截面惯性矩(材料力学)
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
《材料力学惯性矩》课件
PART 04
惯性矩的应用
REPORTING
弯曲应力计算
总结词
在计算梁的弯曲应力时，惯性矩是一 个重要的参数。
详细描述
通过利用惯性矩的计算公式，可以确 定梁在承受垂直或水平力时的弯曲应 力分布。惯性矩的大小决定了弯曲变 形的程度，进而影响应力分布。
剪切应力计算
总结词
在分析剪切应力时，惯性矩起到关键作用。
建筑结构中的惯性矩问题
高层建筑在风力和地震作用下，需要具备足 够的惯性矩来抵抗侧向和扭转力。建筑设计 时需充分考虑不同方向的惯性矩，以确保结
构安全。
利用惯性矩优化结构设计
优化截面尺寸
根据工程需求，调整结构件的截面尺寸，以改变其惯性矩，从而提高结构的承载能力和 稳定性。
减重与加强
在满足强度要求的前提下，通过优化结构设计，减小不必要的材料使用，降低结构重量 。同时，对关键部位进行加强，提高其惯性矩，确保结构安全。
应力分析是研究物体在受力后内部应力的分布和大小
的过程。
方法
02 通过理论分析、实验测试和数值模拟等方法进行应力
分析。
重要性
03
确保结构在各种工况下的安全性和可靠性，防止因应
力集中、疲劳或过载等原因导致的断裂或失效。
应变分析
定义
应变分析是研究物体在外力作用下产生的变形和位移的过程。
方法
通过测量物体的尺寸变化、观察表面变形和利用有限元等方法进 行应变分析。
在稳定性分析中，惯性矩是评估结构稳定性 的重要参数。
详细描述
结构的稳定性与惯性矩的大小密切相关。通 过分析不同受力情况下惯性矩的变化，可以 预测结构的失稳趋势，并采取相应的措施提 高结构的稳定性。
PART 05
材料力学基本概念及计算公式
材料力学基本概念及计算公式材料力学是研究物质在外力作用下的力学性质和变形规律的学科，主要研究物质的力学性质，包括弹性、塑性、稳定性等。
下面将介绍材料力学的基本概念及计算公式。
1.弹性力学：(1) 弹性模量（Young’s modulus）：材料承受应力时的应变程度。
计算公式：E = σ / ε，其中 E 为弹性模量，σ 为应力，ε 为应变。
(2) 剪切模量（Shear modulus）：材料抵抗剪切变形的能力。
计算公式：G = τ/ γ，其中 G 为剪切模量，τ 为剪切应力，γ 为剪切应变。
(3) 泊松比（Poisson’s ratio）：材料在受力作用下沿一方向延伸时，在垂直方向上收缩的比例。
计算公式：ν = -ε_y / ε_x，其中ν 为泊松比，ε_x 为纵向应变，ε_y 为横向应变。
2.稳定性分析：(1) 屈曲载荷（Buckling load）：结构在受压作用下失去稳定性的临界载荷。
计算公式：F_cr = π²EI / L²，其中 F_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，L 为结构长度。
(2) 欧拉稳定性理论（Euler’s stability theory）：用于分析长杆（例如柱子）的稳定性。
计算公式：P_cr = π²EI / (KL)²，其中P_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，K 为杆件端部支撑系数，L 为杆件长度。
3.塑性力学：(1) 屈服点（yield point）：材料开始发生塑性变形的点，也是材料在加强阶段的上线。
计算公式：σ_y = F_y / A_0，其中σ_y 为屈服点应力，F_y 为屈服点力，A_0 为断面积。
(2) 韧性（toughness）：材料吸收能量的能力，一般由应力-应变曲线上的面积表示。
计算公式：T = ∫σ dε，其中 T 为韧性，σ 为应力，ε 为应变。
4.疲劳力学：(1) 疲劳极限（fatigue limit）：材料在循环应力作用下出现裂纹的最大应力。
材料力学--计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法
材料力学—计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法1 在AutoCAD中绘制需要计算的截面图形或导入图形，如图1所示。
图12 创建面域面域创建的方式主要有两种：（1）reg命令。
