狭义相对论
15篇狭义相对论
)
S S′
逆
x ( x ut )
y y
变 换
z
t
z
( t
ux c2
)
1
u2
1 c2
13
(1) 当u<<c时,洛仑兹变换 式就变成伽利略变换式：
x x ut
S′ S
x ( x ut )
y y
z z
t
(
t
ux c2
)
(2)洛仑兹变换是物理定律的试金石。
(3)这里值得一提的是,洛仑兹变换中的一个重要
z
x1
o x1
z
x2 x
x2 x
图7-3
16
由洛仑兹坐标变换式(7-2),有
x1 ( x1 ut1 )
x ( x ut )
x2 ( x2 ut2 )
x2 x1 [( x2 x1 ) u( t2 t1 )]
由前：lo x2 x1 , l x2 x1 , t2 t1 0
这就是经典力学的时空观,也称绝对时空观。
7
这种绝对时空观念，只适用于低速运动(并与通常 人们头脑中的时空观念一致)；而在高速运动中，它 的缺陷就明显表现出来了。
3.伽利略变换的困难
首先是电磁现象的规律问题。 如果用伽利略变换对电磁现象的基本规律(麦克斯韦 方程组)进行变换，发现这些规律对不同的惯性系并不 具有相同的形式。 可见, 电磁现象的基本规律不符合伽利略变换！ 另一个问题是真空中的光速问题。 大家都知道，真空的光速是c。可这个c是对什么参 考系来说的呢？
2
§7-1 伽利略变换和经典力学时空观
1.伽利略变换—经典力学时空观的数学表达
设惯性系S相对惯性系S以速度u沿x轴正方向作匀
狭义相对论
狭义相对论狭义相对论是爱因斯坦在1905年提出的一种物理学理论，它主要研究的是在匀速直线运动的参考系中，时间和空间的变化规律。
下面将从四个方面详细回答这个问题。
一、狭义相对论的基本假设狭义相对论的基本假设有两个：一是物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，即物理学的基本规律具有相对性；二是光速在真空中是不变的，即光速是一个普遍不变的常数。
二、狭义相对论的主要内容狭义相对论的主要内容包括以下几个方面：1. 时间的相对性：不同的惯性参考系中，时间的流逝速度是不同的，即时间是相对的。
2. 长度的相对性：不同的惯性参考系中，长度的测量值是不同的，即长度也是相对的。
3. 质量的变化：物体的质量随着速度的增加而增加，当物体的速度趋近于光速时，质量无限增大。
4. 能量的等效性：质量和能量是可以相互转化的，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。
三、狭义相对论的实验验证狭义相对论的假设和内容在很多实验中都得到了验证，例如：1. 米歇尔逊-莫雷实验：实验证明了光速在不同方向上的测量结果是相同的，即光速是不变的。
2. 布拉格实验：实验证明了快速运动的电子具有更大的质量，证明了质量的变化。
3. 电子加速器实验：实验证明了质子在高速运动时具有更大的质量，证明了质量的变化。
四、狭义相对论的应用狭义相对论在现代物理学中有着广泛的应用，例如：1. GPS导航系统：GPS导航系统需要考虑相对论效应，才能准确测量卫星和接收器之间的距离。
2. 粒子物理学：狭义相对论对粒子物理学的研究有着重要的影响，例如粒子加速器和粒子探测器的设计和使用。
3. 核能技术：狭义相对论对核能技术的发展也有着重要的推动作用，例如核反应堆的设计和核武器的制造。
总之，狭义相对论是现代物理学的基础之一，它的理论和实验研究对于我们对自然界的认识和技术的发展都有着重要的影响。
第六章狭义相对论
2
l
l0
l0
u 1 2 c
运动长度 l l0
★ 注意：长度收缩只发生在速度方向
