【高考宝典】高考数学解答题常考公式及答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 奇：2π的奇数倍 偶：2π的偶数倍8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

☞答题步骤：①抄条件：先写出题目所给的条件；（但不要抄题目） ②写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理； ③有过程：写出运算过程；④得结论：写出结论；（不会就猜一个结果）⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。

例1：(天津文)ABC ∆在中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c A b B a sin 32sin =，已知. (1)求B ； (2)1cos A 3=若，求sinC 的值. A b B a sin 32sin =解：已知 ……将题目的条件抄一遍R CcB b A a 2sin sin sin ===由正弦定理……写出要用的公式 θθθcos sin 22sin = ……写出要用的公式 A B B B A sin sin 3cos sin 2sin =⋅⇒0sin ,0sin ≠≠B A ……写出运算过程 23cos 3cos 2=⇒=⇒B Bπ<<B 0 又 6π=B 故. ……写出结论(2)31cos =A 已知π=++CB A , ……写出题目的条件和要用的公式10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦^o^） （1）万能公式：①2tan 12tan2sin 2θθθ+=②2tan 12tan 1cos 22θθθ+-=③2tan 12tan2tan 2θθθ-=（2）三倍角公式：①θθθ3sin 4sin 33sin -= ②θθθcos 3cos 43cos 3-= ③1tan 3tan 3tan 3tan 23--=θθθθ例2：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A 3－sin A )cos B =0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c =1，求b 的取值范围．解：(1)已知cos C ＋(cos A 3－sin A )cos B =0 ……将题目的条件抄一遍0cos sin 3cos cos )cos(=-++-⇒B A B A B A0cos sin 3cos sin sin cos cos =-++-⇒B A AosB B A B A ……写出必要的运算过程 0cos sin 3sin sin =-⇒B A B A3cos sin tan cos 3sin 0sin ==⇒=⇒≠BBB B B A 30ππ=⇒<<B B . ……得出结论(2)由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+= ……写出要用的公式acc a ac c a 3)(212222-+=⋅-+=……写出必要的运算过程2⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab 根据基本不等式，得 ……写出要用的公式题型二：数列1、等差数列2、等比数列①定义：d a a n n =-+1 ②通项公式：d n a a n )1(1-+=mn a a d d m n a a mn m n --=⇒-+=⇒)( ②通项公式：11-=n n q a a m n m n q a a -=⇒③前n ③前nqq a a S n n --=11（可以不记哦^o^） ④等差中项：若C B A ,,成等差数列，则C A B +=2 ④等比中项：若C B A ,,成等比数列，则C A B ⋅=2⑤性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ ⑤性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅3、n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-2, 1 , 11n S S n S a n n n注意：该公式适用于任何数列，常利用它来求数列的通项公式4、求数列通项公式的方法 （1）公式法：①若已知d a a n n =-+1和a a =1，则用等差数列通项公式d n a a n )1(1-+= ②若已知q a a nn =+1和a a =1，则用等比数列通项公式11-=n n q a a（2）n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-2 , 1, 11n S S n S a n n n（3）构造法：形如q pa a n n +=+1（p ，q 为非零常数） 构造等比数列)(1λλ+=++n n a p a例3}{n a 233313221na a a a n n =+⋅⋅⋅+++-n a ：数列满足，求. 233313221na a a a S n n n =+⋅⋅⋅+++=-解：设，则 （11=n 2111==S a ）当时， （22≥n 233331123221na a a a a S n n n n n =++⋅⋅⋅+++=---）当时， ① 213331232211-=+⋅⋅⋅+++=---n a a a a S n n n ② ①-②，得113121213--⋅=⇒=n n n n a a )2(≥n n a n S ……利用了与的关系 例4}{n a 121+=+n n a a 11=a n a ：已知数列满足，且，求.121+=+n n a a 11=a 解：已知，且)(21λλ+=++n n a a 构造 ……构造等比数列 λλλ+=⇒+=+⇒++n n n n a a a a 222111=∴λ λ……将假设出来的式子与原式比较，求出未知数 211)1(2111=++⇒+=+++n n n n a a a a21111=+=⇒+=a b a b n n 令 }{21n nn b q b b ⇒==⇒+（4）累加法：形如)(1n f a a n n +=-，且)(n f 可用求和，可用累加法（5)(n f 可用求积，可用累乘法 例5}{n a 11=a n a a n n 21+=-n a ：已知数列中，，，求.n a a n n 21+=-解：已知 