,其余命题在以往的平面几何著作中也似未见过.参考文献[1] 熊曾润.圆内接闭折线的垂心及其性质.福建中学数学,2000(1).[2] 熊曾润.圆内接闭折线的欧拉圆及其性质.中学教研(数学),1999(11).[3] 曾建国.谈圆外切闭折线的奈格尔点的性质.福建中学数学,2003(4).[4] 熊曾润.圆外切闭折线的k 号界心及其性质.中学数学教学,2002(1).[5] 熊曾润.闭折线的顶点系重心的性质.中学教研(数学),1998(1～2).[6] 梁绍鸿.初等数学复习及研究(平面几何).人民教育出版社,1978.P134.[7] R.A 约翰逊著.单墫译.近代欧氏几何学.上海教育出版社,1999.P198.・15・。
九年级数学下册 3.3 垂径定理“垂径定理”与解题思路分析素材 (新版)北师大版
“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。
因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。
所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。
垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。
例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径)，那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。
类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。
由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。
对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。
数学垂径定理
数学垂径定理1 垂径定理的历史数学垂径定理，又称作呈琳定理，是一个古希腊数学家呈琳所发现的定理。
据历史记录，呈琳是苏格拉底的弟子，他在公元前400年前后活跃于雅典。
虽然呈琳的生平不甚了解，但他卓越的数学贡献却在当时备受推崇。
垂径定理是呈琳的重要发现之一，甚至成为数学中的经典命题之一。
2 垂径定理的定义垂径定理是指：平面内，若两个直线相交且在交点处垂直相交，则它们与交点的连线所构成的角互为补角。
3 垂径定理的表述设直线AB，CD在E点相交，且AE=CE，DE=BE，则直线AB，CD是垂直相交的。
4 垂径定理的证明首先，观察图中所示的情况，我们可以不失一般性地假设线段AE 与线段CD相交于点F，线段BE与线段CD相交于点G。
同样，我们也可以得出: 点E、F、G三点不共线且线段EF、EG垂直相交。
有了这些基本概念后，我们可以开始证明垂径定理。
首先，由于EF与EG相互垂直，则它们构成了一个矩形。
在这个矩形中，EF的长度等于AE的长度，EG的长度等于BE的长度，所以EF 的长度等于EG的长度。
接着，我们可以复制这个矩形，然后旋转它，以使AB与CD相互平行。
我们可以将两个矩形组合在一起，使它们重合并且让AE与CD和DE与AB分别重合。
因为两个相同的矩形一定是对称的，所以矩形的另一对垂直边分别与AE和DE重合。
最后，我们可以旋转这个组合体，使EF对齐AB，EG对齐CD。
这样，DE、EF、AB、EG就都位于同一直线上，并形成了一组互为补角的角。
5 应用垂径定理经常被用于证明其它几何定理。
例如，它可以用于证明三角形的垂心定理：该定理指出，一个三角形的三条高线所交的点称为垂心，垂心与三个角的顶点连线构成的线段互相垂直。
此外，垂径定理也有一些实际应用。
例如，它可以用于测量物体的高度。
我们可以在地面上选点，然后测量与物体顶点的距离。
接着，我们可以站到物体的侧面，测量从选定点到垂直于顶点所在平面的地方的距离。
通过使用垂径定理，我们可以计算出物体的高度。
垂径定理及其推论
圆部份知识点总结之阿布丰王创作垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,而且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,而且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心,而且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,而且平分弦所对的另一条弧.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.2：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角定理：一条弧所对的圆周角即是它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果三角形一边上的中线即是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.点和圆的位置关系设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有： d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外.过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆.2、经过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆.3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心.直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,那么：直线L与⊙O相交⇔d<r；直线L与⊙O相切⇔d=r；直线L与⊙O相离⇔d>r；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角即是它的内对角.切线的性质与判定定理径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不成2、性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵PA 、PB 是两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA ∠圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥,∴2CE AE BE =⋅切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）.即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅两圆公共弦定理A圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直而且平分这两个圆的的公共弦.