例4（4357）在O参照系中，有一个静止的正方
形，其面积为100cm2。观测者O’以0.8C的
匀速度沿正方形的对角线运动求O’所测得
的该图形的面积。 解：在O参照系中A、B间对角线长度
在O’参照系中A、B间长 度 ★ O’所测得的该图形的面积
u
例5（4370）在K惯性系中，相距 的两个地方发生两事件，时间间隔 而在相对于K系沿正 方向匀速运动的K’系中 观测到这两事件却是同时发生的。试计算:在 K’系中发生这两事件的地点间的距离是多少？ 解1 ：
解2 :
作业：P339~340 6.1 6.3
6.4
6.5 6.6
练习（5616）一列高速火车以速度 驶过车站时， 固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划 出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测 出两痕迹之间的距离为1m，则车厢上的观察 者应测出这两个痕迹之间的距离为多少？ 解：车上观察者测的两痕迹之间的距离 =原长 l0 静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间 的距离 =运动长 l
5 4 u2 1 2 c
0
（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离
例2（4167） 子是一种基本粒子，在相对于它静 止的坐标系中测得其寿命为 ，如 果 子相对于地球的速度为 （ 为真空中光速），则在地球坐标系中测 出的 子的寿命 解：设：相对于 子静止的参照系为 S’
★ 在地球坐标系中测出的 子的寿命
两个事件的空间间隔 事件二：测量尺子（棒） 右端坐标
长度 右端坐标 — 左端坐标
★
在相对于尺子（棒）运动的参照系中要 条件： 同时记录尺子（棒）两端的坐标。 （如：相对于尺子（棒）运动的参照系是S’ 系 则： t1’ ） t2’ l x’ x ’
狭义相对论
2 m v cp 0 m c2 ...... 2 第二项是动能。
当速度v 0时，只剩第一项，所以 第一项称为静能。 cp 0 m c2 1 v c2
2
是物体的能量。
网易公开课视频地址： /movie/2010/7/D/U/M6G QSTUPV_M6GR13LDU.html
伽利略变换
事件发生坐标
（0,0） 惯性系S （x,t）
（x',t）
（0,0）
惯性系S' u
t' = t x' = x - u*t
不同惯性系中的牛顿第二定律
牛顿第二定律：F=m*a x' = x - u*t 两边同时对t求导 =>dx'/dt = dx/dt - (u*t)/dt =>v' = v - u 得出了两个惯性系中速度的惯关系。 继续两边同时对t求导 =>dv'/dt = dv/dt -du/dt =>a' = a 两边同时乘以m =>m*a' = m*a = F
t ∆t ∆x x
从随质点运动的坐标系来看： ∆x„=0；∆t' 令∆τ=∆t' ∆S^2=(c*∆τ)^2 ∆S=c*∆τ
得到∆τ和∆t的关系，为了少打几个公式，直接取极限
d v2 1 2 dt c dt 1 d v2 1 2 c
X=（x0,x1） 对时间求导，不能对t求导，因为x0=ct，对τ求导。
光速不变
以太
人们套用机械波的概念, 想像必然有一种能够传播光波的弹性物质, 它的名字叫“以太”
。
迈克尔逊——莫雷实验
目的：测量地球在以太中的速度。 结果：地球不存在相对以太的运动。
第3章 狭义相对论
c
d
d t1 c
v cv
d t 2 cv
t1 t 2
结果:观察者先看到投出后的球，后看到投出前的球.