输入reg并回车或在菜单栏点选“绘图”→“面域”，按提示选择需要计算的截面图形线条；右键或Enter键确定。
会建立两个面域（外围边框和内部边框）；（2）bo命令。
在命令行输入bo并回车或在菜单栏点选“绘图”→“边界”，弹出如图2所示“边界创建”对话框。
选择创建“对象类型”为“面域”，勾选“孤岛检测”，点击“拾取点”返回绘图界面，用十字光标拾取截面图形内部任意一点，右键或Enter键确定。
也会建立两个面域（外围边框和内部边框）。
图23 面域差集计算将建立的两个面域进行差集计算。
在命令行输入subtract并回车或在菜单栏点选“修改”→“实体编辑”→“差集”，按提示选择要从中减去的实体或面域（外围边框）并回车，再选择要减去的实体或面域（内部边框）并回车，会将两个面域合成一个整体面域。
4 查询计算（1）在命令行输入massprop 并回车或在菜单中选择“工具”→“查询”→“面积／质量特性”；（2）选择刚创建的面域并回车，弹出如图3所示的文本对话框；图3（3）得到截面面积=37.7mm2，截面形心坐标为（88.11，211.48）。
截面惯性矩、惯性积、主力矩。
5 对截面形心坐标轴的惯性矩、惯性半径、抗弯截面系数查询计算（1）从主力矩与质心的X-Y方向可以得出：I x=188.5mm4, I y=188.5mm4（2）利用刚得到的截面形心坐标为（88.11，211.48），命令行输入ucs→（88.11，211.48），将用户ucs 坐标原点移动到截面形心，如图4；图4（3）命令行输入massprop并回车，弹出如图5所示的文本对话框；图5（4）可得：截面对形心轴的惯性矩I x=188.5mm4、I y=188.5mm4，惯性积I xy=0（由图5可知，形心轴y 轴为截面图形的对称轴，所以截面图形对形心轴x、y轴的惯性积恒等于零）。
截面惯性矩的计算
h 2
（B）（b）>（a）>（c） （D）（b）<（a）<（c）
b
y
y
h h
b
y
h
2h
h 2
x
h 2
x
h
2b
（a）
2b
（b）
2b
（c）
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
解题思路：
h 2
b
y
b
y
h h
b
y
h
2h
x
h 2
x
h 2
x
h
2b
（a）
2b
（b）
2b
（c）
（1）该截面相对于x轴的惯性矩可用组合法计算。 （2）计算图中小矩形相对于x轴的惯性矩需要用平行移轴公式。
C
a
S yC yc dA Ayc 0
A
aA
2
O
7
x
I x I xc a A
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
y
yc
同理可得：
I x I xc a A
2
xc dA
b
yc
C
a
I y I yc b2 A
x
c
I xy I xcyc abA
x
O
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注 意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公 式时要特别注意。
8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例：计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x，y的惯 性矩，惯性积。
y xc
h b
x
截面惯性矩
静矩（面积X面内轴一次） 把微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分称为截面的对指定轴的静矩Sx= ydF。
截面极惯性矩（Ip=面积X垂直轴二次）。
Ip: the torsional moment of inertia
the polar moment of inertia 截面各微元面积与各微元至垂直于截面的某一指定轴线二次方乘积的积分Ip= P↑2dF。 a quantity to predict an object's ability to resist torsion, to calculate the angular displacement of an object subjected to a torque.