如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB圆的公切线（1）公切线的长：12Rt O O C ∆中,221AB CO =（2）外公切线的长：2CO 是半径之差；2CO 是半径之和 三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心.圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种.如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种.如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r 两圆相交⇔R-r<d<R+r （R ≥r ）两圆内切⇔d=R-r （R>r ） 两圆内含⇔d<R-r （R>r ）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.圆内正多边形的计算1.正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2.正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =：3.正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA =. 弧长和扇形面积1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180r n l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的弧长.3、圆锥的正面积 rl r l S ππ=•=221其中L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径.内切圆及有关计算.（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等.（2）△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=2c b a -+ . （3）S △ABC =)(21c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径.拱高问题1.如图,圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米,拱高CD ＝4米,则拱桥的半径为（ ） S l B AOA．6.5米B．9米C．13米D．15米2.如图,用暗示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R．经A B过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是的中点,CD 就是拱高．。
内公切线长公式及解释
内公切线长公式及解释
内公切线长公式是指圆的内公切线长与其对应的圆心角的比值等于半径的平方比。
该公式可以用以下方程来表示：tanθ/r = (b - a)/(a + c)
其中，θ为圆心角，r为半径，a、b、c为圆上的任意三点。
这个公式的含义是，当圆被分成两部分，一部分是圆弧，另一部分是与圆弧相切的直线段，这条直线段的长度就是内公切线长。
圆心角的大小决定了内公切线长的长短，半径的大小决定了内公切线长的长度。
这个公式可以用来计算圆的内公切线长，也可以用来计算圆的内公切线长的比例关系。
在实际应用中，内公切线长的计算非常重要，例如在机械设计、建筑设计等领域中，内公切线长的大小直接影响到设计的精度和可行性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i
…， ） 的坐标 （x i ， （ i =1 ， 2， . yi ）
［ 知， ， . 由文献 1］
2
（Zx j ， ， ， 所以 Zy i ） Zy j ） j = +1 j = +1 ~
j = +1
= （Zx i ~
i = 1
j = +1
2 （ + Zy i Zx j ） i =1
2
…， ｝ 表示. 的集合， 均用符号｛ 1 ， 2 ， 定理 设闭折线 （ ） 有外接圆O （ ，） ，
2
是 （ ） 的一条
1＜ i ＜ j ＜
=2
1＜ i ＜
Z
i
2 j
~
Z
i
2 j
2 +（ ~ 2 ）
+1 ＜ j ＜
证明 则 x i2 + y i2 =
以圆心
2
为原点建立直角坐标系x y（图略） ， 设顶点 的坐标分别为 （Zx i ，
A For mul a of the no . k o rt hocente l i ne l engt h i n the c ircu mscri bed c l ose Pol ygonal l i ne
ZENG jian- guo
（D e Iart m ent of M at he matics ， Gannan teacher ’ s Colle ge ， Ganzhou 34l000 ， China ） Abstract ： The paper st udies a f or mula of t he No .k o rt hocente li ne lengt h i n t he circu m scri bed close pol ygonal li ne . Key words ： circu m scri bed close pol ygonal li ne ； No .k ort hocente li ne ； Ventex subset
引证文献(2条) 1.曾建国.徐建平 关于闭折线K号心的一个距离公式[期刊论文]-赣南师范学院学报 2007(3) 2.段惠民 圆内接闭折线的k级中线长公式[期刊论文]-中学数学 2005(7)
本文链接：/Periodical_gnsfxyxb200303043.aspx
2 2 R - 2a ）
（ 4）
在这个定理中， 若 n 为偶数， 并且令a = n ， 则公式 （ 中将不含半径 R ， 即有 4） 2 推论l 设圆内接闭折线 A （n ） 的边数 n = 2a （ 且a j ， （n ） 的一条a 级垂心线， 则 a 6N ， 2） ~a ~a 是A
~a ~ 2 a = 2
2 = Zy j ）
（x i2 + y i2 ） + 2 Z （x ix j Z 1＜ i ＜ i = 1 j ＜
1＜ i ＜ j ＜
+ y iy j ） ~4
1＜ i ＜
Z （xixj
+ y iy j ）
（ 1）
+1 ＜ j ＜
Z
i
2 j
=
1＜ i ＜ j ＜
Z
2 （ 2］ ［ （x i ~ x j ） + yi ~ yj ） =
a
赣南师范学院学报
n
2003 年
（n - a ） （ Z
i = l
2 i
+
2 $i
） +a
（ Z j = a +l
2 j
+ $ j2 ） -2
a +l ＜ j ＜n
l＜
2a（n - a ） R2 -2 得 -4 （ 、 代入 （ 得 将 （ 2） 3） l）
a +l ＜ j ＜n
Ai Aj2 - Z Ai Aj2 Z l＜ i ＜ a l＜ i ＜ j ＜n
a
（ 5） 及其补集
a
需要特别指出的是， 本文定理及推论中的 a 级垂心线对应的顶点子集 公式 （ （ 、 的内涵是非常丰富的. 4） 5） 下面举两例加以说明.