n a a n n 21=-⇒-na a n a a a a a a a a a a n n n n 2)1(2 5242322212145342312=--=-⋅⨯=-⨯=-⨯=-⨯=----……累加的方法是左边加左边，右边加右边累加后，得222)1(2 2)321(2 )5432(221-+=-+⨯=-+⋅⋅⋅+++⨯=+⋅⋅⋅++++⨯=-n n n n n n a a n2)1(321+=+⋅⋅⋅+++n n n ……利用了公式 例6}{n a 11=a 11+=-n na a n n n a ：已知数列中，，，求. 11+=-n na a n n 解：已知1,1 54,43,32121342312+=-=⋅⋅⋅⋅===---n na a n n a a a a a a a a n n n n累乘后，得（6p ，q 为非零常数）则两边同时取倒数5、求数列前n 项和S n 的方法（1）公式法：除了用等差数列和等比数列前n 项和的公式外，还应当记住以下求和公式④2222221321-=+⋅⋅⋅++++n n ②2)12(531n n =-+⋅⋅⋅+++ ⑤)12)(1(613212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n③n n n +=+⋅⋅⋅+++22642 ⑥23333)1(21321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⋅⋅⋅+++n n n（2）裂项相消法：例7}{n a 1211+=--n n n a a a 11=a n a ：已知数列满足且，求.111111212112-----+=+=⇒+=n n n n n n n a a a a a a a 解：已知 ……等式两边同时取倒数2111=-⇒-n n a a ……满足等差数列的定义 n n a b 1=1111==a b 令，则……构造等差数列 }{21n n n b d b b ⇒==-- 为等差数列例8}{n a ：设等差数列的前n n S 244S S =122+=n n a a 项和为，且，. （1}{n a ）求数列的通项公式； （211+=n n n a a b }{n b ）设，求数列的前n n T 项和. 解：（1244S S =122+=n n a a ）已知， ……写出题目所给的条件 d n n na S n 2)1(1-+= dn a a n )1(1-+=， ……一定要先写出要用的公式，再带值 )2(4642212264234411112114d a d a d a d a S d a d a S +=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯+=+=⨯+= ① []1)1(2)12(112+-+=-+=d n a d n a a n ② ……先写出公式，再带值2,11==d a 由①②式，解得122)1(1)1(1-=⋅-+=-+=⇒n n d n a a n . ……先写出公式，再带值（2）由（1)121121(21)12)(12(111+--⋅=+-==+n n n n a a b n n n ）知： ……拆项后担心不对就通分回去验证nn n b b b b b T ++⋅⋅⋅+++=⇒-1321.12)1211(21)121121(21)121321(21)7151(21)5131(21)3111(21+=+-=+--+---+⋅⋅⋅+-+-+-=n nn n n n n（3）错位相减法：形如“=n a 等差×等比”的形式可用错位相减法例9n n n a a a 23,211⋅=-=+：设数列满足. （1}{n a ）求数列的通项公式；（2n n na b =}{n b ）令，求数列的前n n T 项和. 解：（1n n n a a a 23,211⋅=-=+）已知，则 ……一定要先写出题目所给的条件nn n n n n a a a a a a a a a a 2323 23232311133422312⋅=-⋅=-⋅⋅=-⋅=-⋅=-+--累加后，得 626)21(6 21)21(23 )2222(33211-⋅=--=--⋅=+⋅⋅⋅+++=-+n n n n n a a ……运用等比数列求和公式qq a S n n --=1)1(1.42642611-⋅=⇒-⋅=⇒-+n n n n a a ……所有的n 取n -1n a ，得到 （2）由（1n n n n na b n n n n 4234261-⋅=-⋅==-）知：)321(4)2232221(3 )423()34233()24223()14213( 321321321n n n n b b b b T n n nn +⋅⋅⋅+++-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=+⋅⋅⋅+++=n n n n n H 22)1(2322211321⋅+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=-记 ①（4）分组求和法：例10}{n a 8,2421=+=a a a ：已知等差数列满足.（1m a a a ,,31）若成等比数列，求m 的值；（2n a n n a b 2+=}{n b ）设，求数列的前n n S 项和.解：（18,2421=+=a a a ）已知 ……写出题目所给的条件d n a a n )1(1-+=842)3()(11142=+=+++=+d a d a d a a a 由，得 1421=⇒=+⇒d d a1)1(1+=-+=⇒n d n a a n . ……先写出通项公式的一般式，再带值⎩⎨⎧+=-+==+=∴1)1(43113m d m a a d a a mm a a a ,,31又成等比数列 ……利用等比中项列出方程 7)1(242123=⇒+=⇒=m m a a a m .（2）由（11212+++=+=n a n n n a b n ）知： )2222()321( )21()213()212()211( 14321432+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅+++++++++=+⋅⋅⋅+++=n n n n n b b b b S9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈Rba②22⎪⎭⎫⎝⎛+≤baab),(+∈Rba③222baab+≤),(Rba∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。