第二章 算法
第二章 算法概述(下)
枚举法的应用
打印“九九乘法表” 可使用枚举法的问题还有如
完全平方数 完全平方数是指能写成一个正整 数的平方的数，如25=5^2，所以， 25是完全平方数。100=10^2，所 以，100也是完全平方数。
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百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买 一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡 一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在， 请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才 能刚好用一百块钱买一百只鸡？ 此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数 为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（ x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为 判定条件，穷举各种鸡的个数。
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问题分析：
使用列表保存5种水果名。 通过三重循环结构，枚果（解空间） 它们互不相等（筛选条件） 摆放先后次序有区别
•
输出所有可能的方案。
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算法步骤描述：
步骤1：建立水果列表fruit； 步骤2：使变量x遍历fruit 步骤3：对于x的每个值，使变量y遍历fruit 步骤4：对于x、y的每个值，使变量z遍历fruit 步骤5： 若zx且 zy 且xy 打印该方案
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递推与迭代
递推的过程实际上就是迭代的过程，即 不断用变量的旧值推出新值的过程。 一般递推使用数组（列表），在循环处 理时利用其下标的变化实现变量的迭代 ，而狭义的迭代是指使用简单变量来完 成这一过程。
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程序设计中的数组（列表）是指具有相同 名称、通过下标区分的一组变量。 如：a[0]、a[1]、a[2]或b[1,1]、b[1,2] 、b[1,3]、b[2,1]、b[2,2]、b[2,3]等。 在循环结构中，通过变量控制其下标值的 变化(如a[i]、b[i,j])，达到变量轮换的目的。 例如：循环：从a[0]到a[9] 循环：a[i]， i从0到9
C语言程序设计(谭浩强版)第二章
不应是中断程序的执行，而应是返回一个
表示错误或错误性质的值，以便在更高的
抽象层次上进行处理。
算法设计的原则
4．高效率与低存储量需求
通常，效率指的是算法执行时间； 存储量指的是算法执行过程中所需 的最大存储空间， 两者都与问题的规模有关。
算法设计的原则
算法的时间复杂度
第二章 程序的灵魂——算法
2.1 算法的概念 2.2 算法的简单举例
2.3 算法的特性 2.4 怎样表示一个算法 2.5 结构化程序设计方法
算法的概念
计算机应用： 提取数学模型—设计算法— 编程—测试—应用
程序设计=数据结构+算法
数据结构：对数据的描述 算法：对操作的描述 除此之外程序设计还包括：程序设计方法， 和程序设计语言
怎样表示一个算法
例4的伪代码表示法如下 开始 读入整数n 置sum的初值为0 置k的初值为1 执行下面的操作： 如果k为奇数，置item=1/k 如果k为偶数，置item=-1/k sum=sum+item 直到k>n 打印sum的值 结束
算法设计的原则
算法设计的原则
设计算法时，通常应考虑达到以下目标： 1.正确性 2.可读性 3.健壮性 4.高效率与低存储量需求
从算法中选取一种对于所研究的问题 来说是 基本操作 的原操作，以该基 本操作 在算法中重复执行的次数 作 为算法运行时间的衡量准则。
结构化程序设计方法
采用结构化算法写成的计算机程序是结构 化程序。要编写出结构化程序，经常采用 的方法是结构化程序设计方法。这种方法 的基本思路是： 把给定的问题按层次（纵方向）、分阶段 （横方向）分解为一系列易于编程解决的 小问题，然后对应着这些分解的小问题， 设计结构化的算法，最后采用语言将算法 描述出来。这样一种程序设计方法就是结 构化程序设计方法。
《计算机算法基础》教学大纲
《计算机算法基础》教学大纲计算机算法基础教学大纲课程简介本课程作为计算机科学与技术专业必修课，旨在让学生掌握计算机算法的基础知识和基本应用，为后续深入研究算法提供基础。
教学目标通过本课程的研究，学生将能够：- 熟练掌握常用的计算机算法- 理解各种算法的基本思想和运行原理- 能够运用算法进行简单的问题求解和程序设计- 培养编写高效算法的能力教学内容第一章算法基础1.1 算法的定义和特性1.2 算法的分类1.3 时间复杂度和空间复杂度第二章常用算法2.1 排序算法（冒泡排序、快速排序、归并排序）2.2 查找算法（顺序查找、折半查找、哈希查找）2.3 图算法（最短路径算法、最小生成树算法）第三章算法应用3.1 算法在智能搜索、机器研究等领域的应用3.2 算法在计算机游戏、网络安全等领域的应用3.3 算法在大数据处理中的应用教学方法本课程采用讲授和实践相结合的教学方法。
