《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习配套word版文档：第六篇 第5讲 数列的综合应用.pdf

1＝ 99＋1
－2. 答案 －2
学海无涯 4．(2012·沈阳四校联考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若数列{an}的各项按如下规
律排列： 12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n，2n，…，n－n 1，…，有如下运算和 结论： ①a24＝38； ②数列 a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列； ③数列 a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前 n 项和为 Tn＝n2＋4 n； ④若存在正整数 k，使 Sk<10，Sk＋1≥10，则 ak＝57. 其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上) 解析 依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第 n 组中的
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第 5 讲 数列的综合应用
A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)
1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是
A．a1＋a3≥2a2
B．a21＋a23≥2a22
C．若 a1＝a3，则 a1＝a2
D．若 a3>a1，则 a4>a2
( )．
5．(12 分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为 14，且 a1，a3，a7 恰
为等比数列{bn}的前三项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn；
(2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Kn，设 cn＝SKnTnn，求证：cn＋1>cn(n∈N*)．
(1)解 设公差为 d，则4(aa11＋＋26dd)＝2＝14a，1(a1＋6d)，
7．(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S5＝35，a5 和 a7 的等差中项为 13.
(1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝an2－4 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 因为 S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26， 所以a21a＋1＋2d1＝0d7＝，26， 解得 a1＝3，d＝2， 所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋n(n－2 1)×2＝n2＋2n. (2)由(1)知 an＝2n＋1， 所以 bn＝a2n－4 1＝n(n1＋1)＝1n－n＋1 1， 所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
①
当 n＝2 时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，
②
又 a1，a2＋5，a3 成等差数列，所以 a1＋a3＝2(a2＋5)，
③
学海无涯 由①②③解得 a1＝1. (2)解 ∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴当 n≥2 时，有 2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减整理得 an＋1－3an＝2n，则a2n＋n1－32·2an－n1＝1， 即a2n＋n 1＋2＝322an－n1＋2.又2a01＋2＝3，知 2an－n1＋2是首项为 3，公比为32的等比数列， ∴2an－n 1＋2＝332n－1， 即 an＝3n－2n，n＝1 时也适合此式，∴an＝3n－2n. (3)证明 由(2)得a1n＝3n－1 2n. 当 n≥2 时，32n>2，即 3n－2n>2n， ∴a11＋a12＋…＋a1n<1＋122＋123＋…＋12n＝1＋121－2n1－1<32.
数的规律是：第 n 组中的数共有 n 个，并且每个数的分母均是 n＋1，分子由 1 依次增大到 n，第 n 组中的各数和等于1＋2＋n3＋＋1…＋n＝n2.
6(6＋1) 7(7＋1) 对于①，注意到 21＝ 2 <24< 2 ＝28，因此数列{an}中的第 24 项应 是第 7 组中的第 3 个数，即 a24＝38，因此①正确． 对于②、③，设 bn 为②、③中的数列的通项，则 bn＝ 1＋2＋n3＋＋1…＋n＝n2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前 n 项和
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题意令 an≥150⇒n≥5 2，即数列从第 8 项开始超过 150，即这条生产线最多
生产 7 年．
答案 C
4．(2013·福州模拟)在等差数列{an}中，满足 3a4＝7a7，且 a1>0，Sn 是数列{an}
前 n 项的和，若 Sn 取得最大值，则 n＝
( )．
A．7
B．8
C．9
D．10
同意方可投入生产．已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)＝12n(n＋
1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过 150 吨，将会给环境造成危害．为保护环境，
环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是
( )．
A．5 年
B．6 年
C．7 年
D．8 年
解析 由已知可得第 n 年的产量 an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当 n＝1 时也适合，据
＋a4－π2＝2a3－π2＞0，注意到 g(x)是递增的奇函数，ga3－π2＞0，ga1－π2
＞g－a5－π2＝－ga5－π2，ga1－π2＋ga5－π2＞0，同理 ga2－π2＋ga4－π2
＞0，ga1－π2＋ga2－π2＋…＋ga5－π2＞0，这与“ga1－π2＋ga2－π2＋…
＋ga5－π2＝0”相矛盾，因此 a3－2π＞0 不可能；同理 a3－π2＜0 也不可能)；
＝2n＋12＋n＋n2＋2>0，
所以 cn＋1>cn(n∈N*)．
6．(13 分)(2012·重庆)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中 a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为 1 的等比数列； (2)若 a2＞－1，求证：Sn≤n2(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．
又{an}是公差为π8的等差数列，a1＋2×8π＝π2，a1＝π4，a5＝34π，f(a3)＝fπ2＝π
－cosπ2＝π，[f(a3)]2－a1a5＝1136π2，选 D.