截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
惯性矩平移公式：
这里， Iz是对于 z-轴的面积惯性矩、 Ix是对于平面质心轴的面积惯性矩、 A是面积、 d是 z-轴与质心轴 的垂直距离。（单位：mm^4）
计算公式
矩形 三角形
圆形 圆环形
其中：b—宽；h—高
其中：b—底长；h—高
截面惯性矩和极惯性矩的关系 截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩Ip=Iy+Iz。
截面系数
section factor
机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。它用以计算零件、构件的抗弯强度和抗扭强度（见强 度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件下截面上的最大应力。
根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出 现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。σ和τ的数值为 -0.032√(C+W)-0.21√(RD↑2) 式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图 和附表）。一般截面系数的符号为W，单位为毫米3。依据公式可知，截面的抗弯和抗扭强度与相应的截面系数成 正比。
材料力学笔记(惯性矩)
材料力学笔记一、截面对形心轴的轴惯性矩矩形、实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为（B.3-4）（B.3-5）（B.3-6）式中，d —实心圆直径和空心圆内径，D —空心圆外径，R 0—薄壁圆平均半径。
t —薄壁圆壁厚。
惯性矩I 量纲为长度的四次方（mm 4），恒为正。
二、截面抗弯刚度EI z和抗弯截面模量Wz（a ）上式代表距中性层为y 处的任一纵向“纤维”的正应变，式中的ρ对同一横截面来说是个常数， 所以正应变ε与y 成正比（上缩下伸），与z 无关。
式（a）即为横截面保持平面，只绕中性轴旋转的数学表达式，通常称为几何方面的关系式。
（b ）式（b ）表示横截面上正应力沿梁高度的变化规律，即物理方面的关系式。
由于式中ρ对同一横截面来说是个常数，均匀材料的弹性模量E 也是常数，所以横截面上任一点处的正应力与y 成正比（上压下拉） 。
显然中性轴上的正应力为零，而距中性轴愈远，正应力愈大，最大正应力σmax发生在距中性轴最远的上下边缘（图7.2-4）。
图7.2-4 弯曲正应力分布微内力对中性轴z之矩组成弯矩M，即（e）代入式（b ），并将常数从积分号中提出，得。
令，称为横截面对z轴的惯性矩，它只取决于横截面的形状和尺寸，其量纲是长度的四次方，此值很容易通过积分求出。
于是得出（7.2-1）上式确定了曲率的大小。
式中EIz称为截面抗弯刚度（stiffness in bending）。
到此为止，式（a）中的y和ρ已经确定。
联合式（b）及式（7.2-1），得出（7.2-2）上式即为对称弯曲正应力公式。
当y=ymax时，得出最大正应力公式，即（7.2-3）式中称为抗弯截面模量（section modulus in bending），其量纲是长度的三次方。
表7.2-I列出了简单截面的Iz 和Wz计算公式。
表中 =d/D，R为薄壁圆平均半径。
三、平行轴间惯性矩的移轴公式图B.3-3如图B.3-3所示，设y0、z为截面的一对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为和，则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：，（B.3-7）上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理（Parallel axis theorem）。
截面惯性矩(材料力学)
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
截面上的应力
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
20 100 50＝32 10４mm3
§I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物 体抵抗扭动，扭转的能力 ）
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
1 F2
2
F3
2
2
I Z1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
cos 2a
I yz sin 2a
2.三个公式:设新坐标系由原坐标系逆转α角而得,且有
I y1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
c os 2a
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A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0
b2h23 12
20Байду номын сангаас
20
100
3
12
16.67 105
3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩 IzC (Iz1 a12 A1) (Iz2 a22 A2 ) 66.67103 302 200016.67105 302 2000 53.34105 mm4
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
二、杆件的轴向拉压变形分析
一、轴向拉伸和压缩的概念
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力
y
yC
dz
hz
dy
a
y
0b
解： dA hdz
zC
Sy
b 0
zhdz
hb2 2
A b 2
z
Sz
ah
ybdy
a
b[(a
h)2 2
a2]
11））同同一 一截截面面对对不不同同轴轴的的静静 bh[ h a] A[ h a]
矩矩不不同同；；
2
2
2）静矩可为正，负值或零； 3）静矩的单位为m33;
yC
xCi Ai
A (正负面积法公式 ) yCi Ai
A
x S yC A xC SxC A yC
Sy AxC Ai xCi xdA
A
2.形心公式
Sx AyC Ai yCi ydA
A
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
ydA
D4
32
o
z
IP Iy0 Iz0
I y0
Iz0
IP 2
D4
64
§ I-3 惯性积
1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。
§ I-3 惯性积
2.表达式：
y
I yz yzdA
A
3.说明： h
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； A1 A2
z
2）惯性积可正，可负，可为零。
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
SZ SZ1 SZ 2 ... SZn ydA ydA ... ydA Ai yCi
A1
A2
An
n
yC
Sz
Ai yCi i1
Ai
Ai
n
ZC
Sy
Ai ZCi i1
Ai
Ai
例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩 y
返回
§I-5转轴公式及主惯性矩(简介)
1.转轴公式:
当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴 公式给出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系.