是任意的， 因此
当n = 3 ， 对于三角形 ABC ， 顶点子集｛ 的垂心就是顶点 A ， 顶点子集｛ 的垂心为 a = l 时， A｝ B， C｝ 由定理可得 AABC 的外心关于边BC 的对称点， 推论2 设AABC 的三边长分别为BC = a ， （0 ， ， 设外心 0 CA = b ， AB = c ， AABC 的外接圆为 I R）
l＜ i ＜ a
a +l ＜ j ＜n
l＜ i ＜ a
Z（
i j
+ $i$j ）
Z（ i
j
+ $i$j ） =2
a +l ＜ j ＜n
a +l ＜ j ＜n
l＜ i ＜ a
Z AiAj2 - 4a（n
R2 -a ）
（ 3）
~a ~ 2 a = 2
命题得证.
a +l ＜ j ＜n
l＜ i ＜ a
Ai Aj2 + （n Z AiAj2 - l ＜iZ ＜ j ＜n
AE 2 + AF 2 + BD 2 + BE 2 + BF 2 + CD 2 + CE 2 + CF 2 - AB 2 - BC 2 - AC 2 - DE 2 - DF 2 - EF 2 笔者注意到， 即使作为特例的推论3 的结论， 在以往的欧氏几何著作中也似未曾见过.
参考文献：
［ ［ ］ 中国工人出版社， l ］ 熊曾润著. 平面闭折线趣探 . 北京： 2002 .
设圆内接闭折线 （ ） 的任意一个顶点子集及补集分别为 和
1
+1
［ 1］ ］ ） ， 并设这两个顶点子集的垂心 为 2 （ ） 的一条 级垂心线. 为简便起见， 以下所涉及的圆内接闭折线 （ ） 的顶点子集
［ ， …， ｝ （ 1＜ ＜
， 则称线段
为圆内接闭折线 个顶点组成
， 不论它是由 （ ） 的哪 级垂心线， 则
2 2 2 2 关于边BC 的对称点为0 l ， 则 A0 2 l = b + c -a + R 在推论l 中， 令 n = 2a = 6 ， 并令闭折线为多边形， 可得
推论3
在圆内接六边形 ABCDEF 中， 设 AABC 的垂心为 ~ ， 则 ~~ ADEF 的垂心为 ~ / ， /
2
= AD 2 +
圆内接闭折线的k级垂心线长公式
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 曾建国 赣南师范学院,数学与计算机系,江西,赣州,341000 赣南师范学院学报 JOURNAL OF GANNAN TEACHERS COLLEGE 2003(3) 2次
参考文献(1条) 1.熊曾润 平面闭折线趣探 2002
设符号 （ ） 表示平面内任意一条
边闭折线
1
2
…
1
， 由 （ ） 的任意
个顶点组成的集合， 称
为 （ ） 的顶点子集 （ ， 记作 ， 特别地， 集合 1＜ ＜ ） 符号 表示 （ ） 的顶点子集 的补集. 定义
+2
…， ｝ 称为 （ ） 的顶点全集. 并用 =｛ 1，2， =｛ ，2， …， ｝ ， =｛ ，
1＜ i ＜ j ＜
Z
i
2 j
Z
=
2 （ 2］ ~ xj ） + yi ~ yj ） =
+1 ＜ j ＜
1＜ i ＜
+1 ＜ j ＜
。 收稿日期： 2002 -12 -12
作者简介： 曾建国 （ ， 男， 江西于都人， 赣南师范学院数学与计算机系教师， 主要从事初等数学研究. 1965 —）
l 24
第3 期
曾建国
圆内接闭折线的
级垂心线长公式
123
圆内接闭折线的
级垂心线长公式
。
曾建国
（赣南师范学院 数学与计算机系， 江西 赣州 341000 ） 摘 要： 本文推导了圆内接闭折线的 文献标识码： A 级垂心线长公式. 文章编号： （ 1004 -8332 2003 ） 03 -0123 -02
顶点子集 关键词： 圆内接闭折线； 级垂心线； 中图分类号： 012
（ ~1） （x i2 + y i2 ） ~2 Z
i = 1
1＜ i ＜ j ＜
Z （x ixj
+ y iy j ） =
（ ~ 1）2 ~ 2 得 2 又由
1＜ i ＜ 1＜ i ＜ j ＜
1＜ i ＜ j ＜
Z （xixj
+ y iy j ） （ 2）
Z （x ix j
i
2 j
+ y iy j ） = （ ~ 1）2 ~ （x i Z［