解释天文现象的困难
夜空的金牛座上的“蟹状星云”，是900多年 前一次超新星爆发中抛出来的气体壳层。
B
A c V c
l
l tB c
vx
v x u u 1 2 v x c
v y u2 vy 1 2 u c 1 2 v x c
2 v u z vz 1 2 u c 1 2 v x c
vz u2 v 1 2 z u c 1 2 vx c
一维洛仑兹速度变换式
vu v vu 1 2 c
2
x k( x ut)
x x ut 1 (u c )
u t 2 x c 2 1 (u c )
2
t
u t 2 x c 1 (u c )2
t
时空变换关系
S S
x
x ut u 1 2 c
2
正变换
y y z z u t 2 x c t u2 1 2 c
vy u2 v y 1 2 u c 1 2 vx c
dy
u 1 2 vx dt c dt u2 1 2 c
2 vz u v 1 2 z u c 1 2 vx c
洛仑兹速度变换式
正变换 逆变换
vx u v x u 1 2 vx c
vy u2 v y 1 2 u c 1 2 vx c
S S
逆变换
u 1 2 c y y z z
第七章狭义相对论
第八章狭义相对论基本要求：1. 了解狭义相对论产生的背景和条件，确切理解狭义相对论的两条基本原理，掌握洛伦兹变换的推导过程和数学形式；2. 熟练掌握狭义相对论时空观的基本思想，对于同时性的相对性、时间延缓效应、长度收缩效应和速度变换法则，要正确理解其物理涵义，并熟练掌握其计算方法；3. 树立力学的正确表述是以相对论为基础的，而经典力学只是在低速情况下才近似正确的思想，掌握相对论的质速关系、动力学的基本方程、质能关系和能量动量关系，并确切理解在这些关系中所涉及的一些概念。
§8-1狭义相对论的基本原理一、伽利略变换与经典时空观念在§1-6中我们为了阐明惯性系和非惯性系而引入了伽利略相对性原理和伽利略变换。
所谓伽利略相对性原理，就是对于经典力学规律而言，所有惯性系都是等价的，也就是说经典力学的基本方程式在所有惯性系中都具有相同的数学形式。
既然说力学规律在所有惯性系都是等价的，那么人们会问，是如何知道力学规律在所有惯性系中都具有相同的数学形式的呢？回答是通过伽利略变换知道的，通过伽利略变换将所有的惯性系联系起来了，如果力学规律通过伽利略变换其数学形式不变，就说力学规律在所有惯性系中具有相同的形式。
所以说，伽利略变换是伽利略相对性原理的数学表述。
在伽利略变换[即式(1-68)和式(1-69)]中已经清楚地写着t = t'(8-1) 这表示，在所有惯性系中时间都是相同的，或者说存在着与参考系的运动状态无关的时间，即时间是绝对的。
既然时间是同一的，那么在所有惯性系中时间间隔也必定是相同的，即δt = δt' (8-2)这表示，在伽利略变换下时间间隔也是绝对的。
在伽利略变换中还有一个不变量，这就是在任意确定时刻空间两点的长度对于所有惯性系是不变的。
在同一时刻，空间两点的长度在两个惯性系中分别表示为和由伽利略变换容易证明(8-3) 这表示，在所有惯性系中，在任意确定时刻空间两点的长度都是相同的，或者空间长度与参考系的运动状态无关，即空间长度是绝对的。
爱因斯坦的狭义相对论
爱因斯坦的狭义相对论
爱因斯坦的狭义相对论是当今物理学研究的基础，为物理学的快速发展奠定了
不可磨灭的基础。
爱因斯坦的狭义相对论——也称为狭义相对论——是爱因斯坦提出的一种物
理学理论，是20世纪里最具影响力的物理学理论之一，它纠正了“牛顿运动定律”，认为光线也是一种波，扩能定律并非客观存在。
因此，爱因斯坦拒绝了“牛顿运动定律”的作用，提出了新的“广义相对论”，即minkowski时空的由来。
狭义相对论认为，时间和空间是一个统一的、可变的4
维时空，观测者间发生相对运动，物体由于空间和时间都是可变的，就在不同的参考系下显示出不同性质。
狭义相对论的发展也标志着物理学从研究简单的物体运动转向研究物理现象，
从定义物理实体转向定义物理学抽象，催生了很多新的物理概念，如量子力学、联动理论、空间时空变换、引力波等。
从物理角度看，爱因斯坦的狭义相对论深深影响了物理学的发展方向，为研究质量、能量、时间等提供了新的视角，开创了今天的科技发展创新活动。
爱因斯坦的狭义相对论不仅改变了物理学的思维方式，而且也改变了人们对宇
宙的认识。
它常常被称为“空间时空弯曲”、“宇宙相对物理学”等，强调宇宙万事万物都没有“固定不变”和“万物同源”的本质，映射出一幅宇宙存在的复杂性。
因此，爱因斯坦狭义相对论对整个社会、科学文化乃至世界具有深远的影响。
爱因斯坦的狭义相对论作为现代物理学及其深层次理论的基础，以其独特的观
点和特殊的方法改变了人们的认识，它被称为20世纪最具影响力的物理学理论之一，影响着宇宙万物的发展方向，奠定了现代物理学发展的基础，对科技发展有着不可估量的积极作用。
狭义相对论
坐标位置无关,时间间隔与时空位置无关.