答案 D
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 an ＝lg xn，则 a1＋a2＋a3＋…＋a99 的值为________．
答案 10 100 6．(2013·南通模拟)已知 a，b，c 成等比数列，如果 a，x，b 和 b，y，c 都成等
差数列，则ax＋cy＝________.
a＋b
b＋c
解析 赋值法．如令 a，b，c 分别为 2,4,8，可求出 x＝ 2 ＝3，y＝ 2 ＝6，
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ax＋yc＝2. 答案 2 三、解答题(共 25 分)
等于12×n(n＋2 1)＝n2＋4 n，因此②不正确，③正确． 对于④，注意到数列的前 6 组的所有项的和等于62＋4 6＝1012，因此满足条件 的 ak 应是第 6 组中的第 5 个数，即 ak＝57，因此④正确．
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综上所述，其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题(共 25 分)
解析 设公差为 d，由题设 3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
所以 d＝－343a1<0.
解不等式 an>0，即 a1＋(n－1)－343a1>0，
所以 n<347，则 n≤9，
当 n≤9 时，an>0，同理可得 n≥10 时，an<0.
故当 n＝9 时，Sn 取得最大值． 答案 C 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
解析 设公比为 q，对于选项 A，当 a1<0，q≠1 时不正确；选项 C，当 q＝－
1 时不正确；选项 D，当 a1＝1，q＝－2 时不正确；选项 B 正确，因为 a12＋
a32≥2a1a3＝2a22.
答案 B
2．满足 a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn>1 025
①
故 2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，
②
①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，
∴Kn＝n·2n＋1，则 cn＝SKnTnn＝(n＋32)n(＋21n－1).
cn＋1－cn＝(n＋4)2(n2＋n2＋1－1)－(n＋32)n(＋21n－1)
的最小 n 值是
( )．
A．9
B．10
C．11
D．12
解析 因为 a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以 an＋1＝2an，an＝2n－1，
Sn＝2n－1，则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是 11.
答案 C 3．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批
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证明 (1)由 S2＝a2S1＋a1，得 a1＋a2＝a2a1＋a1， 即 a2＝a2a1. 因 a2≠0，故 a1＝1，得aa21＝a2， 又由题设条件知 Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1， 两式相减得 Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)， 即 an＋2＝a2an＋1，由 a2≠0，知 an＋1≠0，因此aann＋＋21＝a2. 综上，aan＋n 1＝a2 对所有 n∈N*成立．从而{an}是首项为 1，公比为 a2 的等比数 列． (2)当 n＝1 或 2 时，显然 Sn＝n2(a1＋an)，等号成立． 设 n≥3，a2＞－1 且 a2≠0，由(1)知，a1＝1，an＝an2－1， 所以要证的不等式化为： 1＋a2＋a22＋…＋an2－1≤n2(1＋an2－1)(n≥3)， 即证：1＋a2＋a22＋…＋an2≤n＋2 1(1＋an2)(n≥2)， 当 a2＝1 时，上面不等式的等号成立． 当－1＜a2＜1 时，ar2－1 与 an2－r－1，(r＝1,2，…，n－1)同为负； 当 a2＞1 时，ar2－1 与 an2－r－1，(r＝1,2，…，n－1)同为正； 因此当 a2＞－1 且 a2≠1 时，总有(ar2－1)(an2－r－1)＞0，即 ar2＋an2－r＜1＋a2n，(r ＝1,2，…，n－1)． 上面不等式对 r 从 1 到 n－1 求和得 2(a2＋a22＋…＋an2－1)＜(n－1)(1＋an2)． 由此得 1＋a2＋a22＋…＋an2＜n＋2 1(1＋an2)． 综上，当 a2＞－1 且 a2≠0 时，有 Sn≤n2(a1＋an)，当且仅当 n＝1,2 或 a2＝1 时 等号成立.