教师将通过课堂讲解、板书演示、案例分析等方式向学生介绍算法基础原理和应用技巧，并通过实例编程和练巩固学生的实际应用能力。
考核方式本课程考核方式包括课堂作业、实验报告、期中考试和期末考试。
其中，期中考试占30%的成绩，期末考试占50%的成绩，课堂作业和实验报告占20%的成绩。
教材与参考书目教材《数据结构与算法分析》，作者：Mark Allen Weiss，出版社：机械工业出版社参考书目《算法导论》，作者：Thomas H. Cormen，出版社：机械工业出版社《算法设计与分析基础》，作者：Sun Limin，出版社：高等教育出版社实验环境本课程实验环境为Windows操作系统，使用Java语言进行编程实现。
教学进度。
第二章-算法推荐原理
四、用户画像的“冷启动”
策略二：
用户分类和聚类。尽管个体用户都有“千人千面”的兴趣特点，但在 一定程度上仍可以对用户进行分类和聚类，而针对同一类用户的推荐对此 类用户中的所有个体的推荐均有一定的有效性和合理性。具体地，对于新 注册使用系统的用户，可以使用其基本信息标签（如性别、年龄、手机机 型、网络特征、地理位置）
在这种情况下，算法推荐系统可以根据用户的授权读取用户在微博、微信 等平台的公开数据如昵称、发布内容、阅读历史等等，如此便可在不需要 用户直接提供个人兴趣爱好信息的情况下，使用自然语言处理和机器学习 等算法，根据用户在其他服务中的行为数据提取用户的兴趣特征，扩充用 户画像的标签数量，达到尽快完善用户画像的目的。
五、用户画像的设置和调整策略
一、用户画像的概念和作用
用户画像在多个领域都有广泛的应用，并不局限于算法分发系统。涉及用户画像 的领域通常与销售、推荐和个性化服务相关。以下简要介绍用户画像的一般作用。
●精准营销： 分析产品的潜在用户，定向特定群体。比如，在内容推荐领域，假设系统中
有一则关于花样滑冰的新闻，则可以定向推送给画像包含“花样滑冰”或某些花 样滑冰运动员名字的用户。
用户画像的构建过程可以分为三个阶段 第一阶段进行基础数据的收集。重点采集用户的个人信息、网络使用行为等 方面的数据。 第二阶段对采集到的基础数据进行分析和挖掘，实现用户行为的建模。 第三阶段是为每个用户构建个性化的用户画像，这是对前两个阶段采集数据 的进一步提炼和抽象。
二、如何构建用户画像
用户画像的构建并不是孤立静态的单次过程，推荐系统会根据用户的行为数据 不断更新用户画像，以达到提高刻画用户特征准确度的目的，最终目标是提高 推荐的准确度和有效性。
二、算法分发系统的基本模型
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
算法-第2章-算法效率分析基础
The Big-O and Related Notations
2.2.7 基本的效率类型
1 log n n n log n n2 n3 2n n! constant logarithmic linear n log n quadratic cubic exponential factorial
思考
2.2.2 符号О
定义1 我们把函数t(n)属于O(g(n)) ，记作t(n) ∈ O(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界由g(n) 的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的常数c和非负 的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， t(n) ≤c g(n)
cg(n)
2.2 渐进符号和基本效率类型
2.2.1 非正式的介绍
O(g(n)) 是增长次数小于等于g(n) (以及其常数倍，n趋 向于无穷大)的函数集合。 n∈O(n2),100n+5∈O(n2), n(n-1) /2 ∈O(n2),n3∈/ O(n2), Ω(g(n))，代表增长次数大于等于g(n)(以及其常数倍,n趋 向于无穷大)的函数集合。 n3∈ Ω(n2)， n(n-1) /2 ∈ Ω(n2)，但是100n+5 ∈/ Ω(n2) Θ(g(n))是增长次数等于g(n) )(以及其常数倍,n趋向于无 穷大)的函数集合。因此，每一个二次方程an2+bn+c在 a>0的情况下都包含在Θ(n2)中，除了无数类似于n2+sin n和n2+log n的函数（你能解释原因吗？）。
t(n) cg(n)
n0之前的情 况无关重要
n n0 符号Ω：t(n)∈Ω(g(n))
2.2.4 符号Θ
定义 3 我们把函数t(n)属于Θ(g(n)) ，记作t(n) ∈Θ(g(n)) ; 它的成立条件是：对于所有足够大的n， t(n) 的上界和下 界都由g(n)的常数倍数所确定，也就是说，存在大于0的 常数c1，c2和和非负的整数n0，使得： 对于所有的n≥ n0来说， c2g(n) ≤t(n) ≤ c1g(n)
第二章程序的灵魂——算法
S1: 1 i;
S2: 如果gi80,则打印ni和gi,否则不打印。 S3: i+1 i; S4: 如果i50,返回s2,继续执行，否则算法结束。 本例中，变量i作为下标，用它来控制序号（第几个