2.间隔不变性:
事件p1和p2：在 ：(x1, y1, z1,t1), (x2 , y2 , z2 ,t2 )
: (x1, y1, z1,t1), (x2, y2 , z2 ,t2)
两朵小乌云: 迈克耳逊——莫雷“以太漂移”实验
黑体辐射实验
狭义相对论 量子力学
近代物理学的两大 支柱，逐步建立了 新的物理理论。
强调:
近代物理不是对经典理论的补充，是全新的理论。
近代物理不是对经典理论的简单否定。
§6.1相对论的实验基础
一.伽利略的相对性原理
1.伽利略变换:
设以v相对于运动,t=0时,两坐标系原点重合
2.光速不变原理:真空中的光速在任意惯性系中沿各
个方向均为c,与光源运动无关.
• 说明： • ⑴它否定了经典速度公式，即否定伽利略变换。 • ⑵光的速度大小与参照系无关，但方向在不同参照系中
可以不同。 • ⑶光速数值不变，则不同参照系中时间、空间、尺度关系
不同。
狭义相对论原理与经典时空的不同:
'
按照二事件间隔将相对论时空划分为三个区域. (1)类时区域(类时间隔):
s2 0,即c2t2 x2
x 2
二事件可用小于光速的信号联系,信号速度 u
c
t
(2)类空区域： s2 0,即c2t2 x2 ,u c，这种讯号不存在
(3)类光区域：s2 0, u c
类空
类时 类空
类时
系中静止。 • 在以太中静止的物体为绝对静止，相对以太运动的物体为
绝对运动。
二.相对论实验基础:
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如果我說，相對論與日常生用息息相關，你會信嗎？或許就算我是一位知名的物理學教授，說服力相信也不會大得多少。
以下我將要用比較淺白簡單的文字和少許初等代數，說明並說服大家，相對論並不難懂，而且它在日常經驗中是如此的明顯、如此的必要！1905 年被稱為愛因斯坦的「奇蹟年」，愛因斯坦向世界提出了一套非常明顯、非常合理，但卻一直不為人所理解的理論狹義相對論(special relativity)。
被稱為「狹義」是因為這個理論只在慣性座標系中適用；換句話說，即是在所有沒有加速度的系統中都適用。
狹義相對論建基於兩大假設：∙在所有的慣性系統中，所有有物理定律保持不變。
∙對於所有系統中的所有觀測者，光速永遠不變，而且不是無限快的。
假設(一)「所有自然定律不變」一般被稱為相對性原理(principle of relativity)，明顯比較合理，也比較容易理解。
而乍看之下，光速相對於所有人都不變，而不論那人正在高速奔跑或者靜止不動都沒有關係，就顯得較為奇怪了。
要理解這一點，我們需要由速度的意義說起。
速度，就是在說「每單位時間內走了多遠」。
說得再淺白一點，可以想像為「每秒走了多少米(m/s)」。
但這只是慣用單位的問題，你當然可以想成「每小時走了多少公里(km/h)」，這正是司機們慣用的單位。
在科學中，單位是至關重要的，因為不同單位的東西就是不同性質的東西，不可以混為一談的比較，好像一個蘋果永遠不會等於一個橙。
假設(二)「光速相對所有人都不變」，就是說相對於所有人，光在每單位時間內走的距離都一樣。
就是說，當你向著一道光奔跑，「直覺上」你會認為你所看到的光速比起你在靜止不動時快，因為在你向光跑去的「同時」，光亦向著你衝去。
換成數學上的表達，就是說如果你用速度v 向著光衝去，而我們用c 代表你在靜止時看到的光速，那你看到的光速就會變成了c+v。
這就是所謂的伽俐略變換，亦被一般人叫做「常識」。
當然了啊，兩個物件互相衝去，當然會比其中一個不動、或兩者互相遠離快啊。
但是，愛因斯坦卻說不論你用甚麼速度，向著光或離開光移動，你到的光速都仍然為c，不多也不少！你會說：「這怎可能！這是違反常識的！」我的回答是，一般人的常識存在非常明顯的漏洞，可是在愛因斯坦之前卻一直沒有人留意到這個嚴重的錯誤！這個錯誤就是「同時」這一概念的演繹。