y1 z1
y cosa z cosa
z y
sin a sin a
z1
I z1 y12dA ( y cosa z sin a )2 dA
a1 20 10 30mm
20
a2 30mm
A1 A2 20100 2000mm2 100
2)求出A1和A2分别对自身形心 轴的惯性矩
A1 •••
Ⅱ
•
A2
100
Ⅰ
z1
a1 zc
30
a2
z2
z
I z1
b1h13 12
100 203 12
66.67 103
Iz2
航空航天
构件的承载能力
强 度：即抵抗破坏的能力 刚 度：即抵抗变形的能力 稳定性：即保持原有平衡状态的能力
构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的 形状有关，而且与所用材料的力学性能有关， 因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完 成材料力学的任务所必需的途径和手段。
四川彩虹桥坍塌
美 国 纽 约 马 尔 克 大 桥 坍 塌
I y1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
c os 2a
I yz sin 2a
IZ1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
c os 2a
I yz sin 2a
I Y 1Z 1
Iy
2
IZ
sin 2a
I yz
c os 2a
3.主轴及主惯性矩:
1)主轴:图形若对坐标轴的惯矩为零时,这对坐标轴就称为
1 F2
2
F3
3
F4
出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10
10
AB段 Fx 0
FN1 F1 10kN
BC段
Fx 0 FN 2 F2 F1
F4
25 CD段
FN 2 F1 F2
10 20 10kN
古代建筑结构
建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔 塔高9层共67.31米，用木材7400吨 900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔
古代建筑结构
2200年以前建造的都江堰安澜索桥
古代建筑结构
建于隋代（605年）的河北赵州桥 桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨
桥梁结构
二
4.构件的强度计算
4.1截面的几何特征
§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 §Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4的平行移轴公式
§Ⅰ-1 静矩和形心 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩） y
(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。
定义 S y =∫A z dA Sz=∫A y dA
z dA y
z
例：矩形截面，面积为A。求： S y 、 Sz、 SzC
I x
y 2dA
A
xC
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
x
I xC 2bSxC b2 A
SxC AyC 0 I x I xC b2 A 返
§Ⅰ- 4平行移轴公式 y
yC
2.结论： I y I yC a2 A
I
x
I xC
b2A
I xy I xCyC abA
x
dA
a bC y
xC
x
A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。
B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有
I xy abA I xCyC 0
解例：组1）合写截出A面1，惯A性2及矩其的形计心算坐,标求a截1；面a2对ZC轴的y 惯性矩。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
拉(压)杆横截面上的应力
σ= FN MPa
A
F
FN 表示横截面轴力（N）
A 表示横截面面积（mm2）
F
mn F
mn
FN
——横截面上的应力
截面上的应力
例题3-2
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
截面上的应力
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
y
x dA
y
x
3）惯性矩的单位为m4;