学生，第几个成绩）。当 i超过50时，表示已对50 个学生的成绩处理完毕，算法结束。
例4
判断2000年---2500年中的每一年是否闰 年，将结果输出。
束。最后得到的p就是5!的值。
例2.求1×3×5×7×9 ×11
• 如果题目改为求1×3×5×7×9 ×11。 上述算法稍作改动： s1: 1 p; s2: 3 i; s3: p ×i p; s4: i+2 i s5: 若i11,返回s3;否则，结束。
求1×3×5×7×9 ×11
可以看出，用这种方法表示的算法 具有通用性、灵活性。S3到s5 组成一个 循环，在实现算法时，要反复多次执行 s3、s4、s5等步骤，直到某一时刻，执 行s5步骤时经过判断，乘数i已超过规定 的数值而不返回s3步骤为止。
•N-S流程图适于结构化程序设计
顺序结构程序设计
•依次顺序执行程序语句 执行a块 执行b块
先执行a操作，再执行b操作
判别选择结构程序设计
满足条件否
满足
不满足
执行a块 执行b块
•当条件成立，执行a操作，当条件不成立，执行b操作。 a，b操作允许空操作，即什么都不做。注意选择结构 是一个整体，代表一个基本结构。
买电视机的步骤：
选好货物 开票 付款
拿发票
取货
回家
考大学上大学的步骤
填报名单 交报名费
拿准考证
参加考试
报到注册
得到录取通知书
2.2、 简单算法举例
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
3
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
Page 3
2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
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2算法示例
欧几里德算法 查找有无特定的字符串
§2.1 算法的概念
为了有效地进行解题，不仅需要保证算法正 确，还要考虑算法的质量，选择合适的算法。希 望方法简单，运算步骤少。 计算机算法可分为两大类别： 数值运算算法：求数值解，例如求方程的根、求 函数的定积分等。 非数值运算：包括的面十分广泛，最常见的是用 于事务管理领域，例如图书检索、人事管理、行 车调度管理等。
2.1.2 程序设计的一般步骤
分析：问题定义 设计：计划解题 选择与创建界面：选择和确定界面对象 编码：用程序设计语言描述算法 测试与调试：查找并排除程序中的任何错误 完成文档：整理和组织描述程序的所有资料
2.2算法与编程工具
1算法的基本概念
广义：解决某个问题或处理某个事件的方法和步骤 狭义：计算机解决某个问题的方法和步骤。
S1：p＝1 S2：i＝3 S3：p＝p×i S4：i＝i＋2 S5：若i≤1000，返回S3。否则，结束。
例2.2 有50个学生，要求将他们之中成绩在80 分以上者打印出来。设n表示学号， n1代表 第一个学生学号， ni代表第i个学生学号。用 G代表学生成绩 ， gi代表第i个学生成绩，算 法表示如下:
简单算法举例
例2.1: 求1×2×3×4×5
步骤1：先求1×2，得到结果2 步骤2：将步骤1得到的乘积2再乘以3，得到结果6 步骤3：将6再乘以4，得24 步骤4：将24再乘以5，得120
如果要求1×2×…×1000，则要写999个步骤
可以设两个变量：一个变量代表被乘数，一 个变量代表乘数。不另设变量存放乘积结 果，而直接将每一步骤的乘积放在被乘数 变量中。设p为被乘数，i为乘数。用循环 算法来求结果, 算法可改写：
Visual Basic 程序设计教程
孙宁
第2章 程序设计与算法（问题求解）
2.1程序的基本组成
计算机解题示例 程序设计的一般步骤 算法概念 算法示例 算法的特征 算法的描述 基本算法结构
2.2算法与编程工具
2.1.1计算机解题示例
确定希望的“输出”结果 确定“输入” 确定如何由“输入”得到“输出”
确定性 可行性 有穷性 输入性 输出性
4算法的描述
处理
输入/输出
判断
起止
特定过程
流程线
连接点
例2.6 将求5!的算法用流程图表示
如果需要将最后结 果打印出来，可在 菱形框的下面加一 个输出框。
例2.7 将例2.2的算法 用流程图表示。打印50 名 学生中成绩在80分以 上者的学号和成绩。
如果如果包括 这个输入数据 的部分，流程 图为
二、将下列流程图填写完整。
1、求1+2+3+……+100
开始
1
输出s
S =0
i=1
结束
i=i+1
Y
1 N
二、将下列流程图填写完整。
1、求1+2+3+……+100
开始
1
输出s
S 0
i 1
S=s+i i=i+1
结束
Y
i<=100 1 N
S1：使p=1 S2：使i=2 S3：使p=p×i，乘积仍放在变量p中 S4：使i＝i+1， 即i值加1放到变量i中 S5：如果i不大于5，返回重新执行步骤S3以及其后 的步骤S4和S5；否则，算法结束。最×1000算法 只需作很少的改动：
S1：i＝1 S2：如果gi ≥80，则打印，否则不打印。 S3：i＝i＋1 S4：如果i≤50，返回S2，继续执行。否则算法结束 变量i作为下标，用来控制序号(第几个学生，第 几个成绩)。当i超过50时，表示 已对50个学生的 成绩处理完毕，算法结束。
2.2算法与编程工具
3算法的特征