甚麼是「同時」？就是說大家的時鐘顯示的時間都一樣啊！對，這也是愛因斯坦對「同時」的理解。
但現在要再問一道問題，如何知道兩個時鐘的時間一樣？問題到肉了，可是你會覺得很無聊：「說甚麼廢話！只要我看到兩個鐘的指針拍著的時間就是了！」好，停一停，想一想：我們能「看」到東西，是因為光進入到我們的眼球穿過水晶體折射後投影在視網膜上。
總言之，我們能看到東西，是因為有光。
光以一定的速度前進，而且因為光速有限，因此在不同距離發出的光相對於同一個觀測者而言，會在不同時間到達。
試想像，兩個人相距非常遠，而兩個人都帶著一個時鐘，那麼當然，任何一方都會覺得對方那個時鐘所發出的光，會比自己手上的時鐘所發出的光要用更多時間才能進入你的眼睛吧！好了，我希望大家想想，究竟事先要如何調整兩個時鐘，才能使你和對方都看到兩個時鐘是同步的呢？當然，這是辦不到的！因為兩個時鐘相距兩個人的距離都不同。
若然你看到它們是同步的，對方就會看到他手上的走得較快，反之亦然。
如果你不太理解的話，請從頭思考一次，先不要跳過讀下去，因為剛才所說的就是相對論的精髓所在。
重點是，要知道世界上並沒有「對所有人都同時」這個概念存在，因此也可以說，「同時」這個概念對每個人都不同；說「對大家來說都是同時」就是錯誤的，沒有可能發生。
這是非常明顯的，但卻一直被我們所忽略。
這完全是因為對於人類的感覺來說，光速(每秒三十萬公里，能夠環繞地球七個半圈) 實在是太快、太快了。
好了，接下來我要介紹相對論導致的兩個非常重要的結果，這些結果令人類對時間及空間的概念有了根本上的改變：時間及空間其實是互相糾纏、難分難離的。
在這部分我會以數學論證，狹義相對論所涉及的數學都只是基本數學運算以及向量微積分，相信對有會考物理根基的朋友來說不會太難。
在我們生活的三維空間中，每一件事件都可以用座標系的四個變量決定，就是(長，闊，高，時間)，數學表達為 (x, y, z, t)。
假設在座標系S中有一原點O，在S 內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標 (x, y, z, t)；而現在有另一座標系S’正在相對S以速度v 向右移動，它的原點O’在時間t = 0的時候剛好與O重疊，而在S’內觀測的人都會對每一件事件測得一組座標(x’, y’, z’, t’)。
那麼，在我們的「常識」中，(x, y, z, t)與(x’, y’, z’, t’)的關係就是由伽俐略變換來決定：這就是我們認為的「常識」的數學表達方法。
留意當中t’ = t，因為在傳統的觀念裡，「同時」這概念仍然存在。
明顯地，在伽俐略變換當中，時間是獨立地流逝的，與空間 (x, y, z)無關。
可是，在上文中我們知道「同時」是不存在的。
想像小明站在一節正在行進的列車車廂正中間，在車頭及車尾都擺放了感應器。
他向左右同時照射出兩道光束。
對小明來說，車廂並沒有移動，所以他會看到兩道光束同時到達感應器。
可是，對於一位站在月台上的人來說，因為列車正在向右移動，右邊的感應器不斷遠離光束，而左邊的就不斷靠邊光束。
所以他會看到左邊那道光束首先到達感應器。
因此，時間會因為觀測者的運動狀態不同而有所分別，而且這是非常明顯的！請注意，上述兩種情況都是正確的，沒有誰對誰錯，完全因為觀點與角度而已。
回到S和S’座標系的討論，因為兩個座標系的運動狀態不同，所以伽俐略變換就不是正確的描述了，我們必須改用另外一種座標變換方法，名為洛倫茲變換(Lorentz Transformation)：有關這組公式的推導過程，有興趣的朋友可以參考任何相對論課本。
