【高考宝典】高考数学解答题常考公式及答题模板

第 1 页高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R aA 2sin 2sin 2sin 变式③：CB A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan =8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

☞答题步骤：①抄条件：先写出题目所给的条件；（但不要抄题目） ②写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理； ③有过程：写出运算过程；④得结论：写出结论；（不会就猜一个结果）⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。

奇：2π的奇数倍 偶：2π的偶数倍共28 页第 3 页 共 28 页10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦^o^） （1）万能公式：①2tan 12tan2sin 2θθθ+=②2tan 12tan 1cos 22θθθ+-=③2tan 12tan2tan 2θθθ-=（2）三倍角公式：①θθθ3sin 4sin 33sin -= ②θθθcos 3cos 43cos 3-= ③1tan 3tan 3tan 3tan 23--=θθθθ题型二：数列1、等差数列2、等比数列①定义：d a a n n =-+1②通项公式：d n a a n )1(1-+=mn a a d d m n a a mn m n --=⇒-+=⇒)( ②通项公式：11-=n n q a a m n m n q a a -=⇒ ③前n③前nqqa a S n n --=11（可以不记哦^o^） ④等差中项：若C B A ,,成等差数列，则C A B +=2 ④等比中项：若C B A ,,成等比数列，则C A B ⋅=2⑤性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ ⑤性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅3、n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-2, 1 , 11n S S n S a n n n注意：该公式适用于任何数列，常利用它来求数列的通项公式4、求数列通项公式的方法 （1）公式法：①若已知d a a n n =-+1和a a =1，则用等差数列通项公式d n a a n )1(1-+= ②若已知q a a nn =+1和a a =1，则用等比数列通项公式11-=n n q a a（2）n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-2 , 1, 11n S S n S a n nn1=n 211=a 13121-⋅=n n a共（3）构造法：形如q pa a n n +=+1（p ，q 为非零常数） 构造等比数列)(1λλ+=++n n a p a（4）累加法：形如)(1n f a a n n +=-，且)(n f 可用求和，可用累加法（5)(n f 可用求积，可用累乘法221-=⇒=+=nn n n n a a b b a=⇒=a n第 5 页（6p ，q 为非零常数）则两边同时取倒数5、求数列前n 项和S n 的方法（1）公式法：除了用等差数列和等比数列前n 项和的公式外，还应当记住以下求和公式④2222221321-=+⋅⋅⋅++++n n ②2)12(531n n =-+⋅⋅⋅+++ ⑤)12)(1(613212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n③n n n +=+⋅⋅⋅+++22642 ⑥23333)1(21321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⋅⋅⋅+++n n n（2）裂项相消法：22)1(1)1(1-=⋅-+=-+=∴n n d n b b n第 6 页共（3）错位相减法：形如“=na等差×等比”的形式可用错位相减法1432+nn7 页 共 28 页（4）分组求和法：9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈Rba②22⎪⎭⎫⎝⎛+≤baab),(+∈Rba③222baab+≤),(Rba∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。

☞答题步骤：①抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题目）②写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前n项和；③有过程：写出运算过程；④得结论：写出结论；（不会就一个结果）⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式。

^o^ 数列题型比较难的是放缩法题型三：空间立体几何1、线线关系①线线平行：（很简单，基本上不考）②线线垂直：先证明线面垂直，从而得到线线垂直。

（常考）方法：（i）利用面与面垂直的性质，即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直；（ii）利用线与面垂直的性质，即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例11：如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是060DAB∠=且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD，求证：AD PB⊥.证明：取AD的中点为G，连接PG，BG，如图所示：……作辅助线一定要有说明∆PAD是等边三角形ADPG⊥⇒①……将条件圈出来aABDABaADAG⎪⎩⎪⎨⎧==∠==，601PB面⊂AD面⊄AD面⊥⇒AD PB⊥第8 页共28 页页2、线面关系①线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。

方法：将直线平移到平面中，得到平面内的一条直线，只需证明它们互相平行即可。

一般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。

（最常考，一定要掌握鸭）②线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。

（最常考，一定要掌握鸭） 方法：（i ）利用面与面垂直的性质；（ii ）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