在這裡我們有興趣的是：如果時間及空間確實根據以上方程組變換的話，會有甚麼有趣的事情發生？首先，考慮一個「光鐘」，這是一個純粹由兩塊互相平行的平面鏡組成的計時器，有一束光在兩塊鏡之間來回反彈。
然後我們定義這束光來回反彈一次的時間Δt = 2h / c 為一個時間單位，故此我們就有了這樣一種有趣的計時器。
現在，我們讓這個光鐘在S座標系中以水平方向向右以均速v 移動。
所以我們就知道，如果我們稱光鐘為S’座標系，就有Δt’ = 2h / c。
在S 座標系當中，光就是以斜線行進的，根據畢氐定理，我們得到(1)使用簡單代數運算求得Δt：(2)因為v < c，所以分母必定小於 1 ，故此Δt’<Δt。
換句話說，移動中的座標系的時間流逝得比較慢。
這就是著名的時間遲滯(Time Dilation) 。
除了移動中的人的時間在其他人眼中會變慢之外，移動中的物體看起來也會變短。
這叫做長度收縮(Length Contraction)。
如果L是物體靜止時的長度，L是物體相對於觀測者以速度v移動時的長度，那麼我們就會得到(3)公式(3) 的推導過程與公式(2) 差不多，只要把光鐘轉個直角再考慮水平移動就可以了，有興趣的朋友可以自己當做練習試試推導。
以上兩個「違反直覺」的現象都已經被實驗觀測所證實了。
其中一個重要的證明是關於宇宙射線的問題。
每分每秒都有大量的宇宙射線攻擊著地球，這些射線多是帶電粒子諸如質子及電子等等，能量很高。
幸好地球有磁場以及大氣層的保護，不然地球上就不可能有生命存在了。
一些粒子與大氣粒子碰撞後，會產生許多不同種類的粒子，向各個方向散射。
這些粒子的壽命一般都非常短暫，就算在產生的一刻開始已經用接近光速前進，在它再衰變成其他粒子之前，前進的距離最多也只得幾百米。
但是，雖然地球的大氣層厚度約為100 公里，設置在地面上的儀器卻可以探測到它們！這完全是因為這些粒子以接近光速行進，相對論的效應就會變得很大。
如果在靜止時這些粒子的壽命是T，那麼根據時間遲滯現象，地面上的人就會測得它們的壽命為(4)其中v 是粒子的速度。
明顯地，當v 非常接近c的時候，T’就會變得非常大，所以它們有足夠的時間可以穿過厚厚的大氣層落到地面。
我最後想介紹的是著名的愛因斯坦速度相加法則。
在早前的討論中，我們已經明白到，在光速不是無限快的條件下，時間必須是「相對」的。
亦即是說，對於不同運動狀態的觀測者，時間的流逝速率各有不同。
同樣地對於空間來說也是如此。
因此，我們就不能說兩個互相靠近的人的相對速度v’，會簡單地為v’ = v1 + v2，其中v1 和v2分別為兩個人的速度。
那麼v’應該如何表達才對呢？其實簡單得很，只要把洛倫茲公式對時間微分就可以了。
詳細的做法可以參考教科書，其結果為(5)因此可以看到在相對論下，相對速度v’比較小。
如果代入文章開頭的例子，你和光束互相衝向對方，就有(6)所以你會驚訝地發現，c + v 仍然是c！這是當然的，因為相對論本身必須符合它的假設：光速不變。
其實狹義相對論還有許多有趣的題目可以討論的，例如著名的質能公式 E = mc^2、雙生子悖論、能量-動量四維向量、以及相對論性電磁場理論等等，或許在以後我會和大家深入討論。
而愛因斯坦在1916 年提出的廣義相對論(general relativity)，則是一套把重力與加速度都包含在內的時空理論，能夠非常準確地描述我們身處的宇宙。
廣義相對論所涉及的數學非常深奧，需要使用到十分抽象的黎曼幾何以及張量的概念，確實並非每個學生也能明白。
在以後我會試試為大家說明廣義相對論的重要性。
總而言之，在這篇文章中，我希望大家明白的事，是相對論其實並非一般人想像的那麼深奧難懂。
至少，就狹義相對論而言，只需要中學程度的物理及數學知識就可以了。