3、面面关系①面面平行：只需证明第一个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。

②面面垂直：只需证明有一条直线垂直于一个平面，而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。

（常考） MEAF //∴OBAO ⎩⎨=CO 面⊂第页 共 28 页☞答题模板：①作辅助：需要作辅助线的一定要在图中作出辅助线，如取AB 的中点为E ； ②有说明：需要在图上连线时一定要有说明，如连接AB 两点如图所示； ③抄条件：写出证明过程，并将条件圈出；④再说明：说明线与面的关系，如⊂AB 面ABC ，而⊄EF 面ABC ； ⑤得结论：得出结论，证毕；⑥写多分：第二问不要不写，能写多少写多少，哪怕是抄题目的条件。

文科常考锥体体积公式：Sh V 31=锥体 理科常考二面角的余弦值：||||cos m n m n ⋅=α 其中n 和m为两个平面的法向量点到平面的距离公式(理科)：设平面的法向量为n，A 为该平面内任意一点，则点P 到平面的距离为：||||n n AP d⋅= ^o^ 总之第二问一定要多写，多写多得分例14：(2018全国Ⅱ卷文)如图所示，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且 90=∠=∠CDP BAP ．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC ，90=∠APD ，且四棱锥P−ABCD 的体积为38，求该四棱锥的侧面积．MM'yx例15：(2018全国Ⅲ卷理)如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．z第11 共28 页证明：（1）既然M为圆弧CD上的动点，不妨假设M在圆弧CD的中点M'处，建立空间直角坐标系D-xyz第12题型四：概率与统计1、茎叶图②极差=最大值-最小值注：极差越小，数据越集中注：方差越小，数据波动越小，越稳定④标准差：[]22221)()()(1xxxxxxns n-+⋅⋅⋅+-+-=2、频率分布直方图①众数：最高小长方形的中间值第13 页共28 页第 14 页 共 28 页②中位数：小长方形面积之和为0.5的值④所有小长方形的面积之和等于1⑤平均数：每个小长方形的中间值×相应小长方形的面积，然后将所得的数相加3、线性回归方程 例17：(2019全国Ⅲ卷文)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分析得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）. 解：（1）频率分布直方图的小矩形面积表示概率. 由题意，得 a +0.20+0.15=0.70 ⇒ a =0.35根据“各小矩形的面积之和等于1”，得 0.05+b +0.15+0.35+0.20+0.15=1 ⇒ b =0.10 （2）根据平均值的求法，得 05.405.0710.0620.0530.0420.0315.02=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 00.615.0820.0735.0615.0510.0405.03=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y第 15 页 共 28 页∑∑==--=ni ii i i t n tyt n y t b1221ˆt b y aˆˆ-=92.633.2951.0=+⨯=y共 28 页题型五：圆锥曲线1、椭圆（以焦点在x 轴上的为例）①定义：a PF PF 221=+ ⑥准线：ca x 2±=⑦通径：abAB 22=⑧长轴长：a A A 221= ④固定关系：222c b a += ⑨短轴长：b B B 221=第 17 页 共 28 页2、双曲线（以焦点在x 轴上的为例）⑦通径：a b AB 22=⑧实轴长：a A A 221= ④固定关系：222b a c += ⑨虚轴长：b B B 221=2121-x x 12222=-y x共28 页页 共 28 页3、抛物线（以开口向右的为例）①标准方程：px y 22=④定义：平面内到一个定点与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（常考，很重要的哦^o^）⑤通径：过焦点F 且垂直于x 轴的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则p AB 2=.⑥过焦点的弦长：p x x CD ++=21 1x ，2x 分别为C ，D 两点的横坐标⇒第 20 页☞答题步骤：①设方程：假设出曲线的标准方程；（不管题目有没有，都要假设哦^o^）②抄条件：写出题目所给的条件，该带公式就带公式，如已知离心率为21，在试卷上要写出21==a c e ； ③画图形：根据题意，画出图形； ④写过程：写出必要的解方程过程；⑤得结论：写出结论（写出曲线方程，不会就猜一个）⑥猜公式：第二问一定要写，要写什么参考以下第4点。